(完整版)棱柱的概念和性质

我们常见的一些物体，例如三棱 镜，方砖以及螺杆的头部，它们 都呈棱柱形状，如图：
二、棱柱与它的性质
1、棱柱的概念: 一个多面体有两个面 互相，平其行余
每相邻两个面的交线互相 互相平，行这样的
多面体叫做棱柱。
相平一行个，多其面余体每有相棱两邻柱个两的面个互面概念
的交线互相平行，这样的多
面体叫做棱柱。 其棱公侧面的两公余两棱公柱共面上连个共不各个柱共的的边与的 线侧边在面面的顶对的侧叫底两叫两棱面叫同叫棱的点角距面做面个做个柱的做一做叫线离的顶棱底的个叫点柱面高做
\ AB¢^ MN
A1
B1
则cos ? AC1D 1
a 2a2 + b2
=
1
2
+
骣ççç桫ba
2
÷÷÷
? 骣çççç桫0,
2 2
÷÷÷÷
D
C
形AC1D1
骣 ççç桫p4
,
p 2
÷÷÷
A
B
教 学 参 考 ——一题多解
例 面 求上证1 ：B已ACB知边 正的M三中N棱点。柱解，1AN：B是C纯侧几A棱何BC法CC1的上。各的联棱点结长，A都M且、为CBN1¢，MM14,C是C由，底
，它有 个顶3 点， 条对角线 6
0
C
N(N是正整数)棱柱有 N+2
A
B 个面，其中 2 个底面、
C1 A1
个侧面，N有 条棱，其3中N
条侧棱，有 N个顶点，
B1
2条N 对角线
N(N-3)
1. 有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱? 有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢?为什么?
分析：
右图：AA1⊥AB且A A1与底面不垂直时， 棱柱为斜棱柱。 左图：
多面体、棱柱
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体
称为多面体。 围成多面体的各个多边形称为多面体的面，两个 面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫 做多面体的顶点。
面
棱
顶点
多面体的对角线——连结不在同一面上的 两个顶点的线段
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他
各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多
A1
C1
B1
两个相邻侧面与底面 垂直时，它们的交线 也与底面垂直。
A
C
B
2. 斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、 侧面各有什么特点？
1). 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。 正棱柱的底面为正多边形。 2). 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱 的侧面为矩 形。正棱柱的各个侧面为全 等的矩形。
3).侧棱都相等，侧面是平行四边形
E1 D1
C1
D C
A
BA
C A
B B
E
D C
1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
棱柱的分类
1.按底面多边形的边数分
（1）三棱柱
（2）四棱柱
（3）五棱柱
2.按侧棱与底面是否垂直分
（1）侧棱不垂直于底 面的棱柱叫做斜棱柱
（2）侧棱垂直于底 面的棱柱叫直棱柱
特别地：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱
3.棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、 正棱柱集合之间存在怎样的包含关系？
斜棱柱 集合
棱柱集合
直棱柱集合 正棱柱 集合
练一练
面数最少的棱柱是 棱三柱。它有 个面5 ，其中
个底面2、 个侧面，它有3 条棱，其中 条9侧棱
B1
侧面AB B1 A1
是平行四边形
两个底面与平行于底面的截面是全等的
多边形
已知：三棱柱ABC-A1 B1 C1， 平面MNP∥底面ABC，且交三
条侧棱于M、N、P
C 求证： △MNP≌△ABC
证明：
A
B 平面MNP ∥底面ABC
P
} 平面MNP∩平面AB B1 A1
M C1
N =MN
A1
} B1
截面AA1 C1 C A
是平行四边形
D1
A1
C B
C1 B1
3、棱柱的性质
棱柱的性质；
1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
2. 两个底面与平行于底面的截面是全 等的多边形；
3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行 四边形。
4. 正四棱柱中，求A C1与DC所成角的取
值范围。
D1
C1 设AB = a,CC1 = b
已知条件和正三棱柱的性质，知
A'
AM ^ 面BCCⅱB ,又Q B¢B = BM ,
B'
C'
MC CN
\ RtD B¢BM 相似于RtDMCN,
\ ? BMB¢ ? NMC 900,
A
\ B¢M ^ MN
N Q MBⅱ是斜线AB 在平面BCCⅱB 的射影，
B
M
C 而MN在面BCCⅱB 内，MB?^ MN,
平面MANB∥C A∩B平面AB A A1 ∥B1 B
B1
A1A=MANBB
AB=MN同理:BC=NP,AC=MP
所以△MNP≌△ABC (SSS)
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
已知：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1
求证：截面AA1 C1 C是平行四边形
证明：四A棱A柱1∥=ACB1CCD-A1 B1 C1 D1 D
· · · A’· · · H’
B·H’·H’ ’E·H·H’’·H·HH’ ’’’C’·H’
底面
·D’
H’ 两个互相 平行的面 叫做棱柱
棱做柱棱的柱侧的棱
的底面
顶点
· ·· · A
H ·H ·EHHHH···H ·
底面
DH ·
H ·H ·
· B
C
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体是棱柱吗？
答：不一定是． 如右图所示，不是棱柱．
棱柱的表示法；
1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，如： 棱柱A C1
D1 A1
C1
B1
A1
C1 A1 B1 B1
面体。
V
C D α
相对于多面体的任一个面α，其
E
余各面都在α的同一侧的多面体
A
B
凹多面体
（2）多面体分类： 按多面体面数分类 如四面体、五面体、六面体等
（3）正多面体：
对角线
每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相 同棱数的凸多面体，叫做正多面体
正多面体只有正四面体，正六面体，正八面体，正十二 面体，正二十面体5种
已知：三棱柱ABC-A1 B1 C1 求证：AA1 =B B1 = C C1 ，侧面AB B1 A1 是 平行四边形
} 证明：底面ABC ∥底面A1 B1 C1
C
底面ABC ∩平面ABB1A1=AB
ABaidu Nhomakorabea
底面A1B1C1∩平面 BABB1A1=A1B1
C1
} AB ∥ A1 B1
AA1 ∥ B1 B
A1