1.6 矢量场散度的定义与计算

2. 矢量场的通量 3. 散度的定义 4.散度的计算
Sv dS
divF lim S F dS
V0 V
F
1

Fu h2h3 1

(Fu 2
h1h3)

(Fu 3
h1h2)

h1h2h3 u1
u2
u3
5.散度定理
S F dS V F dV
S F dS V F dV
物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F
Fx

F y

Fz
x y z
F 1 (Frr) 1 F Fz
r r r z
球坐标系中：
c. 如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。
3. 散度的定义：
定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
F dS
表达式： divF lim S V0 V
4.散度的计算：
在直角坐标系中，如图做一封闭 曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
FdS S
S6
S1
S3
S4
S1 F dS1 Fx (x1)aˆx yz(aˆx )
Fx (x1)yz
S2
Leabharlann Baidu
S5
y
x
dS2 dydzaˆx
S2 F dS2 Fx(x2 )aˆx yzaˆx
F ( x x)yz x1
其中： x2 x1 x
因为：
F

x
x

F y
y
Fz z

xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
通常散度表示为： divF F
5.散度定理：
Fx
( x1

x)

Fx
( x1)

Fx x
x
则：
S
2
F
dS2

Fx ( x1)yz

Fx x
xyz
已知： S1 F dS1 Fx (x1)yz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
在 x 方向上的总通量：
S1 F dS1
S2
F
dS2

Fx x
xyz
同理：在 y方向上,穿过 S3 和 S4面的总通量
S3 F dS3
S4
F
dS4

Fy y
xyz
在 z 方向上,穿过 S5 和 S6面的总通量：
F dS5 S5

F dS6
S6

FZ z
xyz
整个封闭曲面的总通量：
S
F
dS

直角坐标系中：坐标变量 (x, y, z) 拉梅系数（1,1,1）
圆柱坐标系中：坐标变量 (r,,z) 拉梅系数 (1, r,1) 球坐标系中： 坐标变量 (R,,) 拉梅系数 (1,R, Rsin)
正交曲线坐标系中：坐标变量 (u1,u2,u3 ) 拉梅系数 (h1,h2,h3)
小结：
1. 矢量场的矢线（场线）
表达式： v dS S
若曲面为闭合曲面： v dS S
讨论： a. 如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿出闭合面的通量大于穿入的通量，意味着闭合面内存在正 的通量源。
b. 如果闭合曲面上的总通量 0 说明穿入的通量大于穿出的通
量，那么必然有一些矢线在曲面内 终止了，意味着闭合面内存 在负源或称沟。
1.6 矢量场的散度
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3. 散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
FdS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
在 x方向上：计算穿过 S 1和 S 2 面的通量
z
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz dS1 dydz(aˆx)
F
1 R2
(R2 FR ) R

1
Rsin
(Fsin
)

1
Rsin
F

正交曲线坐标系中：F
1

Fu1 h 2 h 3

(Fu2
h1h3
)

(Fu3
h1h2
)

h1h2h3 u1
u2
u3
常用坐标系中，坐标变量和拉梅系数