函数恒成立存在性及有解问题

函数恒成立存在性问题

知识点梳理

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立

在上恒成立

另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B

x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .

4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥

5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤

6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥

7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤

8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象

上方；

9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；

例题讲解：

题型一、常见方法

1、已知函数12)(2

+-=ax x x f ，x

a

x g =

)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4

1

[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．

3、已知两函数2

)(x x f =，m x g x

-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实

数m 的取值范围为

题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)

1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式2

12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数， (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2

()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围； 题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）

1、当()1,2x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________ 2、已知函数()2

22f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。 题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法

若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

1、存在实数x ，使得不等式2

313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。

2、已知函数()()2

1ln 202

f x x ax x a =-

-≠存在单调递减区间，求a 的取值范围 小结：

恒成立与有解的区别

恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 ①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<，x I ∈。即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<，x I ∈。 或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>，x I ∈。即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ⇔>，x I ∈.。 或()f x 的上界大于或等于M ；

课后作业：

1、设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2

[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ ）

（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}

2、若任意满足0

5030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩

的实数,x y ，不等式222

()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是 ___ .

3、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是

4、不等式

ax ≤

[]0,3x ∈内恒成立，求实数a 的取值范围。

5、已知两函数()2728f x x x c =--，()32

2440g x x x x =+-。

（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤)成立，求实数c 的取值范围； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；

6、设函数3

221()23(01,)3

f x x ax a x b a b R =-

+-+<<∈. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立，求a 的取值范围。

7、已知A 、B 、C 是直线 上的三点，向量OA →，OB →，OC →

满足：()[]()01x ln 1f 2y =⋅++⋅'+-. （1）求函数y ＝f(x)的表达式；

（2）若x ＞0，证明：f(x)＞2x

x ＋2；

（3）若不等式()

3bm 2m x f x 212

22--+≤时，[]1,1x -∈及[]1,1b -∈都恒成立，求实数m 的取值范围．

8、设()x ln 2x q px x f --=，且()2e

p

qe e f --=（e 为自然对数的底数）

(I) 求 p 与 q 的关系；

(II)若()x f 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；

(III)设()x

e

2x g =，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立, 求实数 p 的取值范围.

函数专题4：恒成立问题参考答案：

题型一、常见方法

1、分析：1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．

简解：（1）由1

2012232

++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(2

3++=x x

x x ϕ的最小值大于a 即可．对