1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(二)

系数最大的项的系数为
C = 462
6 11
。
变式2： 的展开式中,第 项的 项的系数的绝对值最大 变式 ：在 (x-y)n的展开式中 第6项的系数的绝对值最大 则n=
10
。
2 8 的展开式中， 例2、在 ( x − 2 ) 的展开式中，求: 、 x
1）二项式系数最大的项； ）二项式系数最大的项； 2）系数的绝对值最大的项是第几项？ ）系数的绝对值最大的项是第几项？ 3）系数最大的项； ）系数最大的项； 4）各二项式系数之和； ）各二项式系数之和；
5 10
+ 3 C − 3 C + 3 C − 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
Байду номын сангаас9 10
+L+L= 2
的展开式中， 例1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是 在 二项式系数最大的项是第 变式1： 的展开式中, 变式 ：在 (1-x)11的展开式中 二项式系数最大为
5 ， 11
C x = 6x
2 2 4
2
； 项.
3
C
C
6 11 ；
5 系数最小的项的系数为 系数最小的项的系数为 − C11 = −462 ；
0 n 1 n 1 n 3 n
n −1 n
+ nC
n n
n n
Sn = nC + (n −1)C + (n − 2)C + L + C
0 n 1 n 2 n
n−1 n
+ 0•C
n
两式相加
2Sn = n(C + C + C +L+ C
0 n 1 n 2 n
n−1 n
+ C ) = n⋅ 2
n n
Sn = n ⋅ 2
( 练习2： 练习 ：
A .83
2 + 3)
3
100
的展开式中， 的展开式中，无理项的个数
是（ B ） B.84 C.85 D.86
练习3：x + 3x + 2) 的展开式中 x 的系数是 (
2 5
240 ________
解： 原式化为[( x + 2 ) + 3 x ]
2
5
其通项公式为 Tr+1 = C (x + 2) (3x)
6
例6 求证C + 2C + 3C + L + nC = n ⋅ 2
1 n 1 n 2 n n n
n −1
分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和. 0 n 1 n−1 r n−r Cn = Cn ,Cn = Cn LCn = Cn 由此分析求解
解 : 设Sn = 0 ⋅ C + C + 2C + 3C + L(n − 1)C
99 1 100 100 100 99 100
− r 100 r 100
+L+ C 7 + C 0 99 = （C1007 +L+ C ） 1 7 +
余数是1 所以是星期二 余数是1， 所以是星期二
变式引申： 变式引申：填空 1） 2 ）
30
55
除以 的余数是 − 3 除以7的余数是
； 。
2） ） 除以8的余数是 55 + 15 除以 的余数是 的近似值,精确到 精确到0.001. 例5、求 0.998 的近似值 精确到 、
系数的绝对值之和？ 系数的绝对值之和？ 5 ) 各项系数之和； 各项系数之和；
6）所有x 的有理项 ）所有 的有理项.
(2 − x)10 的二项展开式中，求: 练习1、 的二项展开式中， 练习 、在
1) 奇数项系数之和； 奇数项系数之和； 2）x的奇次项的系数之和； ） 的奇次项的系数之和 的奇次项的系数之和；
r 5 2
5−r
r
要使 x 的指数为 1, 只需 r = 1
T2 = C ( x + 2 ) ⋅ 3 x
1 5 2 4
= 15 x( x + 4 ⋅ 2 x + 6 ⋅ 4 x + 4 ⋅ 8 x + 2 )
8 6 4 2 4
所以 x的系数为 15 ⋅ 2 = 240
4
括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项, 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项 合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘 合并时要注意选择的科学性 也可因式分解化为乘 积二项式. 积二项式
1.3.2“杨辉三角” 1.3.2“杨辉三角” 杨辉三角 与二项式系数的性 质 (二 )
一般地， 一般地，(a + b)n 展开式的二项式系数
C , C ,LC （ 1） C = C
0 n
1 n
n 有如下性质： 有如下性质： n m n−m 对称性） （对称性） n n m m−1 m （ 2） n n n+1
C +C
（3）当n为偶数时， 为偶数时， C 当n为奇数时， 为奇数时， C
0 n 0 n 1 n 2 n
（4） C + C +L+ C = 2
n n 2r n
n−1 2 = n
n 2 n
=C
最大
C
n
n+1 2 且最大 n
n−1 n−1
C + C +L+ C +L+L= 2 C + C +L+ C
1 n 3 n 2r-1 n
n−1
倒序相加法
5.求值： 5.求值： 求值
(1)1+ C ⋅ 2 + C ⋅ 2 + C ⋅ 2 + C ⋅ 2 + C ⋅ 2
1 5 2 2 5 4 3 5 6 4 5 8 5 5
10
(2)3 − 3 C + 3 C − 3 C + 3 C − 3 C
10 9 1 10 8 2 10 7 3 10 6 4 10 5
例3、求证： 3
2n+2
− 8n − 9(n ∈ N )能被64整除。
*
例4、今天是星期一，那么 、今天是星期一， 一天是星期几？ 一天是星期几？
100
8
100
天后的这 1000 那么 天后 3
是星期几？
8
= 7 +1） （
=C 7
0 100 100
100
+ C 7 +L+ C 7
1 99 100