用空间向量求空间角ppt课件
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(2)求二面角
uuur
Bu1uur
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明:以 DA、DC、DD1为正交基底, A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2,0,1),MC (0,2,1),
uuur B1O (1,1, 2)
D O
A(2,0,0),C(0,2,0),M (0,0,1), A
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
Dy
C
12
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为: (1)确定直线的方向向量和平面的法向量; (2)求两个向量夹角的余弦值; (3)确定线面角与向量夹角的关系:向量夹角为锐角 时,线面角与这个夹角互余;向量夹角为钝角时,线面角 等于这个夹角减去90°.
uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
7
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为: (1)确定空间两条直线的方向向量; (2)求两个向量夹角的余弦值; (3)确定线线角与向量夹角的关系;当向量夹角为锐角时, 即为两直线的夹角;当向量夹角为钝角时,两直线的夹角为向 量夹角的补角.
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上,
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
z
得n (1,1, 4) 又
uuur AD (0,8, 0),
3
AA11 BB11 M
NN C11
D11
A
| 0 1•8 0 | 3 34 , 8 • 12 12 ( 4)2 34
n2
uur uur
n1,n2
uur
n2
uur
n1
uur
n1
l
ur uur
cos cos n1, n2
l
ur uur
cos cos n1, n2
关键:观察二面角的范围
15
例3.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2,
O为AC和BD的交点,M为 DD1的中点
z
(1)求证: 直线B1O 面MAC;
①向量法
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D
C
A
B
10
练习:在长方体 ABCD A1B1C1D1中, AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上,
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解:如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
4
一、线线角:异面直线所成的锐角或直角
范围:
C
0,
2
D 思考:空间向量的夹角与
A D1 异面直线的夹角有什么关系?
B
r
r
设直线CD的方向向量为a,AB的方向向量为b
r
a
rr
r
a,b
r
ara,br
r
b
b
结论: cos
|
uuur uuur |
|cos CD, AB |
5
例1.如图所示的正方体中,已知F1与 E1为四等分点,求异面直线DF1与BE1的
B1(2,2,2),O(1,1,0)。
x
uuur uuur
uuur uuuur
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有:线线角、线面角、面面角
1
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量:三点两线一方程 • 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 则(1)a·b= a1b1+a2b2+a3b3 .
2
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b,平面α、β的
z
AA11
BB11 M
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设AA平NM面••nn的0法0 向即量n64xy(x23, zyy,z60),z由 0
x
B
D11 N C11
Dy
C
11
练习:在长方体 ABCD A1B1C1D1中, AB 6, AD 8,
13
三、面面角:
以二面角的棱上任意一点为端点,在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足:
A O
l
B
1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
14
10
三、面面角:
uur uur
向量法
uur n1,n2
夹角余弦值z?
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 传统法:平移
D
C
y
② 向量法
A
B
x
6
练习:RtVABC中,BCA 900,现将VABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置,已知 BC CA CC1,
取A1B1、A1C1的中点D1、F1,求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解:如图所示,建立空间直角坐标
z
系 C,如xy图z 所示,设 则C:C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以:uAuFur1
(
1 2
,Hale Waihona Puke Baidu
0,1),
uuuur BD1
(
1 2
,
1 2
,1)
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1
8
二、线面角:直线和直线在平面内的射影所成的角,
直线与平面所叫成做角这的条范直围线和:这个[0平, 面]所成的角.
Ar
2
n
思考:如何用空间向量的夹角
表示线面角呢?
B
O
结论:sin
r uuur | cos n, AB |
9
例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,
求A1B与平面A1B1CD所成的角
n1∥ a
⇔ n1=t a .
3
引例:
如图所示,四边形ABCD是边 长为6的正方形,SA 平面 ABCD,SA=8,M是SA的中点, 过M和BC的平面交SD于N.
(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值; (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值; (3)求CN与BD所成角的余弦值; (4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值
法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ a∥⇔ b
a.= tb
⑵ l1⊥l2⇔ a⊥b ⇔ a·b = 0 .
⑶ α∥β或α与β重合⇔ n1∥n2 ⇔ n1=tn.2
⑷α ⊥ β⇔ n1⊥n2⇔ n1 ·n.2= 0 ⑸l∥α或l⊂α⇔ n1⊥ a ⇔ n1 ·a = 0.
⑹ l ⊥ α⇔