第三章 加权残值法

第三章 加权残值法

加权残值法（Method of weighted Residuals ）→定解问题的近似求解方法。 优点：原理统一，简便，工作量少，计算精度较高。 加权残值法的发展：

①基本思想在19世纪初就已提出；

②20世纪20年代，由毕卡（Picone ）用来求解微分方程； ③克兰德（Crandall ）将这一方法统一，并定义为加权残值法。

国内：

①20世纪60年代期间，最早由钱令希教授介绍了多种加权残值方法并用于分析薄板力学问题。

②徐次达教授自60年代开始利用加权残值法求解固体力学问题。

3.1 加权残值法的基本概念

设某一具体的工程定解问题：

Lu －f =0（在域V 内） （3.1.1） Gu －g =0（在边界S 上） （3.1.2） 这里，u 为待求的未知函数，L 和G 分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S 上）的微分算子。f 和g 分别是域内和边界上的已知项。

一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u 的试函数：

∑==N

i i i v C u

1

~ （3.1.3）

其中C i 为待定系数，v i 为试函数项。

将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确满足，于是就出现了内部残值（Residuals ）R V 和边界残值R S ，即：

0~≠-=f u L R V （3.1.4） 0~≠-=g u G Rs （3.1.5）

为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function ）W V 和边界权函数W S ，使得残值R V 和R S 分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即：

0=⎰

V V V

V d W R （3.1.6）

0=⎰S

S

S

S

d

W R （3.1.7）

据此，我们就可以得到关于待定系数C i （i =1，2，…N ）的代数方程组，求得了C i 后，即确定了近似解（3.1.3）。

按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法分为三类，即内部法、边界法和混合法。这三种方法各有自己的优点，当然也存在不足。

（1）在内部法中，对于一般比较规则的边界，选取满足边界条件的试函数是比较容易的。并且，由于边界条件已经满足，所以计长工作量较少。但是对于复杂的边界，这一方法就很不方便。

（2）在边界法中，由于基本控制方程已经满足，近似计算仅在边界上进行，因而计算工作量少，精度较高，不足的是，要事先求得不同问题控制方程的泛定解，比较困难。 （3）混合法的优点在于，对试函数要求不严，复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适应，缺点是计算工作量较大。

总之，对于复杂控制方程，简单边界问题，宜采用内部法；对简单控制方程，复杂边界，适合用边界法；对控制方程和边界条件都较复杂的问题，采用混合法较好。这三种方法中，内部法一般应用较多。

3.2 加权残值法的基本方法

根据权函数的形式分类，主要有以下五种方法： （1）最小二乘法（Least Square Method ）

最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V 内的残值平方积分：

2()i V

J C R dv =⎰ （3.2.1）

最小。为使J （C i ）最小，取极值条件：

0)

(=∂∂i

i C C J ，（i =1，2，…N ） （3.2.2） 即可得到最小二乘法的基本方程：

⎰

=∂∂V

i

dv C R

R

0，（i =1，2，…N ） （3.2.3） 可见，最小二乘法就是将权函数取作

i

C R

∂∂。式（3.2.3）将给出N 个代数方程，用于求解N 个待定系数C i （i =1，2，…N ）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。

（2）配点法（Collocation Method ）

如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function ）作为权函数，即：

)(i i x x δW -= （3.2.4）

就得到了配点法。

其中，δ函数又称单位脉冲函数，其具有以下性质：

⎩

⎨

⎧≠=∞=-)(0)

()(i i i x x x x x x δ （3.2.5a ） 1)(=-⎰∞

∞-dx x x i δ （3.2.5b ） )()()(i i x F dx x x x F =-⎰

∞

∞-δ （3.2.5c ） 1)(=-⎰

∞

∞

-dx x x i δ （3.2.5d ）

于是，将权函数（3.2.4）代入（3.1.6）中，便可得配点法的基本方程为：

0)()()(==-=⎰⎰i

V

i

V

i

x R dv x x x R dv RW δ，

（i =1，2，…N ） （3.2.6） 对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：

0)，()，()，(==--=

⎰

⎰

i i V

i i V

i y x R dv y y x x y x R dv RW δ，（i =1，2，…N ） （3.2.7）

由残值R 在N 个配点x i （或二维（x i ，y i ））处为零。得到N 个代数方程，从而求得待定系数C i （i =1，2，…N ）。配点法是加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。

（3）子域法（Subdomain Method ）

划分的子域总数应等于待定系数C i 的总数。

如果将待求问题的整个区域V 按任意方式划分为N 个子域V i （i =1，2，…N ），并定义此时的权函数为：

⎩

⎨

⎧=)0)

(1内不在内在i i i V V W （3.2.8） 于是在每个子域V i 内可列出消除残值的方程为：

0⎰

=Vi

i dv R ，（i =1，2，…N ） （3.2.9）

这里，N 个子域共有N 个方程，联立求解即得待定系数C i （i =1，2，…N ）。需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同，也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则