第二章 误差的基本性质与处理

2 用残差表示：R 3
2 v i i 1 n
n( n 1)
4 4 平均误差：T x x 5 5 n n 2
4 i 1 用残差表示：T 5 n(n 1)
2 v i n
五
测量的极限误差
测量的极限误差是极端误差，测量结果 （单次测量或测量列的算术平均值）的误差 不超过该极端误差的概率为P，并使差值（1 －P）可予忽略。 I. 单次测量的极限误差
i li L0 i li x x L0
令：x L0 x
则： i vi x
2 i
推导得：
v
i 1
n
n 1
......贝塞尔(Bessel) 公式
2 或然误差： 3
v
i 1
n
2 i
n 1
4 平均误差： 5
v
总 结 复 习
算术平均值：x
n
l
i 1
n
i
n
2 i
L0
标准差：

i 1
n
用残差表示：
v
i 1
n
2 i
n 1
测量列算术平均值标准差： x
2 t 1 2 概率积分 : (t ) e dt 2 0

n
t
t , t
单次测量极限误差： limx t
式中， ( sigma)为标准差（或称为方 均根误差有）；e为自然对数的底，其值 为 2.7182 。它的数学期望(均值)为：
E
2
e
2 2
F( )
2
－
e
2 2
d

f ( )d 0

其方差：
2 f ( )d
2

平均误差：在一定测量条件下，一组独立的 随机误差绝对值的数学期望称为平均误差。
随机误差在(， )间出现的概率：
1 P( ) 2
－
e
2 2 2
2 d e 2 0

2 2 2
d
引入新变量 t为置信系数 ： t , t t 2 t 2 P( ) e dt 2(t ) 2 0
第一节 随机误差
一． 随机误差的产生原因
1. 随机误差：在同一测量条件下，多次 测量同一量值时，绝对值和符号以不 可预定方式变化的误差称为随机误差。 就随机误差的总体而言，却具有统计 规律性。 2. 随机误差产生原因：随机误差是由很 多暂时未能掌握或不便掌握的微小因 素所构成，主要有以下几方面：
测量装置方面的因素：零部件配合的不稳
2 x1 2 x2
p1 : p 2 : : p m
1
源自文库
:
1
::
1
III. 加权算术平均值
若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到 m个测量结果 x1 , x2 ,, xm ，设相应的测量次 数为 n1 , n2 ,, nm ，即：
x1
l
i 1
n1
1i
n1
, x2
l
i 1
1 1 D( x ) 2 nD(l ) D(l ) n n

2 x

2
n
x

n
由此可知，在n次测量的等精度测量列中， 算术平均值的标准差为单次测量标准差的 1 当测量次数 n愈大时，算术平均值愈接近被测 n 量的真值，测量精度也愈高。
2 2 或然误差：R 0.6745 x x 3 3 n n
定性、零部件的变形、零件表面油膜不均 匀、摩擦等。 环境方面的因素：温度的微小波动、湿度 与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘 以及电磁场变化等。 人员方面的因素：瞄准、读数的不稳定等。
二． 正态分布
1. 随机误差一般具有以下几个特征：
误差的对称性：绝对值相等的正误差与负误差出 现的次数相等，这称为误差的对称性。 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现 的次数多，这称为误差的单峰性。 有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对 值不会超过一定界限，这称为误差的有界性。 抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术 平均值趋于零，这称为误差的抵偿性。
• 用不同测量次数进行对比测量。测量次数n的取 值不同。 • 用不同精度的仪器进行对比测量。
I. 权的概念
在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程 度不一样，因而不能简单地取各测量结果的 算术平均值作为最后的测量结果，应让可靠 程度大的测量结果在最后的结果中占的比重 大一些，可靠程度小的占比重小一些。 各测量结果的可靠程度可用一数值来表示， 这个数值即称为该测量结果的“权”，记为p。 因此测量结果的权可理解为：当它与另一些 测量结果比较时，对该测量结果所给予的依 赖程度。
L0
l
i 1
n
i
n


i 1
n
i
n
因正态分布随机误差：当 n 时，有

i 1 n i
n
0
x
l
i 1
n
i
n
L0
一般情况下，被测量的真值为未知，不可能 求得随机误差，这时可用算术平均值代替被 测量的真值进行计算，则有：
vi li x i 1,2,, n 式中，l i 为第i个测得值， v i 为 l i 的残余误差（简称残差）。
算术平均值的极限误差： lim x t x
作业：P53-2-2,2-4,2-5
六
不等精度测量
为了得到更精确的测量结果，如在科学研究 或高精度测量中，往往在不同的测量条件下， 用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测 量次数以及不同的测量者进行测量与对比， 这种测量称为不等精度测量。 在一般的测量工作中，常遇到的不等精度测 量在两种情况：
l
i
算术平均值与被测量的真值最为接近，由概 率论的大数定律可知，若测量次数无限增加， 则算术平均值 必然趋近于真值 x L0 测量系列中的随机误差之和：
1 2 n (l1 l 2 l n ) nL0
l
i 1 i i 1
n
n
i
nL0
x
p x
i 1 m i
m
i
p
i 1
i
当：p1 p2 pm p
x
p xi
i 1
m
mp

x
i 1
m
i
m
为简化计算，加权算术平均值可用下式表示：
x x0
p (x
i 1 i m i 1
m
i
x0 )
i
p
式中
x0
P(a L b) f ( L)dL
a b
f ( )


F( )
三
算术平均值
1. 算术平均值的意义
算术平均值：在系列测量中，被测量的n 个测得值的代数和，除以n而得的值称为 算术平均值。 设 l1 , l2 ,, ln 为n次测量所得的值，则算术 平均值 n
l1 l 2 l n x i 1 n n
12 22 n2
n
2 i i 1
I.
n
正态分布的随机误差分布密度
1 f ( ) e 2
2 2 2

坦。
值越小 ，曲线变陡 ；反之 ，曲线越平
可作为测量列中单次测量不可靠性的评 定标准。

当被测量的真值为未知时，不能求得标 准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残 余误差 v i 代替真值误差，而得到标准的估计 值。
简便法进行计算方法：
任选一个接近所有测得值的数 l 0 作为参 考值，计算出每个测得值 l i 与 l 0 的差值： li li l0 , i 1,2,, n
x
l
i 1
n
i
n
, x0
l
i 1
n
i
n
x l0 x0
四
测量的标准差
测量的标准偏差简称为标准差，也可 称为方均根误差。 测量列中单次测量的标准差 由于随机误差的的存在，等精度测量 列中各个测得值一般皆不相同，它们围绕 着该测量列的算术平均值有一定的分散， 此分散度说明了测量列中单次测得值的不 可靠性，必须用一个数值作为其不可靠性 的评定标准。 n
II. 算术平均值的极限误差
测量列的算术平均值与被测量的真值之差称 为算术平均值误差 x x L0 测量列 xi (i 1,2,, N ) 的算术平均值误差为正 态分布时,同理可得 limx t x
随机误差；正态分布：条件：误差的对称 性；单峰性；有界性；抵偿性；公式。
II. 权的确定方法
最简单的方法是按测量的次数来确定权，即 测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量 次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可 由测量的次数来确定权的大小，即 pi ni 。 假定同一个被测量有m组不等精度的测量结 果，这m组测量结果是从单次测量精度相同 而测量次数不同的一系列测量值求得的算术 平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准 差均为 ，则各组算术平均值的标准差 为： xi , i 1,2, m ni
n2
2i
n2
,, x m
l
i 1
nm
mi
nm
根据等精度测量算术平均值原理，全部测量 的算术平均值应为：
nm n2 n1 x l1i l 2i l mi i 1 i 1 i 1
n
i 1
m
i
则：
n1 x1 n2 x2 nm xm p1 x1 p 2 x2 p m xm x n1 n2 nm p1 p 2 p m
i 1
n
2 i
n 1
II. 测量列算术平均值的评定标准
在相同条件下对同一量值作多组重复的系列 测量，每一系列测量都有一个算术平均值。 标准差 x 则是表征同一被测量的各个独立测 量列算术平均值分散性的参数，可作为算术 平均值不可靠性的评定标准。
l1 l2 ln 已知算术平均值：x n
1 方差：D( x ) 2 ( D(l1 ) D(l2 ) D(ln ) n
D( X 1 X 2 X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) D( X n )......方差性质
D(l1 ) D(l 2 ) D(l n ) D(l )
4 f ( )d 5

2
或然误差：



1 f ( )d 2
2 0.6745 3
随机变量 L 出现在区间 (a, b) 的概率是 则对于偶然误差 来说，出现在区间 ( , ) 的概率是0.5，那么偶然误差 的或然误差就 是 。
服从正态分布的随机误差均具有以上四个 特征。
2. 正态分布
设被测量的真值为 L0 ，一系列测得值 l L 为 li ，则测量列中的随机误差为： 式中， i 1,2, , n 。 正态分布的分布密度 f ( ) 与分布函数 F ( ) 为： 1 1
i i
2
0
2
f ( )
2 2 2 2 n n n 由此可得： 1 x1 2 x 2 m xm
pi ni
2 2 2 2 p1 x p p 1 2 x2 m xm
x2m • 由此可得出结论：每组测量结果的权与其 相应的标准差平方成反比，若已知各组算 术平均值的标准差，则可按上式确定相应 权的大小。 • 测量结果的权的数值只表示各组间的相对 可靠程度，它是一个无量纲的数
2
2 1 t 2 (t ) e dt......概率积分 2 0
t
不同t的 (t ) 可由附录表1查出 在一般的测量中，测量次数很少超过几十 次，因此可认为绝对值大于 3 的误差是不可 能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极 限误差 limx 。
limx 3 当t=3时，对应的概率这P=99.73%。
复
习
误差存在的必然性和普遍性； 研究误差的意义； 误差：绝对误差，相对误差，引用误差； 误差来源；误差分类。 精度。 有效数字与数据运算――数字舍入规则； 数据运算规则。
第二章 误差的基本性质与处理
任何测量总是不可避免地存在误差，为了 提高测量精度，必须尽可能消除或减小误 差，因此有必要对各种误差的性质、出现 规律、产生原因、发现与消除或减小它们 的主要方法以及测量结果的评定等方面作 进一步研究。