市场经济中的蛛网模型

市场经济中的蛛网模型

摘要

一个时期以来，某种消费品如猪肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下降，生产者发现养猪赔钱，于是开始转业，使猪肉上市量大减，价格上涨，生产者看到有利可图，便从操旧业，使价格下降。在无外界干预情况下，这种现象将如此循环下去。

问题重述

因为商品的价格是有消费者的需求关系决定，商品数量越多，价格越低，而下一时期商品的数量由生产者的供应关系决定，商品价格越低，生产的数量就越少。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是震荡的。本题先用图形方法建立蛛网模型，对上述现象进行分析，给出市场经济趋于稳定的条件；再用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施；最后对上述模型作适当推广。

关键字

图形方法蛛网模型经济稳定差分方程政府干预推广

市场经济数学建模

模型建立

蛛网模型 记第k 时段商品的数量为k x ，价格为k y k=1,2⋅⋅⋅，，

把时间

离散化为时段，1个时段相当于商品的一个生产周期、种植周期或饲养周期。 同一时段，商品的价格k k y =f x （） （1）下一段商品的数量k+1x 由上一时段价格k y 决定，设

k+1k k k+1x =h y y =g x （）或（） （2）这里g 是h 的反函数。

如下面两个图。交点000p x y （，）

是平衡点。 记f 在0p 点斜率的绝对值（因为它是下降的，为f K ，g 在0p 点的斜率

为g K 。由图形知，当f g K K 〈时，0p 是稳定的（图1），当f g K K 〉时，0p 点不是稳定点。

差分方程模型

在0p 点附近可以用直线来近似曲线f 和h ，设（1），（2）式分别近似

为00(),0k k y y x x αα-=--〉 （5） 100(),0k k x x y y ββ+-=-〉 （6）

整理二式得100(),1,2,k k x x x x k αβ+-=--=⋅⋅⋅ （7）

由（7） 1010()()k k x x x x αβ+⇒-=-- （8） 当k 0x x k →∞→时，即0p 点稳定的条件是11αβαβ〈〈或 （9） 而k k x →∞→∞时，即0p 点不稳定的条件是11αβαβ〉〉或 （10） 注意（5）和（6）中αβ，的定义，有f g 1k =k =αβ，，所以（9），（10）与蛛网模型中直观结果（3），（4）是一致的。

模型结果分析

说明：α表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度，β表示价

格上涨1个单位时商品供应的增加。

α的数值反应消费者对商品需求的敏感程度，β的数值反应生产经营者对商品价格的敏感程度。 解释：当供应函数g 即β固定时，α越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，（9）越容易成立，有利于经济稳定。当α固定时，β越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，（9）也越容易成立，有利于经济稳定。反之，当αβ，较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，会导致

（10）成立，经济不稳定。

经济不稳定时的干预办法

由上述分析可知，当市场经济不稳定时，政府有两种干预办法。 1 使α尽量小，考虑=0α，即需求曲线水平。此时无论β多大，（9）

式总成立，经济总是稳定的。实际这种方法相当于政府控制物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变。

2 使β尽量小，考虑=0β，即供应曲线竖直。此时无论α多大，也总是稳定。实际这相当于控制市场上的商品数量，当供应量小于少于需求时，从外地收购或调拨，投入市场；当供过于求时收购过剩部分，维持商品上市不变。显然，这种办法需要政府具有相当强的经济实力。

模型推广

如果生产者的管理水平和素质更高一些，他们在决定商品数量k+1x 时，不仅根据前一时期的价格k y ，而是根据前两个时期的价格k k-1y y 和。为简单计算，设根据二者的平均值k k-1y +y )2（，于是供应函数（2）表示为11()2

k k k y y x g +++= （11） 相应的（2）的线性近似表达式（6）改为1010(2)2k k k x x y y y β

+--=+-

（12） 其中β表示平均价格上涨一个单位时1k x +的增量。又设需求函数不变，

由（5）（12） 2102(1),1,2,k k k x x x x k αβαβαβ++⇒++=+=⋅⋅⋅ （13）

（13）是二阶线性常系数差分方程。求0p 点稳定的条件，只需利用

方程特征根均在单位圆。

由（13）的特征方程220λαβλαβ++=容易算出其特征根为

1,2λ= （14）

当8αβ〉时，显然有24

αβλ= 从而222,λλ〉在单位圆

外。下面设8

αβ〈，由（14）可以算出

1,2

λ=（15）

要使特征根均在单位圆，即

1,21

λ〈，必须有2

αβ〈（16）

这就是

p点稳定的条件。与原有模型中0p点稳定的条件（9）相比，参数αβ

，的围放大了。因此，生产者的管理水平和素质提高，对市场经济的稳定起着有利影响的必然结果。

模型优缺点

参考文献：

[a]启源:数学模型.高等教育，2003

[b]梁国业:数学建模.冶金工业，2004

[1] 周异.基于繁殖规律的生猪市场供应模型[J].华南农业大学学报，2009，1(8)：47-51.

[2] 窦爱丽，蕾，志强.近十年我国生猪市场的“蛛网紊乱”现象[J].中国畜牧杂志，2007，43(14)：1-5.

[3] 秉龙，何秋红.中国猪肉价格短期波动及其原因分析[J].农业

经济问题，2007（10）：18-21.

[4] 邵光兴.猪肉价格上涨的经济学分析[J].农业经济，2008（1）：

[5] 綦颖，吕杰，宋连喜.关于中国生猪产业的周期波动问题探析[J]. 农业现代化研究，2007（9）：567-570.