高等数学教学课件：D5_1定积分概念与性质

则曲边梯形面积
n
A
lim
0
i1
Ai
n
lim
0 i1
f
(i
)xi
y O a x1 xi1 xi
i
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 大化小.
n 个小段
将它分成 在每个小段上物体经
过的路程为
a
a f (x)dx 0
( k 为常数)
b
b
b
4. a[ f (x) g(x)]dx a f (x) dx a g(x) dx
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a
c
b
6. 若在 [a , b] 上
则
推论1. 若在 [a , b] 上
则
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推论2.
(a b)
作以[xi1 , xi ] 为底 , f (i )
y
为高的小矩形, 并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
O a x1
Ai f (i )xi (xi xi xi1 )
xi1 xi
i
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3) 近似和.
n
n
A Ai f (i )xi
i1
i1
4) 取极限. 令
i
xi1xi b x
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积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
来自百度文库
n
a
f
( x) dx
lim
0 i1
f
(i ) xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限 2. 定积分的性质 3. 积分中值定理
补充说明：
1）定积分中，若积分区间和被积函数、积分变量 确定了，则其值也确定了，为一具体的常数。
2）定积分的值与积分变量的符号无关，即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) dt a f (u) du
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2) 常代变.
得
si v(i )ti (i 1, 2,, n)
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3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
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A?
Oa
bx
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解决步骤 :
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ]
n n i1
1
i n
n
lim
n i1
1 i 1 nn
x i
1
0 1 x dx
O
i
i1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n
2p n
p1
n
p
lim
n
n
i1
i n
p
1 n
x i
1 x p dx 0
i
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四、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
b
2. a dx b a
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
7. 设 M max f (x), m min f (x) , 则
[a, b]
[a, b]
(a b)
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可积的充分条件: 定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为
y
y x2
取
则
f
(i )xi
i2xi
i2 n3
O
i 1x
n
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n
i1
f
(i
)xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
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定积分的几何意义:
曲边梯形面积
y
A1
a
A2 O
曲边梯形面积的负值
A3
A5
A4
bx
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
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思考与练习
P235 题3(2)
1
2x dx 2
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8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
b
a f
( x) dx
f
( )(b a)
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例. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
T2
2
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内容小结
第五章 定积分
不定积分 积分学
定积分
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
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一、定积分问题举例
矩形面积 梯形面积
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线 y
y f (x)
以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
作业
P235 3 (1)(3)(4) ; 13 (1) , (3)
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二、定积分定义 (P225 )
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(x)
dx
lim
0
n
i1
f
(i
)
xi
O
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
1 (1 1)(2 1) 6n n
1 0
x2
dx
lim
0
n
i 1
i
2xi
lim
n
1 3
y
y x2
O
i 1x
n
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例2. 用定积分表示下列极限:
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
n
p
解:
(1)
lim 1 n