第四章拉普拉斯变换及s域分析详解

t
t
0
lim e te t要想收敛，必须 ，此即为收敛域。
t
收敛轴
j
j
收敛坐标的
收敛坐标的
0
右半平面
0
右半平面
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
8
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
由以上分析可知，由的数值可将s平面
划分为两个区域：
j 收敛区
0
收敛轴
收 敛 区 ： 使f (t)e t满 足 绝 对 可 积 条 件 的值 的 范 围 称 为 收 敛 区 ，
如函数 f (t) eat (a 0) 的傅里叶变换存在
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
3
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
2 傅里叶变换不存在时
如函数 f (t) eat (a 0)的傅里叶变换不存在
若给信号f(t)乘以信号 et ( a) 此时，得到 eat et e(a )t
定义单边拉式正变换为 F (s) f (t)estdt 0－
说明：
①s是复参量，s j, F(s)是以s为自变量的复变函数 ②积分下线定为0 ，包括了 (t)，从而无需计算0-到0+的跳变
③拉氏正反变换的简记形式 F (s) L[ f (t)] 或 f (t) F (s) f (t) L1[F (s)] 或 F (s) f (t)
T
T
0
Tt
E T
1 s2
E T
L[(t
T )u(t
T ) Tu(t
T )]
E T
1 s2
E esT T
1 s2
E 1 esT s
E [1 (Ts 1)esT ] Ts2
注意 f (t)u(t t0 ) f (t t0 )u(t t0 )
2015.10
11
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
二 拉普拉斯变换的性质
1、线性性质 若L[ f1(t)] F1(s)，L[ f2 (t)] F2 (s) 则L[ Af1(t) Bf2 (t)] AF1(s) BF2 (s) 其中A、B为实常数
例4、求L[cos t ]
解：L[cost] L[1 (e jt e jt )] 1 L[e jt ] 1 L[e jt ]
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
7
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
6 拉式变换的收敛域
例3、求L[e t u (t )]，并讨论收敛域。
解：L[etu(t)] e tu(t)est dt e(s )t dt
0
0
1
e( s )t
(s )
1
s
lim e(s )t lim e( )t e jt
安徽工程大学机电学院信息工程系
2
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
一 拉普拉斯变换
以下，从傅里叶变换出发引出拉普拉斯变换
1 傅里叶变换存在的条件
函数f(t)若满足下列绝对可积条件
f (t) dt
则函数f(t)存在傅里叶变换
F ( j) f (t)e jt dt
意味着f(t)在趋于∞时需收敛，即 lim f (t) 0 t 或t
在收敛区内，f (t)拉氏变换存在，在收敛区外，f (t)拉氏变换
不存在。
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
9
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
对于单边拉氏变换 讨论：①有界的非周期信号的拉氏变换一定存在
满足 f (t)e t dt
其收敛坐标为 ，收敛区为全部s平面。 ②单位阶跃信号lim[u(t)et ] 0 0
新得到的信号满足绝对可积条件，因此其傅里叶 变换存在。
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
4
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
3 引出拉普拉斯变换
由前述可知
lim f (t)e t ( 为实数)容易收敛。
t
或t
即满足 f (t)et dt ，其中et —称为收Leabharlann Baidu因子
则f (t)e t满足绝对可积条件，它的傅里叶变换为：
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
6
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
5 常见函数的拉普拉斯变换
例1、求L[u (t )]
解：L[u(t )] u(t )est dt est dt
0
0
1 est 1
s
0
s
例2、求L[ (t)]
解：L[ (t)] (t)est dt 1 0
F[ f (t)e t ] f (t)e te jtdt f (t)e( j)tdt F ( j)
令s j,则上式为
Fb (s)
f (t)est dt
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
5
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
4 单边拉普拉斯变换
由于在实际问题中所遇到的大部分信号都是因果的， 即f(t)=0(t<0)
注意 f (t)u(t t0 ) f (t t0 )u(t t0 )
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
13
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
例5、求右图所示波形的拉式变换
解 : f (t) E t[u(t) u(t T )]
f (t)
T
E
L[ f (t)] E L[tu(t)] E L[tu(t T )]
t
收敛区为s平面的右半平面。
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
10
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
常见函数的拉式 变换如右，这6对 变换对需牢记
u(t) 1 s
(t) 1
et 1
s
tn
n! s n 1
sin t
s2
2
cos t
s2
s
2
t
1 s2
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
2
2
2
1 2
s
1
j
1 2
s
1
j
s2
s
2
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
12
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
2、尺度变换
若L f t F s Re[s] 0
则L[ f (at)] 1 F ( s ) aa
a 0, Re[s] a 0
3、时移性质 若L[ f (t)] F (s) 则L[ f (t t0 )u(t t0 )] est0 F (s)
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
1
拉普拉斯变换
2
拉普拉斯变换的性质
3
拉普拉斯逆变换
4
拉普拉斯变换法分析电路
5
系统函数
6 系统函数决定时域特性、频响特性
7
双边拉普拉斯变换
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
1
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
频域 (ω)
时域 （t）
变换域
复频域 （S）
Z域
2015.10