第三章 加权残值法

第三章 加权残值法
加权残值法（Method of weighted Residuals ）→定解问题的近似求解方法。

优点：原理统一，简便，工作量少，计算精度较高。

加权残值法的发展：
①基本思想在19世纪初就已提出；
②20世纪20年代，由毕卡（Picone ）用来求解微分方程； ③克兰德（Crandall ）将这一方法统一，并定义为加权残值法。

国内：
①20世纪60年代期间，最早由钱令希教授介绍了多种加权残值方法并用于分析薄板力学问题。

②徐次达教授自60年代开始利用加权残值法求解固体力学问题。

3.1 加权残值法的基本概念
设某一具体的工程定解问题：
Lu －f =0（在域V 内） （3.1.1） Gu －g =0（在边界S 上） （3.1.2） 这里，u 为待求的未知函数，L 和G 分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S 上）的微分算子。

f 和g 分别是域内和边界上的已知项。

一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u 的试函数：
∑==N
i i i v C u
1
~ （3.1.3）
其中C i 为待定系数，v i 为试函数项。

将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确满足，于是就出现了内部残值（Residuals ）R V 和边界残值R S ，即：
0~≠-=f u L R V （3.1.4） 0~≠-=g u G Rs （3.1.5）
为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function ）W V 和边界权函数W S ，使得残值R V 和R S 分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即：
0=⎰
V V V
V d W R （3.1.6）
0=⎰S
S
S
S
d
W R （3.1.7）
据此，我们就可以得到关于待定系数C i （i =1，2，…N ）的代数方程组，求得了C i 后，即确定了近似解（3.1.3）。

按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法分为三类，即内部法、边界法和混合法。

这三种方法各有自己的优点，当然也存在不足。

（1）在内部法中，对于一般比较规则的边界，选取满足边界条件的试函数是比较容易的。

并且，由于边界条件已经满足，所以计长工作量较少。

但是对于复杂的边界，这一方法就很不方便。

（2）在边界法中，由于基本控制方程已经满足，近似计算仅在边界上进行，因而计算工作量少，精度较高，不足的是，要事先求得不同问题控制方程的泛定解，比较困难。

（3）混合法的优点在于，对试函数要求不严，复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适应，缺点是计算工作量较大。

总之，对于复杂控制方程，简单边界问题，宜采用内部法；对简单控制方程，复杂边界，适合用边界法；对控制方程和边界条件都较复杂的问题，采用混合法较好。

这三种方法中，内部法一般应用较多。

3.2 加权残值法的基本方法
根据权函数的形式分类，主要有以下五种方法： （1）最小二乘法（Least Square Method ）
最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V 内的残值平方积分：
2()i V
J C R dv =⎰ （3.2.1）
最小。

为使J （C i ）最小，取极值条件：
0)
(=∂∂i
i C C J ，（i =1，2，…N ） （3.2.2） 即可得到最小二乘法的基本方程：
⎰
=∂∂V
i
dv C R
R
0，（i =1，2，…N ） （3.2.3） 可见，最小二乘法就是将权函数取作
i
C R
∂∂。

式（3.2.3）将给出N 个代数方程，用于求解N 个待定系数C i （i =1，2，…N ）。

这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。

（2）配点法（Collocation Method ）
如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function ）作为权函数，即：
)(i i x x δW -= （3.2.4）
就得到了配点法。

其中，δ函数又称单位脉冲函数，其具有以下性质：
⎩
⎨
⎧≠=∞=-)(0)
()(i i i x x x x x x δ （3.2.5a ） 1)(=-⎰∞
∞-dx x x i δ （3.2.5b ） )()()(i i x F dx x x x F =-⎰
∞
∞-δ （3.2.5c ） 1)(=-⎰
∞
∞
-dx x x i δ （3.2.5d ）
于是，将权函数（3.2.4）代入（3.1.6）中，便可得配点法的基本方程为：
0)()()(==-=⎰⎰i
V
i
V
i
x R dv x x x R dv RW δ，
（i =1，2，…N ） （3.2.6） 对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：
0)，()，()，(==--=
⎰
⎰
i i V
i i V
i y x R dv y y x x y x R dv RW δ，（i =1，2，…N ） （3.2.7）
由残值R 在N 个配点x i （或二维（x i ，y i ））处为零。

得到N 个代数方程，从而求得待定系数C i （i =1，2，…N ）。

配点法是加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。

（3）子域法（Subdomain Method ）
划分的子域总数应等于待定系数C i 的总数。

如果将待求问题的整个区域V 按任意方式划分为N 个子域V i （i =1，2，…N ），并定义此时的权函数为：
⎩
⎨
⎧=)0)
(1内不在内在i i i V V W （3.2.8） 于是在每个子域V i 内可列出消除残值的方程为：
0⎰
=Vi
i dv R ，（i =1，2，…N ） （3.2.9）
这里，N 个子域共有N 个方程，联立求解即得待定系数C i （i =1，2，…N ）。

需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同，也可以不同。

若各子域的试函数互不相同时，则
必须考虑各子域间的连接条件。

（4）伽辽金法（Galerkin Method ）
伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名的方法。

伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即：
W i =v i ，（i =1，2，…N ） （3.2.10） 0⎰=⇒
V
i
dv Rv ，
（i =1，2，…N ） （3.2.11） 由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。

（5）矩量法（Method of Moment ）
当权函数选取为x i （i =0，1，…N －1）时，就得到了矩量法的基本方程为：
0⎰=V
dv Rx i
，
（i =0，1，…N －1） （3.2.12） 由上式不难求得待定系数C i （i =1，2，…N ）。

至此，我们根据所选取的权函数类型，介绍了五种基本方法。

在实际应用中，这五种基本方法可以单独使用，也可以相互结合而产生新的近似方法。

3.4 加权残值法在力学中的应用
本节将给出一些加权残值法求解力学问题的例子，使同学们能够熟练掌握应用这一方法求解具体力学问题的过程。

例3.4.1：梁的弯曲问题
考虑一两端固定，均布载荷作用下的直梁（图3.4.1），梁的跨度为L ，均布载荷为q ，梁的抗弯刚度为EI 。

图3.4.1 均布载荷作用下的固定梁
解：梁的挠曲线微分方程为：
0EI 44=-q dx
w
d （3.4.1） 梁在两固定端所满足的边界条件为： 000
0==
==
====L
x L x x x dx dw
，w dx dw
w （3.4.2a ，b ）
（前面已经介绍过，按照试函数的类型，可将加权残值法分为三类：内部法、边界法和混合法。

） 1、内部法
选取梁的挠度试函数为：22)(~x L cx w -= （3.4.3） 0~0==x w 0~==L x w
x cL cLx cx x cL cLx cx dx
d dx w
d 2232234264)
2(~+-=+-= 0~，0~0====L x x dx
w d dx w d 因此，所选取的梁的挠度试函数满足边界条件（3.4.2a ，b ），从而内部残值表达式为： q q dx
w
d R v -=-=EIC 24~EI 44 （3.4.4）
（a ）最小二乘法求解
最小二乘法相对应的残值方程为：
⎰
⎰
=⋅-=∂∂L
V dx q dv C
R
R 0
0EI 24EIC 24）（ （3.4.5）
EI
24q C =
∴ 从而两端固定梁的挠度近似解为：
22)(EI 24~x L x q w
-= （3.4.6） 该解已经是材料力学中的精确解了。

（b ）配点法求解
配点法相对应的残值方程为：
R （x i ）=24EIC －q =0 （3.4.7） x i 为任意坐标都使得：EI
24q
C =
此结果与最小二乘法所得结果完全相同。

同理，我们还可以采用子域法，伽辽金法及矩量法，均可获得同样的结果。

2、混合法
考虑到梁所满足的挠曲线方程中最高含有四阶导数，而且四阶导数的值为常数，这里，
我们假设梁的挠度试函数为：
44332210~x C x C x C x C C w ++++= （3.4.8） 注意到，微分方程以及四个边界条件可得到5个方程，可以确定出（3.4.8）节中的5个待定系数C i （i =0，1，2，3，4）。

将（3.4.8）代入到（3.4.1）和（3.4.2a ，b ）中，得：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++==++++==-0
4320000EIC 243
423211
4
433221004L C L C L C C C L C L C L C L C C C q （3.4.9）
2EI
1，EI 24，EI 24，0322410qL C qL C q C C C -=====⇒
于是，挠度曲线函数为：
22
)(EI
24~x L x q w
-= 与前面的方法所得结果一致。

例3.4.2：简支梁的弯曲问题 解：梁的挠曲线微分方程为：
0EI 44=-q dx
w
d （3.4.1） 边界条件为：
000====L
x x ，w
w （3.4.10）
于是，把问题化为微分方程（3.4.1）和边界条件（3.4.10）的边值问题进行求解。

首先凭经验选取试函数（Trial Function ），以下采用低阶近似求解（所谓低阶近似，是指试函数中只含一个或几个待定参变量）。

一阶近似选取的试函数为：L x c w πsin ~1
= （3.4.11） 二阶近似选取的试函数为：L x c L x c w 3πsin πsin ~2
12+= （3.4.12） 1~w 和2~w 已满足边界条件（3.4.10），但不满足控制微分方程（3.4.1），将1~w 和2
~w 代入（3.4.1），得到内部残值R V ：
q L x L R V -⎪⎭
⎫
⎝⎛=πsin πEIC 4
1 （3.4.13）
q L x C L x C L R V -⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=3πsin 1πsin πEI 21
4
2
δ （3.4.14） 1、最小二乘法（Least Square Method ） （1）一阶近似
0π22EIC πEI πsin πEI πsin πEIC 4
40411=⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫
⎝⎛=
∂∂⎰⎰
L q L L dx
L x L q L x L dv C
R
R L
V V V （3.4.15）
EI
π44
5qL C =⇒ （3.4.16）
求得近似解为：L x qL w πsin EI
π4~451= （3.4.17）
梁中点挠度的近似值为：
EI 013071.0EI π
4~445max 1qL qL w == （3.4.18）
它的误差仅为0.386%，最小二乘法的一阶近似就已求得相当精确的近似解。

（2）二阶近似
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=∂∂=∂∂⎰
⎰0022
21
22dv C R R dv C R R V V V V V V （3.4.19） 将R V 2代入积分后得：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛0π221πEI 0π
22πEI 24
14L q L C L L q L C L δ （3.4.20） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒EI 243π4EI π44
52451qL C qL C （3.4.21） 求得近似解为：⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=L x L x qL w 3πsin 2431πsin EI π4~452
（3.4.22） 梁中点挠度的近似值为：
EI 013017.0EI 24311π4~445max 2qL qL w =⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-= （3.4.23） 其误差仅为0.027%，近似解的计算精度也提高了。

2、配点法（Collocation Method ） （1）一阶近似
试函数（3.4.11）中仅含一个待定系数C ，只需选一个配点即可。

选取2L x =
点为配点。

令内部残值在配点2
L
x =处为零，即： 0πEIC 4
2
1
=-⎪⎭
⎫
⎝⎛==
q L R L
x V （3.4.24）
求得C 为：
EI
π14
4qL C = （3.4.25）
将C 代入（3.4.11），得问题的近似解为：
L x qL w πsin EI
π1~441= （3.4.26）
梁中点挠度近似值为：
EI 010266.0EI π1~444max 1qL qL w == （3.4.27）
精确解为：EI
0130208.0EI 38454
4qL qL =，误差为21.16%。

（2）二阶近似
试函数（3.4.12）中含C 1，C 2两个参变量，应选取两个点为配点，选取：2L x =与4
L x =的点，令内部残值R V 2分别在这两个配点处为零，即得：
[][]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=--⎪⎭
⎫
⎝⎛==--⎪⎭⎫
⎝⎛===
14πEI 0
1πEI 214
4
2214
2
2q C C R q C C L R L
x V L x V δδ （3.4.28）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒EI π)22(11EI π22234
224221q L C q
L C δ （3.4.29） 近似解为：
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=L x L x q L w 3πsin )23(11πsin EI π2223~24
222δ （3.4.30）
梁中点挠度的近似值为：
EI
012366
.0EI )23(111π12223~442
422max 2qL
qL w =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=δ （3.4.31）
其误差为5%。

由此可见，二阶近似大大提高了近似解的精度。

继续增加参变量，进行高阶近似求解，可以求得更精确的近似解。

3、子域法（Subdomain Method ） （1）一阶近似
试函数（3.4.11）中仅含一个参变量，因此有：
0πEIC 23
01=-⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰
qL L dx R L
V （3.4.32） EI π2143qL C =⇒ （3.4.33）
因此近似解为：L x qL w πsin EI
π21~431= （3.4.34）
梁中点的挠度近似值为：
EI 016126.0EI
2π1~443max 1qL qL w == （3.4.35） 误差为23.85%。

（2）二阶近似
由于问题的对称性，令内部残值在子域⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，0L 与⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2，4L L 内的积分为零。

即得：
022127221πEI 421340
2=-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎰
qL C C L dx R L V []0
27πEI 2213
20
240
220
224
2=-+⎪⎭
⎫
⎝⎛==
-
=
⎰
⎰
⎰
⎰
qL C C L dx
R dx R dx R dx R L V L V L
V L L V （3.4.36）
EI
)22(π4271
EI
)22(π4234
2324
23
21qL
C qL C +⨯=
++=⇒ （3.4.37）
近似解：EI 3πsin 271πsin )23()22(4π1
~42
232
qL L x L x w ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⋅+= （3.4.38）
梁中点的挠度近似值为： EI
013677
.0EI )22(4π271
23~4423
2max
2qL qL w =+-+= （3.4.39） 其误差为5%，二阶近似也大大提高了近似解的精确度。

4、伽辽金法（Galerkin Method ） （1）一阶近似
选取L
x
πsin
作为权函数，有： 0
π22πEIC πsin πsin πEIC πsin 4
401=-⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡
-⎪⎭⎫
⎝⎛=⎰
⎰
L q L L dx
L x q L x L dx L
x R L L
V （3.4.40）
EI
π454
qL C =⇒ （3.4.41）
所求近似解与最小二乘法一阶近似结果相同。

（2）二阶近似
选取L x
πsin
与L
x 3πsin 作为权函数，有： ⎪⎩
⎪⎨⎧==⎰
⎰03πsin 0πsin 020
2dx L x
R dx L x R L
V L
V （3.4.42） 很显然，所得结果与最小二乘法的二阶近似结果相同。

5、矩量法（Method Mornert ） （1）一阶近似
选取“1”为权函数，所得结果与子域法完全相同。

（2）二阶近似
选取1与x 2为权函数，有
[]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-+⎪⎭⎫
⎝⎛=⎰
⎰099π4127π41πEI 3027πEI 222123
02221302L C C L dx x R qL C C L dx R L V L
V （3.4.43）
EI
2412π12π1EI 814π32π
1423
24
2
3
1qL C qL
C -=-=⇒ （3.4.44）
近似解为：
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=L x L x qL w π3sin 12π1241πsin 1π4381EI 2π1~23432 （3.4.45） 中点挠度的近似值为：
EI
012786
.0EI 12π12411π43812π1~4
4233max 2qL qL w =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （3.4.46）
其误差为1.8%，比一阶近似的误差23.85%小许多。

表1 采用五种方法一、二阶近似计算结果比较
上述选取同一个试函数，采用五种方法求得近似解。

（1）不同的方法所得的近似解的误差是不同的，其中以最小二乘法和伽辽金法较好，计算结果的误差较小；
（2）计算结果表明，二阶近似计算结果比一阶近似精度高；
（3）通常，随着试函数参变量的增加，会给出更好的近似解。

但有时并不总是如此。

例如，
选取的试函数项，恰恰包含了问题的精确解，这样，低阶近似就给出了精确解，再增加参变量，反而只给出近似解。

采用加权残值法解题的过程归纳如下：
（1）建立问题的控制微分方程和边界条件，初始条件；
（2）选取试函数，试函数中包含许多线性无关的试函数项和待定系数；
（3）将试函数代入控制微分方程或边界条件，导出包含待定系数的内部残值和边界残值；（4）选用各种不同的方法去消除残值，从而导出一组求解待定系数的代数方程组。

由该代数方程组求得待定系数，并代回试函数，即得问题的近似解。