有心圆锥曲线
有心圆锥曲线
有心圆锥曲线
圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，几何形态独特，数学性质复杂，常在科学研究与工程应用中出现。其中有心圆锥曲线更是具有独特的特性，成为许多数学家和工程师所钟爱的研究方向。本文将介绍有心圆锥曲线的分类、定义、性质和应用等方面。
一、圆锥曲线的分类
圆锥曲线按照其方程的类型可分为以下四种：
1. 椭圆：其方程为(x/a)² + (y/b)² = 1（a、b为实数且a>b>0）。
2. 抛物线：其方程为y²=2px（p为正实数）。
3. 双曲线：其方程为(x/a)² - (y/b)² = 1（a、b为正实数且a>b>0）。
4. 圆：其方程为(x-a)²+(y-b)²=r²（a、b、r为实数且r>0）。
二、有心圆锥曲线的定义
圆锥曲线中，若某一定点F称为该曲线的焦点，且与直线l上的任意一点P的距离之比ε=PF/Pl为定值，则称该曲线为有心圆锥曲线。当ε<1
时表示椭圆，ε=1时表示抛物线，ε>1时表示双曲线。在圆锥曲线中，
有心圆锥曲线是一类性质特殊的曲线，其性质具有很多独到之处，被
广泛应用于实际生活中的种种场合。
三、有心圆锥曲线的性质
有心圆锥曲线具有独有的性质，下面是其部分性质：
1. 镜面对称：如果将有心圆锥曲线沿着其中一个焦点所在的直线对折，则折线两侧对称，这表明有心圆锥曲线具有镜面对称性。
2. 客观不变性：有心圆锥曲线在平面中的位置、方向、大小都不同，
但其中心点及倾角却是唯一的，这种客观不变性特点使得有心圆锥曲
线在各种科学研究和技术领域中得到了广泛应用。
3. 几何关系：有心圆锥曲线上任意一点与两个焦点之间的距离之和等
于该点到直线的距离。这一性质不仅证明了有心圆锥曲线的特殊性质，也为有心圆锥曲线的工程应用提供了重要的理论基础。
四、有心圆锥曲线的应用
由于其独特的性质，有心圆锥曲线在科技领域有着广泛的应用：
1. 光学设计：在光学设计领域中，有心圆锥曲线被广泛应用于消除色
散引起像差和球差，从而提高光学系统的分辨率、成像质量等性能。
2. 建筑设计：在建筑设计领域中，有心圆锥曲线被广泛应用于建筑正立面、窗户等部位的设计，使房屋外观更加美观。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，有心圆锥曲线在屏幕渲染、图像处理、动画制作等方面得到了广泛应用。
总之，有心圆锥曲线的研究不仅对于深化近代科学理论、促进应用技术进步具有重要意义，而且对于人们更好地认识自然界和规律，提高科学文化素养也起到了积极的促进作用。
2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题04 圆锥曲线与外心问题(通用版解析版)
专题4、圆锥曲线与外心问题： 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考． 三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点 知识储备： (1)、O 是ABC ∆的外心||||||==⇔(或2 2 2 OC OB OA ==)； (2)、若点O 是ABC △的外心，则()()()OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅=0. (3)、若O 是ABC ∆的外心，则sin 2sin 2B sin 02A OA OB C OC ⋅+⋅+⋅=; (4)、多心组合：ABC ∆的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即∥OH 经典例题 例1．已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线2 22:1x C y a -=（0a >）的左、右焦点，点M 在双 曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ） A B ．3 C D ．5 【答案】C 【分析】由题意得：直线OD 垂直平分2MF ，设点(),M m n ，()2,0F c ，则,22m c n D +⎛⎫ ⎪⎝ ⎭，可得方程组：122 n a m c n m c a ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⋅⎪⎩，求得212,a a M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将2222,a c a M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线方程得()22222222 41a c a a c c --=，化简可得：e =
有心圆锥曲线
有心圆锥曲线 有心圆锥曲线 圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，几何形态独特，数学性质复杂，常在科学研究与工程应用中出现。其中有心圆锥曲线更是具有独特的特性，成为许多数学家和工程师所钟爱的研究方向。本文将介绍有心圆锥曲线的分类、定义、性质和应用等方面。 一、圆锥曲线的分类 圆锥曲线按照其方程的类型可分为以下四种： 1. 椭圆：其方程为(x/a)² + (y/b)² = 1（a、b为实数且a>b>0）。 2. 抛物线：其方程为y²=2px（p为正实数）。 3. 双曲线：其方程为(x/a)² - (y/b)² = 1（a、b为正实数且a>b>0）。 4. 圆：其方程为(x-a)²+(y-b)²=r²（a、b、r为实数且r>0）。 二、有心圆锥曲线的定义 圆锥曲线中，若某一定点F称为该曲线的焦点，且与直线l上的任意一点P的距离之比ε=PF/Pl为定值，则称该曲线为有心圆锥曲线。当ε<1
时表示椭圆，ε=1时表示抛物线，ε>1时表示双曲线。在圆锥曲线中， 有心圆锥曲线是一类性质特殊的曲线，其性质具有很多独到之处，被 广泛应用于实际生活中的种种场合。 三、有心圆锥曲线的性质 有心圆锥曲线具有独有的性质，下面是其部分性质： 1. 镜面对称：如果将有心圆锥曲线沿着其中一个焦点所在的直线对折，则折线两侧对称，这表明有心圆锥曲线具有镜面对称性。 2. 客观不变性：有心圆锥曲线在平面中的位置、方向、大小都不同， 但其中心点及倾角却是唯一的，这种客观不变性特点使得有心圆锥曲 线在各种科学研究和技术领域中得到了广泛应用。 3. 几何关系：有心圆锥曲线上任意一点与两个焦点之间的距离之和等 于该点到直线的距离。这一性质不仅证明了有心圆锥曲线的特殊性质，也为有心圆锥曲线的工程应用提供了重要的理论基础。 四、有心圆锥曲线的应用 由于其独特的性质，有心圆锥曲线在科技领域有着广泛的应用： 1. 光学设计：在光学设计领域中，有心圆锥曲线被广泛应用于消除色 散引起像差和球差，从而提高光学系统的分辨率、成像质量等性能。
圆锥曲线(选填题)压轴题系列专题(一)：圆锥曲线与“四心”问题(第3讲)(解析版)
专题一：圆锥曲线与四心问题（内心、重心、垂心、外心） 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考． 专题目录： 第1讲、圆锥曲线与内心问题 第2讲、圆锥曲线与重心问题 第3讲、圆锥曲线与垂心问题 第4讲、圆锥曲线与外心问题
第3讲、圆锥曲线与垂心问题 三角形的垂心：三角形三条高线的交点 （1）、H 是ABC ?的垂心0HA BC HB AC HC AB ??=?=?=。 （2）、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。 经典例题： 例1、（2015山东理15题）平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22 122:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线 与抛物线()2 2:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ?的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率 为 . 【答案】 32 【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a = ,则OB 所在的直线方程为b y x a =-, 解方程组22b y x a x py ?=???=? 得：2 222pb x a pb y a ? =????=?? ，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ?? ??? , 抛物线的焦点F 的坐标为:0, 2p ? ? ??? .因为F 是ABC ? 的垂心，所以1OB AF k k ?=- , 所以2222252124 pb p b b a pb a a a ?? - ? -=-?= ? ? ??? .所以2222293142c b e e a a ==+=?= . 【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键. 例2、（2018云南高三模拟11题）已知12,F F 分别是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点， 过点1F 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若坐标原点O 恰为2ABF ?的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（ ） A B C D ．3 【答案】C 【解析】12(,0),(,0)F c F c -，则双曲线的渐近线为b y x a =±，
利用圆锥曲线性质巧解有心力运动问题
利用圆锥曲线性质巧解有心力运动问题 厉守清 摘要：质点在有心力作用下的运动轨迹是圆、椭圆、抛物线或双曲线，本文从这四种圆锥曲线的性质出发，巧妙的求解物理竞赛中的运动时间、射程、运动方向等问题。 关键词：质点有心力圆椭圆抛物线双曲线运动时间射程运动方向 运动质点在某力场中运动时始终受到来自某定点的力的作用，且力的作用线为运动质点和该定点的连线，运动质点所受的这种力统称为有心力，这个定点则称作力心。质点在这样的有心力作用下的运动就叫做有心力运动。有心力运动的现象，在自然界中是大量存在的。例如行星绕太阳的运动，人造卫星绕地球的运动，以及小到我们肉眼直接看不到的原子内部的电子绕原子核的运动和a粒子的散射等等都属于有心力运动。有心力运动的基本特点：在有心力场中，对力心的角动量守恒；在有心力场中质点作平面运动；有心力运动的面积速度是恒定的；有心力存在势能。运动质点在在有心力场中的运动轨迹为圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线或双曲线。物理竞赛中常常涉及这四中圆锥曲线的运动问题，我们可以利用它们的性质，巧妙的求解运动时间、射程、运动方向等问题。 一、利用椭圆的性质，巧解时间问题 天体运动轨迹往往是圆或着是椭圆，求解运动时间的问题，对于圆或椭圆半个周期的整数倍，利用开普勒第三定律是比较容易求解的，但对于椭圆运动中一般时间的求解往往要用高等数学求解，比较麻烦，这里我们介绍一种利用圆和椭圆的性质，用初等数学来巧妙求解椭圆冠的面积，根据开普勒第二、第三定律求解椭圆轨道中的运动时间问题。 例1．竖直上抛中，以T表示到达最高点所需时间，以H表示最高点离地球表面的距离，R为地球半径，M为地球质量，G为万有引力常数，不计阻力，从考虑万有引力是“平方反比力”出发，确定时间T的数学表达式。
圆锥曲线的离心率与曲线方程的几何意义分析
圆锥曲线的离心率与曲线方程的几何意义分 析 离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它与曲线方程之间存在一定的关系。在本文中，我们将分析圆锥曲线的离心率与曲线方程之间的几何意义。 一、椭圆的离心率与曲线方程的几何意义 椭圆是圆锥曲线中具有两个焦点的曲线，其离心率e满足0 抛物线是圆锥曲线中具有一个焦点的曲线，其离心率e为1。抛物 线的曲线方程为： y^2 = 4ax 其中a为抛物线的焦半距。根据曲线方程可以看出，a的取值直接 影响到抛物线的形状。当a>0时，抛物线开口向右；当a<0时，抛物 线开口向左。 离心率为1的抛物线可以看作是一个特殊的椭圆，其一侧焦点在无 穷远处。抛物线的离心率为1，意味着焦点与顶点之间的距离与焦点到准线的距离相等。这一性质使得抛物线在光学设备和天体力学等领域 有重要应用。 三、双曲线的离心率与曲线方程的几何意义 双曲线是圆锥曲线中具有两个分离焦点的曲线，其离心率e满足 e>1。双曲线的曲线方程为： (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 其中a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的距离。根据曲线方程 可以看出，a和b之间的差异直接影响到双曲线的形状。当a=b时，双 曲线退化为两条互相垂直的渐近线；当a>b时，双曲线开口朝向x轴；当a 有心圆锥曲线的弦关于中心的张角及弦长公式在抽象几何学中，有心圆锥曲线是一个很重要的曲线。它可以用一个简单的公式来表示：弦关于中心的张角及弦长的公式，本文将重点对这个公式进行讨论。 首先，弦关于中心的张角及弦长的公式，从数学上来说，可以定义为：弦关于中心的张角与弦长之间的关系。它可以用一个函数来表示： 弦AB与半径为R的圆C的关系可表示为：θ＝∠ACB=AB/R 可见，其中：θ＝∠ACB 代表弦AB关于中心C之间的张角； AB 表示弦AB的弦长；R表示圆C的半径。 从张角值可以看出，当弦长大于圆半径R时，弦AB关于中心C 之间的张角值为正；当弦长小于圆半径时，弦AB关于中心C之间的张角值为负。而弦AB与半径R的圆C之间，弦长AB的变化会直接影响到张角值θ的变化，即当弦长AB增大时，弦AB关于中心的张角值θ会增大；当弦长AB减小时，弦AB关于中心的张角值θ会减小，做出一种“反比例”的变化规律。 在这里，可以引入另一个重要概念，即法切线，又称正切线，它是指从几何物体上某点处出发，与该物体在该点处的曲线在该点处的切线相切的直线。对于一个有心圆锥曲线的弦AB，在其关于曲线的中心C处，其弦长AB与所成的弦角θ之间的变化，会对应一条特定的正切线，且该正切线的斜率会与弦长AB、弦角θ之间的变化成反比例关系。 下面，我们来研究一下有心圆锥曲线的弦AB关于中心C之间的张角及弦长公式，用三角函数可以表示为： θ＝tan^-1(AB/R) 可见，其中：θ＝tan^-1(AB/R)即代表弦AB关于中心C之间的张角；AB表示弦AB的弦长；R表示圆C的半径。可以看出，这里的θ值与弦长AB的变化规律是成反比例的。 最后，我们来总结一下有心圆锥曲线的弦AB关于中心C之间的张角及弦长公式： 弦AB与半径R的圆C的关系可表示为：θ＝tan^-1(AB/R) 可见，θ＝tan^-1(AB/R)即代表弦AB关于中心C之间的张角；AB表示弦AB的弦长；R表示圆C的半径，且弦长AB的变化会直接影响到张角值θ的变化，即当弦长AB增大时，弦AB关于中心的张角值θ会减小，反之，当弦长AB减小时，弦AB关于中心的张角值θ会增大，做出一种“反比例”的变化规律。 综上所述，本文详细讨论了有心圆锥曲线的弦AB关于中心C之间的张角及弦长公式，指出了这一公式分析过程中涉及到的几何图形和数学概念，并阐明了弦AB关于中心C之间的张角及弦长关系。希望本文能够为有心圆锥曲线的研究提供有益的参考。 圆锥曲线结合三角形四心的解答 一、概述 圆锥曲线和三角形是高中数学课程中常见且重要的内容，而四心则是三角形中一个有趣的几何性质。本文将探讨如何将圆锥曲线和三角形的知识与四心相结合，探索它们之间的关联和应用。 二、圆锥曲线 1. 圆锥曲线的定义 圆锥曲线是平面解析几何中的一个重要概念，它是平面上一个点到一定直线与一定点的距离之比为定值的轨迹。 2. 常见的圆锥曲线 常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。它们分别对应着不同的几何性质和数学表达式，具有重要的应用价值。 三、三角形 1. 三角形的基本性质 三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条边和三个角构成。三角形有许多重要的性质和定理，如角的性质、边的性质以及边角关系等，是解析几何中重要的研究对象。 2. 三角形的四心 三角形的四心是指三角形的内心、外心、重心和垂心。它们分别与三 角形的内切圆、外接圆、重心和垂心相关联，具有重要的几何意义和性质。 四、圆锥曲线结合三角形四心的解答 1. 圆锥曲线与三角形 （1）圆锥曲线的焦点性质 对于椭圆和双曲线，它们都有焦点的性质，而焦点是由圆锥曲线的定义决定的。与此三角形中的内心、外心、重心和垂心也是与焦点密切相关的点。 （2）圆锥曲线的参数方程 椭圆和双曲线可以通过参数方程进行表达与研究，而这种参数方程的构造方法与三角形的相关性质和角度有密切的关联。 2. 圆锥曲线与三角形四心 （1）四心坐标的确定 对于圆锥曲线和三角形四心，它们的坐标都可以通过几何推导和代数计算来确定，具有一定的复杂性和难度。 （2）四心与圆锥曲线的关联 三角形的内心与椭圆的焦点、外心与双曲线的焦点、重心与抛物线的焦点、垂心与圆锥曲线的某些特殊点都存在着一定的关联性，这种关联性可以通过数学方法进行证明和论证。 由圆类比出有心曲线的几个性质 湖北省阳新县高级中学邹生书 波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”，“类比是获得发现的伟大源泉”．类比在科学创造的发明与发现中有着十分广泛的应用．毫不例外，在数学领域中也有着广泛的应用．数学中应用类比方法的关键，是要善于发现两个不同数学对象在空间形式或数量关系之间的“相似”，而这种“相似”并不是简单的模仿和复制，而是富有创造性的设想和探究． 在有心圆锥曲线中，圆是最简单的图形，本文笔者借助类比从圆中我们熟悉的几个性质 出发，类比出椭圆、双曲线的几个类似性质． 1．我们知道：若是的任意一条直径，点是圆上任意一点，则 ，若直线的斜率都存在，则． 怎样将此性质类比到椭圆上呢？若是椭圆的任意一条直径， 点是椭圆上任意一点，显然；若直线的斜率都存在，显然， 那么是否为定值呢？ 设，因为是椭圆的直径，所以点的坐标为，所以 ．又因为点在椭圆上，所以有 ，两式相减得，，所以 ，所以．于是有如下结论： 性质1.1 已知是椭圆的直径，点是椭圆上任意一点，若直线的斜率都存在，则． 同理可证双曲线也有如下类似性质： 性质1.2 已知是双曲线的直径，点是双曲线上任意一点，若直线的斜率都存在，则． 2．我们知道：若直线与相切于点，则有，若直线的斜率都存在，则． 如何将此性质成功类比到椭圆呢？若直线与椭圆相切于点 ，显然不成立；若直线的斜率都存在，显然．那么 是否为定值呢？ 设，则切线的方程为：，所以，又，所以，于是有如下结论： 性质2.1 若直线与椭圆相切于点，且直线的斜率都存在，则有． 同理可证双曲线也有如下类似性质： 性质2.2 若直线与双曲线相切于点，且直线的斜率都存在，则有． 有心圆锥曲线上任一点内接正三角形存在的条件及其证明 湖北省大冶一中 黄震 张贵钦 435100 文[1]以介值定理为依据，运用数形结合的思想，证明了抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形. 通过类比，笔者发现，有心圆锥曲线也存在类似的结论. 为了方便描述，本文约定，三角形三个顶点位于圆锥曲线上时，称此三角形为圆锥曲线的一个内接三角形. 结论1：过椭圆22 22b y a x +=1(a>b>0)上任一点，均存在其一个内接正三角形. 结论2：过双曲线2 2b y a x -=1(a>0,b>0)上任一点， 当a ≠3b 时，均存在其一个内接正三角形，并当a>3b 时正三角形的三个顶点位于双曲线的同一支上，当a<3b 时正三角形的三个顶点位于双曲线的两支上； 当a=3b 时，不存在其内接正三角形. 下面给出这二个结论的证明. 结论1的证明：如图1，设A 1，B 1，A 2，B 2为椭圆22 22b y a x +=1(a>b>0)的四 个顶点，P 为椭圆上的一个动点，由对称性知，要证明结论1成立，只需证明P 在第二象限且包括A 1，B 2两点的一条弧线段上时，过P 均能作出其一个内接正三角形即可. 设P 是椭圆在第二象限且包括A 1，B 2两点的一条弧线段上的任一点，过P 作切线l ，在l 上P 点的上、下方各取一点T 、Q ，过P 作射线PM 交椭圆于M ，使∠TPM= 3 π . 将∠TPM 顺时针旋转至PM 与PQ 重合. 设旋转某时刻，PT 旋 转至PR ，相应地PM 旋至PE ，记∠TPR=α(0≤α≤ 3 2π)，|PR|=s(α)，|PE|=t(α)，f(α)=|PR |－|PE|.在旋转过程中，设PR 、PE 的最大长度分别为s,t ，则|PR|∈[0,s]，|PE|∈[0,t]，必存在α1,α2，使f(α1)<0，f(α2)>0，当α1≤α≤α 2 时，因R 、E 分别在椭圆上连续变动，所以|PR|、|PE|均为α的连续函数，所以 圆锥曲线中的“四心” 云南省会泽县茚旺高级中学杨顺武 摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生的思维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强素质的作用． 关键词：思维流程内心外心重心垂心解题能力 正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此，在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考． 例1、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0) A-、 (2,0) B、 3 1, 2 C ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 三点． （Ⅰ）求椭圆E的方程： （Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，(1,0),(1,0) F H -，当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH内心的坐标； 思维流程： （Ⅰ） （Ⅱ） 解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为122=+ny mx ()0,0>>n m 将(2,0)A -、(2,0)B 、3 (1,)2 C 代入椭圆E 的方程，得 41, 9 14 m m n =⎧⎪ ⎨+=⎪⎩解得11,43m n ==. ∴椭圆E 的方程22 143 x y + = ． （Ⅱ）||2FH =，设ΔDFH 边上的高为h h S DFH =⨯⨯= ∆22 1 当点D 在椭圆的上顶点时，h ，所以DFH S ∆ 设ΔDFH 的内切圆的半径为R ，因为ΔDFH 的周长为定值6．所以， 62 1 ⨯= ∆R S DFH 所以R 的最大值为 3．所以内切圆圆心的坐标为. 点石成金：的内切圆的内切圆的周长∆∆⨯∆⨯= r S 2 1 例2、椭圆长轴端点为B A ,，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且 1=⋅，1=． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。 思维流程： 由1AF FB •=，1OF = 专题27 圆锥曲线与四心问题 微点3 圆锥曲线与 内心问题 专题27 圆锥曲线与四心问题 微点3 圆锥曲线与内心问题 【微点综述】 三角形的“四心”指重心、外心、内心、垂心，它们是三角形的重要几何点，与之相关的数学问题是数学竞赛的热点问题，也是解析几何的难点问题，这类问题涉及的知识面较广，富有挑战性，是考查学生能力的“好”点，在高考中常充当“把关题”的重要角色．本文对三角形的“内心”的几何性质加以归纳，旨在探索解题规律，总结解题方法． 一、三角形内心的定义 三角形的内心：三角形内切圆的圆心，称为内心，三角形三条内角平分线的交点，就是内心． 二、三角形内心常见结论 设ABC 的内切圆为圆I ，切边AB 于P ，则有如下重要结论： （1）I 是ABC 的内心0a IA b IB c IC ⇔⋅+⋅+⋅= （其中a 、b 、c 为ABC 的三条边）； （2）1 902 BIC A ∠=︒+∠； （3） 2 tan 2 r b c a AP A +-= = ； （4）内心I 点的坐标为,A B C A B C ax bx cx ay by cy a b c a b c ++++⎛⎫ ⎪++++⎝⎭ ； （5）三角形内切圆的半径求法： ①任意三角形：2S r C （其中C 为ABC 的周长，S 为ABC 的面积）； ①直角三角形：2 a b c r +-= （其中a ，b 为直角边，c 为斜边）； （6）焦点三角形内心轨迹方程： ①设点M 为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的焦点三角形12PF F 的内心，则点M 的轨迹方程为： ()22 2210x y y c bc a c +=≠⎛⎫ ⎪+⎝⎭ ，其中22c a b - 证明：如图1，设()()00,,,M x y P x y ，连结PM 交12F F 直线于点()1,0D x ，由三角形内角 2023届圆锥曲线微专题——三角形四心 三角形四心的知识点较多，结论容易混淆，常常放在圆锥曲线中进行综合考查 高中数学三角形的四心分别为重心、垂心、内心和外心。 重心:三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心; 垂心:三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心: 内心:三角形内切圆的圆心称为内心，内心到三角形三条边的距离相等: 外心:三角形外接圆的圆心称为外心，也是三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。 一、典例分析 例1.已知点P Q M ，，是椭圆22 22: 1(0)x y C a b a b +=>>上的三点，坐标原点O 是PQM 的重心，若点22,M ⎫⎪⎪⎝⎭ ，直线PQ 的斜率恒为1 2-，则椭圆C 的离心率为（ ） A 2B 3C 2D 3 例2.已知椭圆2 22:1(1)x C y a a +=>的右焦点与抛物线2:4C y x '=的焦点重合. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知椭圆C 的右焦点2F 与点(2,0)H -关于直线l 对称，问：是否存在过右焦点2F 的直线l '与椭圆C 交于,G K 两点，使OGK 的重心恰好在直线l 上？若存在，求出直线l '的方程；若不存在，请说明理由. 对点练习 1.已知A 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点，12F F 、分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12 PF F △的重心，若1GA PF λ=，则b a 为（ ） A 3B ．22C 15D ．与λ的取值有关 2.已知ABC 的三个顶点都在抛物线T ：()220y px p =>，且()2,8C -，抛物线T 的焦点F 为ABC 的重心，则AF BF +=（ ） A ．40 B ．38 C ．36 D ．34有心圆锥曲线的弦关于中心的张角及弦长公式
关于圆锥曲线结合三角形四心的解答题
由圆类比出有心曲线的性质
有心圆锥曲线上任一点内接正三角形存在的条件及其证明.
圆锥曲线中的四心
专题27 圆锥曲线与四心问题 微点3 圆锥曲线与内心问题(学生版)
2023届高三数学一轮复习讲义-圆锥曲线微专题——三角形四心