第5章二次型资料
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即B为对称矩阵.
B CT AC, RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1, RA R BC 1 RB.
RA RB.
定义5.2 对于n阶矩阵A和B，如果存在n阶可逆矩 阵C，使B=CTAC，就称B合同于A，记着A≌B。 也称“对A进行合同变换变为B”。
矩阵间的合同关系也具有反身性、对称性 和传递性
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
5.2.2 化二次型为标准形
第5章 二次型
5.1 二次型的概念
定义1 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
化二次型为标准型的两种方法： （1）正交变换法 （2）配方法
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P , 使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次 型,有
n
定理5.1 任给二次型 f aij xi x j aij a ji ,总有
i , j1
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
当aij是实数时, f称为实二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1x2 x1x3 x2 x3
都为二次型；
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变, 但 f
的矩阵由A变为B CT AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22 Βιβλιοθήκη a1n a2n ,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT C T AC y.
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C CT AC B,
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x2c21 y1 c22 y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij), 则上述可逆线性变换可 记作
f x1, x2, x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取 a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi , 于是
正交变换x Py, 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1, 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
而P的各列是A的与1, 2 ,, n对应的相互正交
的单位特征向量.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
2. 求出A的所有特征值1 ,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n; 4. 将特征向量1 , 2 ,,n正交化,单位化,得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f 1 y12 n yn2 .
例2 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn ) xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n xn a2n xn
B CT AC, RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1, RA R BC 1 RB.
RA RB.
定义5.2 对于n阶矩阵A和B，如果存在n阶可逆矩 阵C，使B=CTAC，就称B合同于A，记着A≌B。 也称“对A进行合同变换变为B”。
矩阵间的合同关系也具有反身性、对称性 和传递性
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
5.2.2 化二次型为标准形
第5章 二次型
5.1 二次型的概念
定义1 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
化二次型为标准型的两种方法： （1）正交变换法 （2）配方法
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P , 使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次 型,有
n
定理5.1 任给二次型 f aij xi x j aij a ji ,总有
i , j1
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
当aij是实数时, f称为实二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1x2 x1x3 x2 x3
都为二次型；
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变, 但 f
的矩阵由A变为B CT AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22 Βιβλιοθήκη a1n a2n ,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT C T AC y.
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C CT AC B,
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x2c21 y1 c22 y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij), 则上述可逆线性变换可 记作
f x1, x2, x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取 a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi , 于是
正交变换x Py, 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1, 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
而P的各列是A的与1, 2 ,, n对应的相互正交
的单位特征向量.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
2. 求出A的所有特征值1 ,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n; 4. 将特征向量1 , 2 ,,n正交化,单位化,得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f 1 y12 n yn2 .
例2 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn ) xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n xn a2n xn