先后抽签概率的一致性

“抽签有先后有后，对各人公平吗？”创新训练题

供题：五峰一中

意图：用概率的角度理解“抽签有先有后，对各人公平”;以及“有放回”与“无放回”抽签的区别。熟悉概率在社会生产和社会生活中的广泛应用。

题目1：有10件产品，其中4件次品，6件正品，每次取一件检验，测后不放回，一共测5次。求第5次测得次品的概率。

解析：设A=“测5次，第5次测得次品”，易知基本事件仍为n=510A 。

第5次出现次品的方法为14C ，于是m= 4914A C 。

因此，P （A ）= 510

4914A A C =0.4。 若将问题改为：每次测1件，测后不放回，一共测k 次(k ≤10)，求第k 次测到次品的概率，

则n=k A 10 ，m=1914-k A C ，

P （A ）=k k A A C 10

1914-=0.4。 这一事实表明，第1次、第2次、…、第10次测出次品的概率是相同的，都是0.4。如果将“次品”看作“奖”，则抽签中奖的概率是相同的，这就是人们通常所说的“抽签不分先后，一样公平合理”的道理。

题目2：甲乙两同学做摸球游戏。游戏规则规定：两人轮流从一个放有2个红球、3个黄球、1个白球的6个小球只有颜色不同的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者。现甲先取。

（1）、求甲取球次数不超过3次就胜的概率；

（2）、求甲获胜的概率；

解析：（1）甲第一次取得红球的概率为3

1； 甲第二次取得红球的概率为19

431313232）（∙=∙∙； 甲第三次取得红球的概率为

29431）（∙； ∴求甲取球次数不超过3次就胜的概率为P=31+19431）（∙+29431）（∙=243133 （思考：假若是求乙取球次数不超过3次就胜呢？）

（2）由上可知：甲第一次取得红球的概率为3

1； 甲第二次取得红球的概率为19

431313232）（∙=∙∙； 甲第三次取得红球的概率为

29431）（∙； ……

甲第n 次取得红球的概率为19

431-∙n ）（； ∴甲获胜的概率为P=lim ∞→n [31+19431）（∙+29431）（∙+…+19431-∙n ）（]=5394131=- （思考：若换着是乙呢？）