空间的角的计算
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3.2.3 空间的角的计算（1）
学习目标：
能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题； 学习过程： 活动一：（复习回顾）
1. 如何求空间两条异面直线所成的角？它的取值范围是多少？
2. 如何求直线与平面所成的角？它的取值范围是多少？
3. 如何求二面角的平面角？它的取值范围是多少？
4. 向量的夹角公式为 .
活动二：（求异面直线所成的角）
例1. 在正方体1111D C B A ABCD -中，点11,F E 分别在1111,D C B A 上，且
111141B A B E =,111141
C D F D =,求1BE 与1DF 所成的角的余弦值。
例2、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2====BD CD CB CA
2==AD AB
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小
B
C
D
1C
1A A 1B
1F 1E
1D
思考：两条异面直线方向向量的夹角与这两条异面直线所成的角有什么关系？
活动三：（求直线与平面所成的角）
例3、在正方体1111D C B A ABCD -中，F 是BC 的中点，点1E 在11C D 上，且
11114
1
C D E D =
,求直线F E 1与平面AC D 1所成角的的余弦值（向量法）
。
思考：直线的方向向量和平面的法向量的夹角与直线与平面所成的角有什么关
系？哪个地方易错？
小结： a r 为直线l 的方向向量， n r
为平面α的法向量，设l 与α所成的角为θ，
则有 .
E
F
D C
B
A
3.2.3 空间的角的计算（2）
学习目标：
能用向量方法解决二面角的计算问题. 学习过程：
例1、在正方体1111D C B A ABCD -中，求二面角11C BD A --的平面角的余弦值.
例2、直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E 的余弦值；
例3、在四棱锥中，侧面
底面
，，为
中点，底面是直角梯形，
，
，
，
.
（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面
；
（Ⅲ）设
为侧棱
上一点，
，试确定的值，使得二面角
为
.
思考：两平面法向量的夹角与这两个平面所成的二面角有什么关系？
小结：设二面角βα--l 的两个半平面βα,的法向量分别是12,n n u r u u r
，二面角
βα--l 的大小为θ，则有 .