全特征子群,特征子群,正规子群的关系

《近世代数》论文

课程：《近世代数》

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全特征子群，特征子群，正规子群的关系

内容：1）引入群的定理

2）表述其关系

3）证明并且举例

4）总结

摘要：本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全

特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手，然后根据定理及相关性质来推导全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群;全特征子群特征子群正规子群。

一、有关群的定理

定理1设H是群G的一个子群，如果H对G的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射θ都有

θ（H）∈H，

则称H为群G的一个全特征子群。

定理2设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。

左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。

⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H

⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH

⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H）

⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH

定理3对群G的所有自同构都不变的子群，亦即对G的任何自同构ε都有

ε（N）∈N

的子群N，叫做G的一个特征子群。

定理4如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。

同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。

例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H（123）={（123），（23）}。则

有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。

定理5 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。

即有：c（H∩K）=cH∩cK。

定理6设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有

aN=Na,

则称N是群G的一个正规子群。

定理7 设群G的子群H由有限个元素构成，即H={a,b,c, …n}则称H为G 的一个有限子群。

例2：H≦G，且H有有限个元素构成，H={a,b,c, …n},则称H为G的一个有限子群。

定理8群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。

定理9设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。

推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。

例3：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ▪3。

定理10设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。

定理11如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。

同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。

例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H（123）={（123），（23）}。则

有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。

二、其三者的关系如下

全特征子群是特征子群的子集，特征子群是正规子群的子集。即是全特征子群必然是特征子群反之不然，是特征子群肯定是正规子群，反之也不成立。下面我们证明并举例。

三、讨论全特征字群，特征子群，正规子群间的关系

先证明全特征子群是特征子群的关系

证明：①因为G与e都是G的特征子群，特征子群一定是正规子群显然反之不成立。

例如，由于Klein四元群是交换群，它的每个子群都是正规子群，因此由已知可得N={e,a}是Klien的一个正规子群，但它不是Klien的特征子群。

是Klien的一个自同构，然而却有

θ（N）={e,b}≠N

②同理G与e都是群G的全特征子群，显然。且全特征子群一定是特征子群显然。反之不成立。

反例如下

例如：群G的中心C是G的一个特征子群。

证明：任取c∈C，x∈G, θ∈AutG,则

θ（c）x=θ（c）[θ（θ（x））]= θ[cθ(x)]

=θ[θ(x)c]=θ[θ(x)]θ(c)

=xθ（c）

即θ（c）∈C, θ（c） C,即C是G的一个特征子群。

但应注意，群的中心不一定是全特征子群。

例如：有理数域Q上的2阶线性群G=GL（Q）的中心（Q上所有2阶纯量矩阵）不是全特征子群。

证明：任取A∈G,即A为有理数域Q上一个2阶满稚方阵，则ㄧAㄧ是个有理数。因此可令

ㄧAㄧ=

其中a,b为奇数，n(A)是与A有关的整数。

由于ㄧABㄧ=ㄧAㄧㄧBㄧ，故有

n(AB)=n(A)+n(B).

于是易知

η：是G到自身的一个映射。又η（AB）=

故η是群G的一个自同态映射。但是，η把G的中心元素却变成非中

心元素，因此，G的中心不是全特征子群