2.5 圆锥曲线的共同性质

2.5圆锥曲线的共同性质

班级__________姓名____________ ______年____月____日

【教学目标】了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法． 【教学重点】解决与准线相关的简单的圆锥曲线问题． 【教学难点】根据标准方程求圆锥曲线准线方程． 【教学过程】 一、引入：

1．椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别在何处？

2．离心率：椭圆0＜e ＜1 ，双曲线e ＞1, 抛物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？

二、新授内容：

问题1．在推导椭圆的标准方程时,

我们曾经得到这样一个式子2a cx -=，

c

a x c

=-，你能解释这个式子的几何意义吗?

问题2．已知点),(y x P 到定点)0,(c F 的距离与到定直线l ：2a x c =的距离之比是常数(0)c

a c a

>>，

求点P 的轨迹方程．

变式：将条件0a c >>改为0c a >>呢？

1．圆锥曲线的统一定义：

平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．

当 时，它表示椭圆； 当 时，它表示双曲线； 当 时，它表示抛物线．

其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．

2．椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的准线方程是_________________________；

双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的准线方程是_____________________．

例2．求下列曲线的焦点坐标和准线方程：

（1）22416x y +=； （2）22832y x -=； （3）20x y +=．

【变式拓展】求下列曲线的准线方程：

①22

22153x y +=； ②222516400x y +=； ③22832x y -=；

④224x y -=-； ⑤216y x =； ⑥23x y =-．

【变式拓展】（2）焦点坐标为，(，准线方程为x =±的椭圆方程为 ．

（3）顶点坐标为(0,2)，(0,2)-，准线方程为4

3

y =±的双曲线方程为 ．

反思：

例3．已知椭圆2212516

x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，求点P 到椭圆右准线的距离．

【变式拓展】已知双曲线22

16436

x y -=上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离．

例3．填空题专项：

（1）到定点(5,0)A 及定直线16

5

l x =：的距离之比为5:4的点的轨迹方程为 ．

（2）设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分，则此双曲线的离心率为 ．

（3）已知P 是椭圆22x a ＋2

2y b

＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离

分别为6，12，则椭圆方程为__________________．

*（4）椭圆22

143

x y +=内有一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M ，使2MP MF +最小，则点M 坐

标为 ．

三、课堂反馈：

1．中心在原点，准线方程为4y =±，离心率为1

2

的椭圆方程是 ．

2．已知双曲线的焦点为(，渐近线方程为3

2

y x =±，则它的两条准线间的距离是________．

3．已知双曲线22

194

x y -=上一点P 到右焦点的距离为3，则点P 到左准线的距离为 ．

4．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点到相应准线的距离等于a ，则椭圆的离心率为 ．

*5．椭圆()22

2210x y a a b

+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段

AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．

四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是 ．

2．双曲线的两条准线分顶点间距离为三等分，则双曲线的离心率为_________．

3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线2

24y x =

的准线上，则双曲线的方程为 ．

4．双曲线的渐近线方程为2y x =±，焦点在x ， 则双曲线的方程为 ．

5．椭圆22

12516

x y +=上的点A 到右焦点的距离等于4，则点A 到两条准线的距离分别为__________．

6．已知双曲线22x a －2

2y b

＝1（0,0a b >>）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积

为22a （o 为原点），则渐近线的方程为_______________．

*7．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； （4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）． 其中适合抛物线210y x =的是 (要求写出所有适合条件的序号)____________．

8．若双曲线22

116x y k

-=的一条准线恰好为圆2220x y x ++=的一条切线，则实数k 为________．

9．已知点P 在抛物线24x y =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(2,3)， 求PA PF +的最小值及此时点P 的坐标．

*10．已知(A -是椭圆22

11612

y x +=内一点，2F 是椭圆的上焦点，点M 在椭圆上移动，

当22MA MF +取最小值时，求点M 的坐标．