经济数学课件3.3复合函数求导法则

dy dx
y
yexy 1 1 xexy
k切线 y (1,1) 1, 因此所求切线方程为x y 2
例6 求下列函数的导数
(1) y xeax (a 0为常数)
解： y (xeax ) eax axeax (1 ax)eax
(2) y (1 2x)10
解： y [(1 2x)10 ] 10(1 2x)9 (1 2x) 20(1 2x)9
dy [ f (g(x))] f [g(x)]g(x) 或 dy dy • du
dx
dx du dx
法则使用中应注意的问题
(1) f [g(x)] 与f [g(x)]的区别
前者是对x求导数,后者是对g(x) u求导数
（2）两个以上的函数复合，也有相应的类似结论。如三个函数
z f (t),t g( y), y h(x),则有
dz f (g(h(x))) f (t)g( y)h(x) dz • dt • dy
dx
dt dy dx
例1 求y ln x 的导数 解： 函数的定义域为x (, 0) (0, )
当x (0, )时, y ln x 此时有y (ln x) 1 x
当x (, 0)时, y ln(x)
§3.3 复合函数求导法 则
一、复合函数导数的链式法则
设u g(x)在x0可导, y f (u)在u0 g(x0 )可导,则y f [g(x)]
在x0可导, 且有
dy dx
x x0
[ f (g(x))]
x x0
f (u0 )g(x0)
f [g(x0)]g(x0)
上述结论换成导函数形式则有
x0
求f (x)的表达式,并判别f (x)在x 0点是否连续?
解： f (0) lim f (x) f (0) x0 x 0
x2 sin 1
lim
x
x0 x
lim x sin 1 0
x0
x
而当x 0时, f (x) x2 sin 1 ,此时有 x
f
(x)
x2
sin
1 x
2x
sin
2
2
解：
y 1 x 2
x2
1
1 2
ln( x
1 2
x2
1
x
(x2 1) 2 x2 1
1 2
x x
x2 1) x2 1 x2 1
1 2
x2 1
1
x2 x2 1
1 2
x
x x2 1 x2 1
2x2 1 1
x2
2 x2 1 2 x2 1
x2 1
1
(5) y (1 2x) x (x 0)
2
(3) y arcsin x 1
解：y
arcsin
x 1
2
2 arcsin
x 1 arcsin
x 1
2 arcsin x 1 ( x 1) 1 ( x 1)2
1
2 arcsin x 1 2 x 1 arcsin x 1
2x
2 3x x2
(4) y x x2 1 1 ln(x x2 1)
此时有y (ln(x)) (ln u) ux •(x)
1 u
ux • (1)
1 x
(ln x ) 1 , x (, 0) (0, ) x
例2 设f (x)可导,求y ln f (x) 在f (x) 0处的导数
解： 当f (x) 0时有
y (ln f (x) ) (ln u ) u f (x) • f (x)
1 u
u f (x) • f (x)
f (x) f (x)
总结：根据此例题的结论，即有下面即将介绍的对数求导法的结论
即只要f (x) 0就有 f (x) f (x)(ln f (x) )
二、对数求导法
当函数为多项乘积或商时，求其导数虽然也可使用法则进行计算，但 较复杂，另外幂指函数还没有相应的基本求导公式，这些函数的导数计算 一般使用对数求导法处理。
[u(
x)]v(
x
)
v(
x)
ln[u(
x)]
u(x)v( u(x)
x)
例5 设y f (x)是由函数方程exy x y e 2在(1,1)处
所确定的隐函数,求 dy 及y f (x)在(1,1)处的切线方程 dx
解：对方程两边同时求关于x的导数, 依复合函数求导法有
exy (xy) 1 y exy ( y xy) 1 y
eg(x)ln f (x) (g(x) ln f (x)) f (x)g(x) (g(x) ln f (x))
例3
设f
(x)
x2 1 2x2 x
, 求f
( x)
解： 依公式f (x) f (x)(ln f (x) )有
f
(x)
x2 1 2x2 x
1 ln 2
x2
1
ln
x
ln
2x
1
1、方法 首先对等式两边同时取对数，然后利用复合函数求导法则对等 式两边同时求导数，再从等式中解出所求的导数。如
y f (x)g(x) ln y g(x) ln f (x)
y (g(x) ln f (x) ) y
y y(g(x)ln f (x) ) f (x)g(x)(g(x)ln f (x) )
1 x
x2
cos
1 x
1 x
2x sin 1 cos 1 xx
f (x)
2x sin 1 cos 1 , x 0
对于幂指函数也可先化为指数函数，再利用复合函数求导法处理
e y f (x)g(x)
e ln f ( x)g ( x)
g ( x)ln f ( x)
y (eg(x)ln f (x) )
(eu ) ug(x)ln f (x) • (g(x) ln f (x))
eu ug(x)ln f (x) • (g(x) ln f (x))
解：
y
(1
1
2x) x
ln(1
1
2x) x
(1
1
2 x) x
ln(1 x
2x)
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(1
1
2x) x
2x 2x 1
ln(2x x2
1)
(1
1
2x) x
2x
(2x 1) ln(2x x2 (2x 1)
1)
例7 设f (x)
x2 sin 1 , x 0 x
0,
x2 1 2x2 x
1 2
2x x2 1
1 x
2 2x 1
1 4x 2x3 x2 1(2x2 x)2
例4 设y [u(x)]v(x) ,求y,其中u(x) 0,u(x), v(x)可导
解： 依对数求导法有
y [u(x)]v(x) ln[u(x)]v(x)
[u(x)]v(x) v(x) ln[u(x)]