圆锥曲线

圆锥曲线

一、椭圆定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a的动点的轨迹。

二、椭圆图像与性质

一、双曲线定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹。

二、双曲线图像与性质

一、抛物线定义：平面内到定点与到定直线的距离相等的动点的轨迹。

二、抛物线图像与性质

考点一：直线与圆锥曲线的位置关系

1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断：

方法一:半径R 比较法：若dR ，则直线与曲线相离。

方法二:联立曲线方程和直线方程，若△>0，则直线与曲线相交；若△=0，则直线与曲线相切；若△<0，则直线与曲线相离。

2、直线与圆锥曲线相交的弦长问题：212

1x x k AB -+=公式一：

3、弦AB 的中点与直线AB 斜率的关系

;

),(M 2AB ;),(M 1AB ;

),(M 1AB )1(0

002

02020022

2202020022

22y p k y x px y y a x b k y x b y a x y a x b k y x b y a x AB AB AB =

===--==+，则的一条弦，其中点是抛物线已知，则的一条弦，其中点是双曲线已知，则的一条弦，其中点是椭圆已知

))

A (2,)A (2(0A ),(2

200220000B

A C By x

B y B A

C By x A x C By x y x +++-+++-=++的对称点坐标为关于直线【知识拓展】点

2121212121212122212

2212

1000

2

02000

2

022122122121212121212221222122

22

2222

122100)(2)()()(2))((),(222)

,(,),,(),,(A AB 3),(,),,(),,(A AB 2)()

()()(0

))(())((0,1

1,),(,),,(),,(A AB 1y p

y y p x x y y k x x p y y y y x x p y y px y px y y x M x x y x B y x y a x b k y x M x x y x B y x y a x b y y a x x b x x y y k b

y y y y a x x x x y y x x b y a x b

y a x B A y x M x x y x B y x AB AB

AB =

+=--=∴-=-+∴-=-?????==≠=≠-=++-=--==+-++-∴=--???????=+=+∴≠，两式相减得则弦中点的斜率，设点，运用点差法求直线公式推导过程则弦中点的斜率，设点，运用点差法求直线公式推导过程两式相减得都在椭圆上，弦中点的斜率，设点，运用点差法求直线公式推导过程

椭圆焦点弦常用结论及推导过程：

1

1

cos )1(FB AF B A F 2;cos )(2AB B A F 12

2222

+-=

≥=--=→

→

λλαλλαααe b a a ab 有，则

两点，且，的直线交椭圆于的倾斜角、过椭圆的一个焦点两点，则，的直线交椭圆于作倾斜角、过椭圆的一个焦点0

2

02212212212100)()

()()(),(,),,(),,(A AB 3y a x b y y a x x b x x y y k y x M x x y x B y x k AB

AB -=++-=--=≠弦中点，设点的斜率、过椭圆的直线

[]

)

(cos 1B ,

cos 1900AB F 5离是对应焦点到准线的距较长焦半径，则有较短焦半径，夹角为与椭圆的焦点所在的轴的弦、过点p e ep

F e ep

AF θ

θ

θ+=

-=∈?)

(2AB ),(B ),(A )0,(F );(2AB ),(B ),(A )0,(F 4212211212211x x e a y x y x c x x e a y x y x c +-=++=-的焦点弦长为：，，且端点为过椭圆右焦点的焦点弦长为：，，且端点为、过椭圆左焦点考点二：圆锥曲线的轨迹问题

一、直译法 顾名思义，就是直接翻译题目中的条件，将题目中的文字用数学方程表达出来即可。

2

18)2()0(),(M M 218)2.1(F M 22=

--+-=y y x y x y ，所以译，设点解析：根据题意直接翻的轨迹方程是多

，则点：的距离之比为线，的距离和它们到定直到一个定点例：点

二、定义法

定义法就是题目中给出的条件其实是某种我们学过的曲线的定义，这种情况下，可以根据题目描述，确定曲线类型，再根据曲线的性质，确定曲线的参数。 各类常见曲线的定义如下:

到定点的距离为定植的动点的轨迹是圆；

到两个定点的距离之和为定值的动点轨迹是椭圆； 到两个定点的距离之差的绝对值的动点轨迹是双曲线； 到定点于定直线的距离之比为定值的动点轨迹是圆锥曲线，根据比值大小确定是哪一种曲线。

b

a b

y a x y y ,1M M 218)2,0(F M 22

22方程，离心率可解出，根据焦点坐标，准线设轨迹为轴，

轨迹是椭圆，且焦点在解析：根据题意，的轨迹方程是什么？

，则点：的距离之比为的距离和它到定直线到一个定点例：点=+=

三、相关点法

若题目中已知动点P 的轨迹，另外一个动点M 的坐标与P 有关系，可根据此关系，用M 的坐标表示P 的坐标，再带入P 的满足的轨迹方程，化简即可得到M 的轨迹方程。 适用范围：双动点的轨迹问题，常采用相关点法。 相关点法求轨迹方程一般步骤：

式；

带入已知点满足的关系点坐标；

用待求点坐标表示已知设待求点坐标；

)3()2()1( 1

)2()32(C 1)2()32(),(,2322023),(C ),(A C A C AB C A ),0,2(B ,12020202000000022=+-=+-???=-=????

????

+=+==+y x y x y x y y x x y y x x y x y x y x 的轨迹方程为：，故点圆的方程得代

把点则，点是相关点，设与解析：的轨迹方程。的中点，求点是是圆上的点，点点点例：已知圆的方程为点坐标间的等量关系

在于找到动点与其相关【点评】代入法的关键的轨迹方程为：整理得动点从而有上，

在椭圆点又即点中点，可得为线段，则由，而设解析：设动点的轨迹方程。

故采用相关点法求动点，为相关点、的运动引起的，可见的运动是由运动是有规律的，显然的为动点，且点、为定点，而，其中、、点分析：题中涉及了三个的轨迹方程。

的中点为定点，求线段是椭圆例：点14)(4M 1)2()22(11),(B )2,22(B 2y 22x 2

0y 2

2x AB M ),(B ),(M M B M B M B M B A M B A M AB )0(1B 22

2

22

22222022022

2200000

00022

22=+-=+-=+∴=+-???=-=???????

?=+=+>>=+b

y a a x b y a a x b y a x b

y a x y x y a x y a x y x a

y x y x b a b

y a x

为常数

，使轴上存在定点故在此时的坐标可分别设为，轴垂直时，点与当此时即无关的常数，所以是与因为于是，，所以是上述方程的两个实根，则，有代入的方程是轴垂直时，设直线不与当为常数，使轴上存在定点假设在的轨迹方程是所以点也满足上述方程求得轴垂直时，与当代入上式，化简得将即两式相减得两点在双曲线上，所以，又因为，即轴垂直时，不与当的中点坐标为于是得：，，，则设解析：说明理由；的坐标；若不存在，请为常数？若存在，求出，使轴上是否存在定点在的轨迹方程。

，求点为坐标原点其中满足若动点两点，于的动直线与双曲线相交，过点、的左、右焦点分别为例：已知双曲线→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

?-=-=?--=?==-?+--+-=+-+-=++-+--++=++++--=--+--=?-+=-=+=+---=-±≠-=?=--===----=

--=--+-=+-=-=---=--=--=---??

?+=++=+=+=+=+=?++==-CB CA )0,1(C 1

)2,1)(2,1(CB CA )2.2(),2,2(B A AB 1CB CA ,1,044CB CA 1

44)21(2)1(2)1(24)1()

2(4)1()24)(1(4))(2()1()2)(2())((CB CA 1

24140

)24(4)1(2)1)(2(AB AB .CB CA )0.(C )2(4

)6(M ),0,8(M ,2AB 4)6()(8

)()4)((),)(())((,2,2B A )

(8

822

42AB ),2,24(AB ,62)0,2(O F ),2(B F ),2(),,2(M F ),(M )1(C CB CA C )2(M )(O F B F A F M F M )1(B A F F F 22

22222

222222222212212212212

22122212122222222212221212121212121212

2222121212121212

12112211111111122122x x m m k m

k m m m k k m m k k m k k k k k m k x x m k x x k x x k m x m x k k x x k k x x x x k x k x k y x k x k y x m x y x x x x y x x x x y

y y y y y x x x y y y y x x x x y x y x x x x y y y x y x y

x x y y x y x y y y x x x y x y x A F y x y x x O y x

四、参数法

当动点坐标x 、y 之间和直接关系难以找到时，可以先找到x 、y 与另一参数t 的关系，得在消去参数t ，得到轨迹方程。

00022cos sin sin 21)cos 1(2

1P sin cos 1Q P C 1)1(C ;y x t t t y t x t

y t x y x ，的关系可表示出，利用的坐标为的坐标为解析：设圆上一点的轨迹方程是任意弦，求弦中点，过原点○做圆：设圆例???

???

?=+=∴??

?=+==+-

)

44(02)44(2),,()22(4),2(,4)()2(046242222222<<-=+????=<<--=<<----=-++=-+-++x y x b

y x b x y x b b b b b b y b x b by bx y x 参数法设圆心为；半径：圆心：解析：，求圆心的轨迹方程为例：一个动圆的解析式

)

0(04P )3((0,0),B A L )

3()0(04444),(P )48,42()2,2()(21OP ,48420

32)4()2((1))2(14y x 1(1)

kx y ),(),,(1

kx y L k L M(0,1)L P M L )(2

1OP P L O B A L M(0,1)14222222

2

22121221221222222112

2

≠=-+∴≠=-+???

????

+=+-=++-=++=+=???

????

+=

++-=+=-++??

?

??=++=+=+==+→←→→←

→y y y x y y y x k k y k k x y x k k k y y x x OB OA k y y k k x x kx x k y x B y x A OB OA y x 的轨迹方程为点也满足方程的中点坐标为原点、的斜率不存在时，可得当直线得：消去参数，则的坐标为设点于是则并化简得：式代入的解将是方程组设的方程为，则率为的斜率存在时，设其斜，当过点解析：直线的轨迹方程

旋转时，求动点绕点，当满足上的动点是坐标原点，

、、交椭圆于点的直线，过点例：设椭圆方程为

注意取值范围。

轨迹方程时，消参时应【点评】运动参数法求的轨迹方程为综上所述，也满足上述轨迹方程。中点为不存在时，当满足上述轨迹方程；中点为时，另外，当，得消去为参数的中点，为的坐标为轴交点与的坐标为轴交点与的方程为，则直线由的方程，设直线解析：设满足的参数方程。作为参数，建立动点的斜率引发的，可设出的运动是由直线察发现，点分析：从运动的角度观的轨迹方程。

的中点求线段，轴于点交，轴于点交，若作两条互相垂直的直线例：过点0

52M ),2,1(M AB )2,1(M AB 00

52)(1222421242AB ),

2

4,0(A )

0,4

2(A )

2(1

4)0)(2(4),(M ),(M M M AB B A ,)4,2(P 212211112121=-+==-+????

????

?

+=+

=-=-=+∴-∴--=-⊥≠-=-y x k k y x k k k k y k

k x M k

x l k x l x k

y l l l k x k y l y x y x k l l y l x l l l

1

4

9)2()1()2(sin 4

)1(cos 9

1sin cos )

(sin 2cos 3),,()sin 2,cos 3(sin 4cos 9)sin 2()cos 3(,0sin 4cos 62

222

22

22222222=++???????===+???==+=-+-=--+y x y x y x y x y x y x y x 得：得两边同时平方并根据消去想办法把参数，设圆心为圆心：解析：求圆心的轨迹方程为例：一个动圆的解析式ββββββββββ

βββββ

)

40(04AB C P )10(,444)

10(),(P C P )1()10(P )4,0(),0,4(A )0(222≤≤=-+≤≤?

??=-=-∴≤≤=≤≤=>=+x y x y x y x B r r y x 方程为，

即为线段的轨迹可得动点并注意到消去，解析：设的方程；

的轨迹动点满足动点，，两点，圆○的方程为例：已知直角坐标系中λλλλλλλλ

五、交轨法

若题目中给出了两个曲线，求曲线交点的轨迹方程时，应将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程。

1-x P ,-x x )

1()(y 1y a x ),1(-y - a -x y -y

a -x y ,y a x y P M A y)P(x,NB AM )0,B()0,A(-),(N ),,(M P NB MA B A 1MN 22

2222222222

1222

122

122

1212

222211111122

222

==--==+==∴+=+∴

-=+b

y a a b a b a x a b b a x a

x P B N a x a a y x y x b

y a x 的轨迹方程为即交点得代入即而两式相乘得共线，、、共线，、、的交点为与，设，，而则解析：令的轨迹方程

的交点、求直线是椭圆长轴的端点，

、中垂直于长弦的动弦，圆是椭例：已知

考点三：圆锥曲线的定值、定点问题

直线倾斜角互相垂直，则121-=?k k ；直线倾斜角互相平行，则21k k = 直线倾斜角互余，121=?k k ；直线倾斜角互补，则021=+k k ；

tan )tan(,tan :1tan 1)2tan(,tan :21212121=+?-=-====??=-===k k k m k k k k m k θθπθθ

θπθ倾斜角互补倾斜角互余推导如下：

一、证明某一代数式为定值

的斜率为定值。

所以直线（定值）同理解得：得，消由的方程直线的斜率为，的斜率为，直线解析：设的斜率为定值。

为定点，证明：直线，若且两点，、轴于点分别交、上的一点，动弦是抛物线上例：如图EF 214)1()1(11,)1(,1)1(,10)1()()(ME ,MF k ME ),(M EF M MB MA B A MF ME M 0202

202200

0F 2200F 2

20000222002000202y k

ky k k ky k ky k ky k ky x x y y k k ky x k ky y k ky x k ky y ky y y ky x x y y x k y y y x k y y k y y x x y F E E EF F E E -=-=+---+-

-=--=∴+=-+=-=-==-+-??

???=-=--=--==。

为定值，其值为的坐标为解出两条切线的交点即两点的切线方程分别是，所以过抛物线上，求导得抛物线方程为且有解的，代入得将两式平方把即由设，解析：由已知条件得，证明：设其交点为两点作抛物线的切线，，过是抛物线上的动点，且，，的焦点例：已知抛物线0AB FB 0

)4141(2)(21),)(2,2(AB FB )1,2

()4,2(M 4

121;4121)(2

1

,)(21B A 2

1414

4,1

,,41,41))1(1)1,()1,(FB AF ),,(A ),,(A ,0)1,0(F AB

FB M B A ),0(FB AF B A F 4212221221212212

121212

22211222111'222

22121212222112121221122112

→

→

→→→

→

→

→

→

→

?∴=---=---+=?∴-+=+-=-=

+-=+-===

-=-=-=

====?

??-=-=-∴-=--=>?>==x x x x y y x x x x x x x x x x x x x y x x x y y x x x y y x x x y x y x y y x x x y y y y x y x y y y x x y x y x y x y x y x B A λλλ

λλλλλλλλλ

定值

故且，即，得，由，，，由题意解析：设为定值。

共点，求证：是直线与椭圆的一个公，

、轴分别交于点轴，与：，直线的离心率为例：已知椭圆222222

222

222222

221AB

AM

,011,),((),(,AM ),,(1),0(B )0(A AM AB

AM

M B A )0(1e e e b a c a

a

b e

a c e a a e a a

b

c a c AB a b c M a b y c x b y a

x a ex y a e a AB y x a ex y l e b a b

y a x -=>--=+=∴???????==--=+-∴=-∴???

??=

-=?????=++=-=+=>>=+→→→→λλλλλλ 个定值。

的长为定值，并求出这证明线段，为直径的圆交于点的垂线与以作是椭圆的右焦点，过点设求椭圆标准方程；

，动点，离心率为经过点例：已知椭圆ON N OM OM F F )2()1()

0)(,2(M 2

2

)21,26(,P )0(12222>>>=+t t b a b y a x 。

不过定点，请说明理由，求出定点的坐标；若是否过定点？若过定点问直线为切点，，，，的两条切线作椭圆上一点，过点为直线的方程；

求椭圆平行，，内心为的重心为为椭圆上一点，△，

经过点：的椭圆，例：左右焦点分别为AB B A MB MA C M 4M )2(C )1(.F F IG I G F PF P )3,0(Q )0(1C F F 2121222221=->>=+y x b a b

y a x 点请说明理由。

求出点坐标，若不过定是否过定点，若过定点试判断直线，

两点，且满足、交椭圆于、作直线过点的方程：

求椭圆。

，且离心率等于经过点：例：已知椭圆AB PB PA B A PB PA )0,2(P )2(C )1(22)26,1()0(1C 2222⊥>>=+b a b

y a x

求出定点的坐标。

为直径的圆过定点，并以，证明上的两个动点，且是定直线若点的方程；

求椭圆两点的直线的距离为到过点，原点其短轴长是，的两个焦点为：例：已知椭圆PQ 0FQ FP 4PQ )2(C )1(.

7

21

2),0(),0,(A O 32)

0,(F )0,(F )0(1C 2122

22=?=--->>=+→

→

x b B a c c b a b

y a x

由。

是否为定值，请说明理两点，，交于分别与直线有且仅有一个交点，且与椭圆轴垂直的直线，动直线且与，是分别过点如图，直线的方程；

求椭圆为坐标原点。的左、右顶点，是椭圆，，

，且过点的焦距为：例：若椭圆BF AE F E ,C

B A ,)2(

C )1(O C B A )21

,3(32)0(1C 21212222?-->>=+l l l x l l b a b

y a

x

.

APB PQ ),(),,(A C P PQ C Q )2(C )1().

1,2(P 23

)0(1C 22112222这个定值的斜率是定值，并求出直线，求证；平分，若直线于两点椭圆点作两条直线分别交于轴平行，过与上，且在椭圆设点的方程；

求椭圆，且过点的离心率为：例：已知椭圆AB y x B y x x b a b

y a x ∠->>=

+

二、证明动直线过定点或动点在定直线上的问题

)

0,7

2

(),72(7272)

0,2(),2(2207

2

20

)27)(2(,04167)4(438)2(43124)1(0)4()2)(()1(,0)2)(2(0AN AM A MN 43124,438),(),,(M 0)124)(43(4)8(,001248)43(,13

4)1(A MN )N (M N M :)2()1(32120FB B B B F F 1222

2

222

221212*********

2212

2122112222222

221212122

22直线过定点时，当直线过定点时，故当，

均满足判别式大于或化简整理得代入整理得而即，点为直线的圆过椭圆右端以则有设即与椭圆有两个交点：△直线得消得解析：由坐标。过定点，并求出该定点，求证：直线直线的圆过右顶点为且以不是左右端点、两点、与椭圆相交与若直线求椭圆方程；的菱形

，面积为构成、与短轴的端点、的两焦点例：椭圆-=-=-=-=-=-=-=-=∴=++∴=+++++--+-+∴=++-++++=+==--=?∴+-=+-=+>-+->=-+++??

???+==+

+=?=∠=+→

→

x k k kx y k m x k k kx y k m k m k m k m k m k km m m k

km km k m k m km x x x x k m kx y m kx y y x y x k m x x k km x x y x N y x m k km l m kmx x k y m kx y y x l m kx y l b

y a x )

0,4(AB ,400)416()(4)()4

(4AB )4(4

4-)(AB 4B A )2(42P 12

P

F M F M 1:)0,1(P M )1(AB 16),(),,(A C )2(C M )1(1),0,1(F M 12122

112122

1121212

12

21

211121

2122111111过定点为何值直线、所以无论得令即即

的方程为，即即

的方程为：上所以直线在、假设存在轨迹方程为，所以所求的

，为准线的抛物线，且为焦点，的轨迹是以点距离，所以点的

的距离等于到直线到相切，所以圆心且与直线过点因为动圆解析：，说明理由。

出定点坐标，若不存在恒过定点？若存在，求时，直线两点，当上是否存在异于原点的探究在曲线的曲线

的轨迹求动圆圆心相切，：且总与直线恒过点例：已知一动圆y y x y x y y y y x y y y y y y x y y y y y x y

y y y y y x x x x y y y y x y x

y l l x l y y y x B y x x l ===-++-=-+-+=----=

---=-=====-=-=

)

1,2()

2(2

1

12121

0418)1(4144)12(0

))(1()12(,1)

)(1(21111414

4,418),(),,(A 0

)14(160

448)14(14

)1(,1B P P B A C P )2(3)

23

,1(P ),23,1(P ),1,0(P ),1,1(P 1C 2

2221212121212122112211212

22122122112222222

22243212222--+-=+?++-=?+=+-

=?=+--++-+=+-++-=++-+=

-++-+=-+-=++-=

+-=+>+-==-+++=++=≠+=--=+过定点所以代入解得：即故又而，则设由题意得：△得代入将解析：设过定点

证明：的斜率之和为与直线两点，若直线，相交于且与不经过点设直线点在椭圆上。

中恰有，四点：例：已知椭圆l x m y m x m y m kx y m k k km m k m k x x m x x k k k x x x x m x kx x m kx x m kx x y x y k k k m x x k km x x y x B y x m k m kmx x k y x m kx y m m kx y l A l b

y a x ，请说明理由。出定点的坐标；若不是恒过定点？若是，请求是否，试问直线，的两条相互垂直的弦作椭圆的左顶点过椭圆的方程求椭圆，的周长为，△的延长线与椭圆相交于一个顶点，为椭圆短轴上的

，、的左右焦点分别为：例：椭圆BC AC AB E A E )2(;

E )1(.G

F 3DF 8DGF

G DF D F F )0(1E 11212122

22=>>=+b a b

y a x

说明理由。的坐标；若不存在，请点为定值？若存在，求出使得，轴上是否存在点，在，与椭圆交于两点的直线右焦点过椭圆的方程；

求椭圆。

，椭圆离心率为：在椭圆例：已知点M MB MA M B A F C )2(C )1(22)0(1C )22,1(2222→

→?>>=+x l b a b

y a x

在，请说明理由。

的坐标和定值；若不存出点为定值？若存在，试求使得，轴上是否存在定点的两个交点，问：在与椭圆为动直线，已知的标准方程；

求椭圆相切。与直线的长半轴长为半径的圆椭圆为圆心，

，以原点的离心率为：例：已知椭圆E AB EA EA E C )0)(2(B A )2(C )1(0622C O 36

)0(1C 2

2222→

→

→?+≠-==+->>=+x k x k y y x b a b y a

x

.

D A )(B A C :)2(C )1(.2,2

5

C 的坐标过定点，并求出该定点，求证：直线的左顶点为直径的圆过双曲线且以，

均异于左、右顶点、两点、相交于与双曲线若直线的标准方程；

求双曲线虚轴长为轴上，离心率点在的中心在坐标原点，焦例：已知双曲线l C B B A m kx y l e x +==

三、证明角相等的问题

OMB OMA 0)

2)(2(210

)2)(2(21841244)2)(2(4214321222)2)(2(4)(32)2)(2(4)(32)

2)(2()

22()22(222,2212

2,2140880)21)(22(4)4(,0224)1()1(1

2

),1(00OMB OMA B A 0)2(OMB

OMA O )2(AM )1()

0,2(M B A C F F 1:212

2123332122

222121212121212121212121221122

11222122212222222222

22

22∠=∠=--+=--+++-=--++-+-=

--++-=--++---+--++--=-+-=

+-=

-=+-=

+=+>+=>+---==-+-+???

???-==+-==∠=∠∠=∠=+，故恒成立

△联立得方程为时，设直线的斜率不为当直线与椭圆左定点重合，，时，的斜率为当直线解析：为坐标原点，证明：设的方程轴垂直时，求直线与当两点，，交于与的直线，过的右焦点为例：设椭圆x x k x x k k k k k k x x k k k k k k x x k x x x kx x x k x x x kx x x x x x x k x x x x k x y x y k k x y k x y k k k x x k k x x k k k k k x k x k x k y y x x k y l l l x l l b

y a x C BM AM BM AM

符合题意

，所以点故倾斜角互补的

的倾斜角与直线则直线时，有当从而故的方程得：代入将的斜率分别为，，直线明：设存在符合题意的点，证的切线方程：点的切线方程：点抛物线的切线方程为：设解析：？说明理由变动时，总有，使得当轴上是否存在点处的切线方程。

和在点时，分别求当两点

，交于与直线线例：在直角坐标系，曲)P(0,OPN OPM ,PN PM ,0)

())((2)()(4,4,044x C ,PN PM ),(),,(),,0()2(0

--N 0M )(),,2(),,2(M )1(OPN OPM )2(N M C 0)1(N M )0(4

212121212

11

22122112121212212211002

a k k a

b a

b a k x x x x b a x kx x x x b a kx x b a kx x b y x b y k k a x x k x x a kx a kx y k k y x N y x M b p a y x a a y x a y y p x x a a N a a k p y k a a kx y x y -∠=∠=+-=+=+-+=

-++-+=-+-=+-==+=--+===+++=-∠=∠=>+==.Q ONQ OQM Q .N PB A B )2(),(M C )1(.

M PA C )

0)(,(A )1,0(P 2

2

)0(12222C 明理由的坐标，若不存在，说？若存在，求点使得，轴上是否存在点问：轴于点交轴对称，直线关于与点为原点，点设；

表示用的坐标的方程，并求出点求椭圆轴于点交上，直线都在椭圆和点，点的离心率为：例：已知椭圆∠=∠≠>>=+y x x o n m x m n m b a b y a x

考点四：圆锥曲线的最值问题

圆锥曲线在高考中占有很重要的地位，在各种题型中均有考查，而椭圆最值问题是三曲线之首，它涉及的知识面广，综合性强，处理方法灵活多变，能够充分考查学生的函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，从而让学生感到无从入手。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题进行分类破解策略。 方法一：二次函数法

利用二次函数求最值要注意自变量的取值范围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进行分类讨论。

的取值范围。

或者求解时应注意自变量理，次函数的最值问题来处将其转化为闭区间上二，或去，通过动点在椭圆上消表示可以用两点间距离公式的最值问题，到定点距离上的点【评注】椭圆标准方程的点有两个的距离为所以椭圆上到点所以，因为所以所求椭圆方程为综上所述矛盾；

与所以所以时，则当当所以时，则当当因为所以是椭圆上任意一点，则设故椭圆的方程是所以又即由解析：设椭圆的方程为值的函数，求函数的最小，转化为示，由两点间距离公式表点分析：在椭圆上任取一的点的坐标为的距离并求椭圆上到点，求这个椭圆的方程，离为这个椭圆上点的最远距到已知点轴上，离心率标原点，长轴在例：设椭圆的中心是坐y x x y y x x y y x b b b b b b y b b b y b b y b b y b y y y y y b y x PM y b x y x b b

y b x b a c b a a c e b a b y a x y x e x PM P ),(M ).

3

1

,3(7P ,

3,2

1

7PM .

14

,12

1

0237,

72

3

,7)23(PM ,210;

1,743PM 2

1

,21,,

43)21

(34493349344)2

3(,44),(M ).

0(14,

2,,23,23),0(1.,PM P .

7P 7)2

3,0(P ,23max 22

2max 2max 22222222

22

22222

222222222-±±=-===+=<<-==+=+=-=<<==+=-=>≤≤-+++-=++--=+-+-=-+=-=>=+=+===>>=+=方法二：判别式法

利用判别式求最值要有主元变换的思想，而且原方程必须存在实数解，即原问题中的最值是存在的。

程。

利用最值解出椭圆的方与椭圆相切的问题，离问题转化为具体的圆将动点到定点变化的距合，圆所在的曲线，数形结的圆，约束条件即为椭点表示的几何意义是过定转化为目标函数两点间距离公式【评注】本题巧妙地将椭圆的方程为解得即，

以因为椭圆与圆外切，所得消去得联立椭圆方程和圆方程即椭圆的方程为得又因为即圆方程为最大，由题意得当圆与椭圆外切时，，即则的距离为，，点上任意一点设解析：案是问与本文主题无关，答切时，半径最大。当目标圆与约束椭圆相不难发现，，对应的圆半径最大？点在椭圆的什么位置时题，为可行域的线性规划问为目标函数，相当于以上运动，

只能在椭圆为半径的一个圆，点为圆心，义是以点这种形式表示的几何意去平方得，

意义是点点之间的距离这种形式下对应的几何对应的距离，到分析：设圆上任意一点说明理由的面积；若不存在，请的坐标及相对的△若存在，求出点的面积最大？

且△，相交于不同的两点圆○：与使得直线上，是否存在点在椭圆的方程；

求椭圆的距离的最大值为上的点到且椭圆的离心率：例：已知椭圆)2,0(,)2()2(1

3

,33,1,0)35(24160.03542339

)2(,33,3,3

2

,9)2(,3)2(,)2(,Q P ),(P C )1(.2

1

),22,26(M )2(C )2(C ),(P )2,0(,)2(,)2()2,0(Q ),(P .AOB M AOB B A 1221:),(M C )2(C )1(.3)2,0(Q ,

3

2

)0(1C 2222222

2

2

2

2

222

22

222222222222221122212222211122221r y x y x r y x b a b b b y y x b

y x y x b y x b a e y x r r y x r y x r r y x S y x d y x d y x d y x d y x y x ny mx l n m C e b a b y a x AOB =-+-+==+====-?-=?=-++?????=+=-+=+==

=-+=-+=-+==±±

-+=-+=-+==+=+=>>=+?

.2

1

),21,23(M 2

1

2323321211323

232132,31

11

1)1(4211)1(44)()()(120)

1)((440121

y x 1),(),,(A 1

:)2(1

3

,1,13363636)1(244y y 332)-y (x PQ ),(P 3y 3x ,332,32OAB M OAB B A 1y x 1ny mx :l n)M(m,(2)C (1) 3.Q(0,2)C ,3

2

)0(1AOB 22AOB 22AOB

222

222222222AOB

2

22

222212212

2

22

212

2122

2212

2

214

222422

22222222221122

2

2

2

2

22222222

22222

222222

22最大值为存在满足条件的点，，有最大值，这时时，即当且仅当

又的距离到直线又圆心△由，

，设的方程为直线故椭圆方程为：则为椭圆上的任意一点，设椭圆的方程为；解析：的面积。的坐标及对应的△请求出点的面积最大？若存在，且△，两点，相交于不同的与圆○：使得直线在椭圆上是存在点的方程；

求椭圆的距离最大值为上的点到点且椭圆的离心率例：在椭圆△△△△S n m S m m m m

m m m

S m n n m n m n

m n m n m S n m d l O n m n m x x x x n n m y y x x AB n m n x x n m m x x n n n m n m n n x n m x n n m n x n m y y x B y x n

x n m y l y x a b b b b y y b y x b b a a b a e e b a b

y a x ±±

∴====≤

+=+=∴-=+-+=+?+-+=∴+=+-+=-++=-+-=∴????

?

?

???+-=+=+>-+-=∴=-+-+???

???=++-=+-==+=∴=?=+∴+≤+++-=+?+-=+==+∴=?=-=

=+=+=

>>=+ 方法三：均值不等式法

定三相等”缺一不可。

，同时三条件“一正二有“配凑”技巧与方法用均值不等式求最值要

.

)0,0(.

9

16

2PMQN .

2MN PQ 21

S 2PQ 22MN MN 02S 9

16

S 9

16

,21,21),

251

1(225)2(4S ,1,225)

1

2(4)12)(2()11)(1(4MN PQ 21)1(2)

)1

1(1(22MN ,

1

MN 02)1(22PQ ,)2()1(8)()(PQ 222,222),(),,(Q P .

012)2(,1PQ )1,0(F PQ PQ MN PQ PQ MN )10(F PQ MN 0F 12

2

2N M Q P 2222222222222

22

222222

2122122

222

21221122的最值问题转化为常见函数当或合理的面积公式，

问题关键是选择一个适【评注】对于此类最值，最小值为的最大值为综上所述，四边形，，为椭圆长轴，时，当为自变量的增函数，

是以且时，当得令同上可得的斜率为时，当，即从而，则两点的坐标分别为，设将此式代入椭圆方程得的方程为，故过点，又的斜率为，不妨设中至少有一条存在斜率，直线，且，于焦点是椭圆的两条弦，相交和解析：由条件的思想。

结合分类讨论与求最值达到简化运算过程，并积计算公式如何选择一个适当的面析几何的结合，主要是分析：本题是向量与解值。

的面积的最小值和最大求四边形，共线，且与共线，与已知轴正半轴上的焦点。为椭圆在上，四点都在椭圆，，，例：>>+==∴===<≤∴==±=≥+=+-=++=+=++++=++++=

=∴-+-+=

-≠++=++=-+-=+++-=++--==-+++=⊥=?=+

b a x

b

ax k u S u k k k u u u u k k u k

k k k k k k k S k

k k k k

k k k y y x x k k k x k k k x y x y x kx x k kx y k PMWN y y x

方法三：三角策略

椭圆的参数方程中选择适当的角作为自变量，为我们将某些最值问题