选修4-4《第一讲 坐标系》章节课件

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2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两
坐标系中取相同的长度单位．如图，设 M 是平面内的任意一点，
它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ
或
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解析 ∵点 A 的极坐标为2，6π，∴点 A 的平面直角坐标为( 3， 1)，又∵直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为3π，∴直线 l 的方程
为 y－1＝(x－ 3)tan π3，即 3x－y－2＝0，∴直线 l 的极坐标方
程为 3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理为 ρcosθ＋π6＝1 或
第1讲 坐标系
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【2013 年高考会这样考】 考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题． 【复习指导】 复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点， 这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习 以基础知识、基本方法为主．
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3．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程 为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π－θ0； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 Mb，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b.
ρsinπ3－θ＝1 或 ρsinθ－43π＝1. 答案 ρcosθ＋6π＝1 或 3ρcos θ－ρsin θ－2＝0 或 ρsinπ3－θ＝
1 或 ρsinθ－43π＝1.
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(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象 限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意 转化的等价性．
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高考中极坐标问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可以看出，高考对该部分重点考查极 坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题，但各省市的要求 不尽相同．
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【示例 1】► (2011·安徽)在极坐标系中，点2，π3到圆 ρ＝2cos θ
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基础梳理 1．极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O 叫做极点；自点 O 引一 条射线 Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、 角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方 向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设 M 是平面上的任一 点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为 ρ；以极 轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的∠xOM 叫做点 M 的极角，记 为 θ.有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)．
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3．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线 ρ ＝2sin θ 与 ρcos θ＝－1 的交点的极坐标为________．
解析 ρ＝2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－
1 的直角坐标方程为 x＝－1，联立方程，得xx2＝＋－y21－，2y＝0， 解
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解 设 M(ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接 OM 并延长交圆 A 于点 P(ρ0，θ0)，则有 θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为 4 的圆的极坐标方程为 ρ＝8cos θ，得 ρ0＝8cos θ0.所以 2ρ＝8cos θ， 即 ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是 ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆 心，2 为半径的圆．
得xy＝＝－1，1， 即两曲线的交点为(－1,1)，又 0≤θ＜2π，因此这
两条曲线的交点的极坐标为
2，34π.
答案
2，34π
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4．在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsin θ＝3，则点2，π6到直 线 l 的距离为________． 解析 ∵直线 l 的极坐标方程可化为 y＝3，点2，6π化为直角坐 标为( 3，1)， ∴点2，π6到直线 l 的距离为 2. 答案 2
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考向二 圆的极坐标方程的应用 【例 2】►(2011·广州测试)在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴 垂直的直线交曲线 ρ＝4cos θ 于 A、B 两点，则|AB|＝________. [审题视点] 先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利 用圆的知识求|AB|.
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4．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝ 2acos_θ ； (3)当圆心位于 Ma，π2，半径为 a：ρ＝ 2asin_θ .
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【训练 1】 (2011·佛山检测)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的 直角坐标为(1，－ 3)．若以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，则点 P 的极坐标可以是________． 解析 由极坐标与直角坐标的互化公式 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 可 得，ρcos θ＝1, ρsin θ＝－ 3，解得 ρ＝2，θ＝2kπ－π3(k∈Z)， 故点 P 的极坐标为2，2kπ－3π(k∈Z)． 答案 2，2kπ－3π(k∈Z)
的圆心的距离为( )．
A．2 B.
4＋π92 C.
1＋π92 D. 3
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【示例 2】► (2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线 ρ(cos θ＋sin θ) ＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标为 ________．
求轨迹的方法与普通方程的方法相同，但本部分只要求简单的 轨迹求法．
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【训练 3】从极点 O 作直线与另一直线 ρcos θ＝4 相交于点 M， 在 OM 上取一点 P，使|OM|·|OP|＝12，求点 P 的轨迹方程． 解 设动点 P 的坐标为(ρ，θ)，则 M(ρ0，θ)． ∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝1ρ2. 又 M 在直线 ρcos θ＝4 上，∴1ρ2cos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.这就是点 P 的轨迹方程．
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解析 注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的 直角坐标方程是 x＝1，曲线 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋ y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线 x＝1 的距离等于 1， 因此|AB|＝2 4－1＝2 3. 答案 2 3
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5．(2011·广州调研)在极坐标系中，直线 ρsinθ＋π4＝2 被圆 ρ ＝4 截得的弦长为________．
解析
由 ρsinθ＋π4＝2，得
2 2 (ρsin
θ＋ρcos
θ)＝2 可化为 x＋y
－2 2＝0.圆 ρ＝4 可化为 x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2
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考向三 极坐标方程的综合应用 【例 3】►如图，在圆心的极坐标为 A(4,0)，半径为 4 的圆中， 求过极点 O 的弦的中点的轨迹． [审题视点] 在圆上任取一点 P(ρ0，θ0)，建立 P 点与 P 的中点 M 的关系即可．
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解决此类问题的关Hale Waihona Puke Baidu还是将极坐标方程化为直角坐标方程．
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【训练 2】 (2011·深圳调研)在极坐标系中，P，Q 是曲线 C：ρ ＝4sin θ 上任意两点，则线段 PQ 长度的最大值为________． 解析 由曲线 C：ρ＝4sin θ，得 ρ2＝4ρsin θ，x2＋y2－4y＝0， x2＋(y－2)2＝4，即曲线 C：ρ＝4sin θ 在直角坐标系下表示的是 以点(0,2)为圆心、以 2 为半径的圆，易知该圆上的任意两点间 的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段 PQ 长度的最大值 是 4. 答案 4
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双基自测 1．点 P 的直角坐标为(－ 2， 2)，那么它的极坐标可表示为 ________． 解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式． 答案 2，34π
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2．若曲线的极坐标方程为 ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点， 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程 为________． 解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x2＋y2＝2y＋4x，即 x2＋y2－2y－4x＝0. 答案 x2＋y2－4x－2y＝0
r2－d2＝2 答案 4 3
42－2 222＝4 3.
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考向一 极坐标和直角坐标的互化 【例 1】►(2011·广州测试(二))设点 A 的极坐标为2，π6，直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为3π，则直线 l 的极坐标方程为 ________________． [审题视点] 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．