工程力学第三章

F2
F4
F3
F3 F4
b. 解析法∶ FR = F Rx i + F Ry j + F Rz k
Fi = F i x i + Fi y j + Fi z k
n
F Rx
=
∑ Fix
i=1
n
F Ry = ∑ Fi y
i=1 n
F Rz = ∑ Fi z
i=1
n
FR
=
∑F
i=1
i
▲ 力系的主矩
定义 ∶ 力系中所有力对同一点之矩的 矢量和，称为力系对这一点的主矩。
M o(F)
力矩矢
F
大小、方向、矩心 定位矢量
k
A
r
O i
jd
y
x
M o(F) = r × F = Fr sin (r , F) = F d
垂直于 r 与 F 所确定的平面,指向用右手定则。
z
k O
ij
x
B F
A (x，y，z)
r
y
r = xi + yj + zk
F = Fxi + Fy j +Fz k
FR ≡ 0
思考：如图所示结构，力偶引起的支座反力是否相等？
正确理解力系的主矢和主矩的概念。
正确理解力偶的概念和性质。
能熟练地应用力偶系平衡条件求解力偶系的平 衡问题。
A ·B = A B cos(A ，B)
数学工具箱
i ·i = 1 j ·j = 1 k ·k = 1 z
i ·j = 0 j ·k = 0 k ·i = 0
C kB
O
y
A×B=C
ij
C = A B sin ( A, B ) x A
M z(F) = 0
⑴ 当力与轴相交时； ⑵ 当力与轴平行时；
单位∶N ·m kN ·m
2. 力对点之矩与力对轴之矩的关系
z Fz
A
M oz
M o(F) k r
j
O
i rxy
x
M z (F) = ( r xy× Fxy ·k )
F F xy
y
F xy
M x(F) = M ox M y(F) = M oy M z (F) = M oz
工程力学第三章
2020/8/6
Chapter Three System of Couples
本章基本要求 3.1 力对点之矩 3.2 力对轴之矩 3.3 力系的主矢和主矩 3.4 力偶及其性质 3.5 力偶系的合成与平衡 本章内容小结
本章基本要求
深刻理解力对点之矩的概念和力对轴之矩 的概念，并要求熟练计算。
n
M o ( FR )
=
∑
i=1
M
o
(
F
i
)
例题1
图示圆柱直齿轮，受到啮合 力 Fn 的作用。试计算力 Fn 对于 轴心 O 的力矩。
Or d
解：
α Fn
Or
F
α Fn
Fr
动脑又动笔
y
已知力 F 的作用点 A 的坐 标为 x 和 y ,试计算力 F 对于 坐标原点 O 的矩。
O
解：
Fy
α A
F
Fx
结论 力对点之矩在过该点的轴 上的投影等于力对该轴之矩。
3.3 力系的主矢和主矩
F1
1. 力系的主矢和主矩的概念
…
▲ 力系的主矢
Fn
F2
定义∶ 一般力系中所有力的矢量和。
n
FR
=
∑F
i=1
i
分析和讨论 主矢 = 合力 大小，方向，作用线
大小，方向，自由矢量
a. 几何法∶ 多边形法则
F1 F2
O
x
3.2 力对轴之矩
zz
力对轴之矩是力对刚体所产
生的绕该轴转动效应的度量。
1. 力对轴之矩的概念
M z (F) = M z (Fxy
=
) Mo (F xy )
xy
= ± Fxy d
k
O
Fz
d
rxy A
M z (F) = ( r xy× Fxy ·k )
F F
F xy
M z(F)
代数量； Fxy d ； 按右手定则来确定正负号。
例. 长方体，上下底为正方形，边长 小F ；求力 F 对点O矩矢 。
，高a，力大
解 ：
y
O
r
A
a
x
F
z
3. 力对点的矩的基本性质 力对点之矩矢服从矢量的合成法则。
Mo = Mo ( F 1) + Mo ( F2 ) +
+ Mo ( Fn )
4. 合力矩定理
当一空间力系与一合力等效时，空间力系的合力对任 一点之矩等于力系中各力对同一点的矩之矢量和。
i×i =0 j×j=0 k×k=0 i×j =k j×k=i k×i=j
3.1 力对点之矩
O dα F
力对刚体的转动效应的度量。
O
O
d
F
F
y
1. 平面问题中力对点的矩
B
M o(F) 代数量
O
大小 M o (F) = ± F d
转向 逆时针转向为正。
F
x
A
d
单位∶N ·m kN ·m
2. 空间问题中力对点的矩 飞机水平和垂直尾翼的主要作用
解析表示∶
M o(F) = r × F
= ( x i + y j + z k )×（ Fxi + Fy j +Fzk ）
= (yFz– zF y) i + (zFx– xFz ) j + (xFy– yFx ) k
ijk =x y z
Fx Fy Fz
M o(F) = M ox i + M oy j + M oz k M ox = (y Fz – z Fy ) M oy = (z Fx – x Fz ) M oz = (x Fy – y Fx )
n
n
Mo
=
∑
i=1
M o(
Fi)
=
∑ ri
i=1
× Fi
解析法∶
M o(F) = M ox i + M oy j + M oz k
n
M ox =
∑
i=1
M
ox(
Fi
)
n
M oy
=∑
i=1
M oy( Fi )
n
M oz =
∑
i=1
M oz( Fi )
分析和讨论
正立方体的顶角作用着六个大小相等的力，此力系对 任意点的
2. 空间问题中力对点的矩
力使物体绕 O 点转动的效果决定于？
F
A Od
三要素∶ 力矩的大小 转向 力矩作用面的方位
z
M o(F)
kr O
ij
x
B F
A (x，y，z)
y
z
B M o(F)
F 定义∶
M o(F) = r × F
k
A
r
O j
i
y
x
力对点O 的矩等于矢径 r 与力F 的矢积。
z
B
3.4 力偶及其性质
1. 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平
行力所组成的力系，称为力偶。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（F,F）
力偶臂
dF F
力偶的作用面
2. 力偶的基本性质
① 力偶不能与一个力等效
F
（即力偶没有合力），因此 也不能与一个力平衡。力偶
FR ≠ 0
是最基本、最简单的力系。
F
② 力偶的主矢 ≡ 0
F
① 主矢 = 0 , 主矩 ≠ 0
F1
F6
② 主矢 ≠ 0 , 主矩 ≠ 0 ③ 主矢 ≠ 0 , 主矩 = 0 ④ 主矢 = 0 , 主矩 = 0
F5 F2
F3
F4
2. 力系等效定理
两个不同力系等效的充分必要条件是 主矢相等，且对同一点的主矩相等。
推论 力系平衡的充分必要条件∶
主矢 = 0 ，对任意点的主矩 = 0