点、直线和平面的投影

d
1(2) a X c 2
b
B
D
a
X
O b
c b 2 a c d 1
O
A
a 2 C
1
d
c
1
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
例6 判断两直线的相对位置
c
b
Z
c b d YW
a X
d o
a
a
d b
c YH
判断重影点的可见性
b 1 (3)4 2 d C B
2.3.2 直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线
平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线
(1)
(2) (3)
水平线
正平线 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1)
铅垂线
(2)
(3)
正垂线
侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z Z a b a a
第2章 点、直线和平面的投影
2.1 2.2 2.3 2.4 投影法的基本知识 点的投影 直线的投影 求线段实长及对投影面的倾角
2.5
2.6
两直线的相对位置
平面的投影
返回
2.1 投影法的基本知识
2.1.1 投影法概念
2.1.2 投影法的分类
2.1.3 正投影法的基本性质
2.1.1
投射线
投影法的概念
X
X
O
YW
a H
Y
a H
YH
点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三 个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H 面向下旋转90，W面向右旋转90。
Z
a
a
X
O
YW
a
YH
通常不画出投影面的范围
3. 点的三面投影与直角坐标的关系 Z
V
V
Z a xA O yA az zA ay
O
X
ax
O
H
a
点的V面投影与H面投影之间的连线a‘a垂直于投影轴0X ； 点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻 的投影面之间的距离，即 a'ax= Aa， aax= Aa' 。
2.2.2
点在三投影面体系中的投影
1.三投影面体系的建立 2.点的三面投影图
3.点的三面投影与直角坐标的关系
B
O c b c
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判 断已知点是否在侧平线上。
4.三投影面体系中点的投影规律 5.特殊点的投影
1. 三投影面体系的建立
V
Z
X
O
W
H
Y
三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。 H、V、W 面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称 为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
2. 点的三面投影图 Z
V
Z a a
W
V
a A O a W
1. 实形性
A C D B E
a
c
b H e d
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
2. 积聚性
A C D B E
c a（b） e d
H
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3. 类似性
A C D
B
E
a
b c e d
H
当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
2.2 点的投影
Z
Z a b a b b X
a b O
a
A
X b a B O
YW
b Y a
YH
两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或 坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在 前；Z坐标值大的点在上。
2. 重影点 a b A B c(d)
a(b)
c d
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在 该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。
一般位置直线
Z b B a X A a b X b a O b YW
b
Z
a

O

b
a Y a
投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、 不反映 、 、 实角
YH
2.3.3 直线上的点
b
c
C X a A 直线上的点具有两个特性： a
b
Y
b YH
投影特性： 1、 ab积聚 成一点 2 、 ab OX ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线 Z a b ab A X O a b YH B a b Z
ab
X
O
YW
a
b
Y
投影特性： 1、ab 积聚 成一点 2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB
A
a Mm
n
b
O X
O
n
m
a
b
H
直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上 的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。
2.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角
一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投 影面的倾角。 1.几何分析
2.作图要领
用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再 以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角 边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影 长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。 3.直角三角形的四个要素
3
d
4. 垂直两直线的投影
A B
a
b
c
b
O
YW
YH
2.3 直线的投影
2.3.1 直线的三面投影 2.3.2 直线对投影面的相对位置
2.3.3 直线上的点
2.3.1 直线的三面投影
Z b B a X A a b a X b b Y b Z a

O
O

b
a Y a
Y 空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某 一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。
A X
b
b

a

X
O
YW
B
O
b
a


a b
Y
b
YH
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
2. ab=AB
正平线— 平行于正面投影面的直线
Z b Z b
b
a
a

B
a
b
a

O

A X O
X
YW
a
b
Y
a
b YH
投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b=AB 3、反映、角的真实大小
a
b
X O
b
YW
b
X O b a(b) YH
B
a(b) Y
投影特性：1、a b 积聚 成一点 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB
ab A
正垂线— 垂直于正面投影面的直线 Z z ab a B O a
a
b
b
X
a
O
X
YW
2.2.1 点在两投影面体系中的投影 2.2.2 点在三投影面体系中的投影
2.2.3 两点的相对位置和重影点
2.2.1 点在两投影面体系中的投影
1. 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置 2. 两投影面体系的建立 3. 点的两面投影图 4.两投影面体系中点的投影规律
5. 点在其他分角的投影
1. 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
Z
az a
ax a H
z
O
X ax
ay YH
O
ay
YW
ay Y
a
点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a‘a⊥0X ； 点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a’ a“⊥0Z；点 的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等 ，都反映点到V面的距离。 长对正 高平齐 宽相等
S A 投影中心
空间点
b
a
B
投影
投影面P
将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得 到物体影子的方法称为投影法。
2.1.2 投影法的分类
1. 中心投影法 2. 平行投影法 （1）斜投影 （2）正投影 投射线汇交于一点。 投射线互相平行。 投射线与投影面倾斜的平行投影。 投射线与投影面垂直的平行投影。
1. 中心投影法
S
H
2.平行投影法----斜投影
H
2.平行投影法----正投影
90°
H
2.1.3
正投影法的基本性质
1. 实形性 当线段或平面平行于投影面时， 其投影反映实长或实形。 2. 积聚性 当线段或平面垂直于投影面时， 其投影积聚为点或线段。
3. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时， 其投影变短或变小。
V
a A
X
O
a
H
2.两投影面体系的建立 V
正立投影面
X H
O
水平投影面 投影轴
两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面 将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分 角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
3.点的两面投影图
V
点A的正面投影
a
A
X
O
点A的水平投影
H
a
点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影 后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。
两面投影图的画法 V a A V a
X
ax a
O
X
ax
O
H H
a
H
展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影图 来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同 投影面上的投影来表示点的空间位置。
a
X
ax
O
a
通常不画出投影面的范围
4.两投影面体系中点的投影规律
V a A X ax a a
bb0
a bb0 A B
X
a
b’
O
b b0
2.5
b c a X A b a B C d
两直线的相对位置
1.平行两直线
b c D X O b c a b c d a d
O
（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两 直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。 （2）平行两线段之比等于其投影之比。
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
Z a A b X a a
Z
a

a
X b O a b

b

YW

O
B
Y
b
b YH
投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH 2、ab =AB 3 、反映 、 角的真实大小
a
A
铅垂线— 垂直于水平投影面的直线 Z Z a
a
2.相交两直线
d k a X c K D O b b B a k
d b
X
c
c b k
O
C Ac a
k
d
a
d 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于 两直线。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且 交点属于两直线，则该两直线相交。
3.交叉两直线
d 1(2) b
例3 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C 的投影。 b c a X b
O
c
a
例4 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
V
b
c
b c X O
cb
a
X A a c
B C
ac
a
b c O
H
b
a
直线的迹点 m V N n
b a
X m B a m
b
Z
a c(d) b
X O
d
a c b
YW
d a(b) c
YH
判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的 投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影 加括号表示。
例2 投影。
已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的 Z a 12 a
b X 10 b 6 a
a
y
az
x a W
a
W
X
ax a H
z
O
X
ax
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱYW
ay Y H
a
ay
YH
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴， 则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影 就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
4. 三投影面体系中点的投影规律 Z V a az a y x X a W
c
a
1 3
2 4 D O A c a 1(2) 3 4 d b
X
判断重影 点的可见性时， 需要看重影点 在另一投影面 上的投影，坐 标值大的点投 影可见，反之 不可见，不可 见点的投影加 括号表示。
例7
判断两直线重影点的可见性 b 1 3(4)
c
2
a X
d
O b 4 c a 1(2)
5. V
特殊位置点的投影 Bb a
b Cc c
Aa H
X b
O
a
X b a
c c
O
投影面上的点 投影轴上的点 与原点重合的点
例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
Z
a
X
O
YW
a
YH
2.1.3 两点的相对位置和重影点
1.两点的相对位置
2.重影点
1. 两点的相对位置
实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知 四要素中的任意两个，便可确定另外两个。
几何分析
b B a X A a b AB |zA-zB| ab b |zA-zB |
|zA-zB|
a X

O
C
b
O
a AB
|zA-zB| ab

AB

例5
已知 线段的实长AB以及ab和a’，求它的正面投影a’b’。 b’