g高等代数第三章行列式练习题ZYH

(A) k 1 且 k 3 ； (B) k 1 且 k 3 ； (C) k 1 或 k 3 ； (D) k 1 或 k 3 ．
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10 ． 设 Aj 表 示 四 阶 行 列 式 | aij | (i, j 1, 2,3, 4) 的 第 j 列 ( j 1, 2,3, 4) ， 已 知 | aij | 2 ， 求 | A3 2 A1 , 3 A2 , A1 , A4 | ．
11．计算下列各行列式（ Dk 为 k 阶行列式） ： a (1) Dn 1 a 1 ，其中对角线上元素都是 a ，未写出的元素都是 0；
1 b b2 b4
1 c c2 c4
1 d (a b)(a c)(a d )(b c)(b d )(c d )(a b c d ) ； d2 d4
x 1 0 x (5) 0 0 an an 1
0 1 0 an 2
0 0 0 0 x n a1 x n 1 an 1 x an ． x 1 a2 x a1
） ．
a13 2a11 1 a23 ，则 D1 2a21 2 a33 2a31 (C) 2 ；
a11 2a12 a21 2a22 （ a31 2a32
） ．
(B) 4 ；
(D) 2 ． ） ．
x1 x2 x3 1 6．线性方程组 x1 x2 x3 1 有唯一的解，则 的值应为（ x x x 2 2 3 1 (A) 0； (B) 1； (C) 1 ； (D) 异于 0 与 1 的数．
x a a a x a (2) Dn ； a a x
5
(3) Dn 1
an a n 1 a 1
(a 1) n (a 1) n 1 a 1 1
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( a n) n (a n) n 1 ； an 1
提示：利用范德蒙德行列式的结果．
6．将下列行列式化为三角形行列式，并求其值． 1 1 2 3 1 2 3 1 （1） ； 3 1 1 2 2 3 1 1 2 5 3 1 1 3 1 3 （ 2） ； 0 1 1 5 1 4 2 3 2 2 4 0 4 1 3 5 （3） 3 1 2 3 2 0 5 1
4
1 0 9．给定行列式 | aij | 1 2 3
1 1 0 2 2
1 3 3 2 1
0 0 1 0 0
1 2 4 ， Aij 为元素 aij 的代数余子式 (i, j 1, 2, ,5) ，求： 3 4
（1） | aij | ； （2） A34 ； （3） A32 3 A33 2 A35 ； （4） A15 ； （5） A11 A12 A13 ．
an 0 a1 b1 c1 cn 0 d1
bn 0 ；
(4) D2 n 0
dn
6
(5) Dn det(aij ) ，其中 aij i j ；
1 a1 1 1 1 a2 (6) Dn 1 1
1 1 ，其中 a1a2 an 0 ． 1 an
第一章
1．利用对角线法则计算下列三阶行列式： 2 0 1 （1） 1 4 1 ； 1 8 3
行列式
（A）
a b c 1 （2） b c a ； （3） a c a b a2
1 b b2
1 x c ； （4） y c2 x y
y x y x
x y x ． y
2．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的反序数： （1）1 2 3 4； （3）3 4 2 1； （5）1 3 … (2n 1) （2）4 1 （4）2 4 2 4 … (2n) ． 3 2； 1 3；
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15．设 a1 , a2 , , an 1 是 n 1 个不同的数， b1 , b2 , , bn 1 是任意 n 1 个数，而多项式 f ( x) c0 c1 x cn x n 有以下性质： f (ai ) bi ， i 1, 2, , n 1 ．用线性方程组的理论证明， f ( x) 的系数 c0 , c1 , , cn 是唯一 确定的．
16．设 f ( x) c0 c1 x cn x n ．用线性方程组的理论证明，若是 f ( x) 有 n 1 个不同的根，那 么 f ( x) 是零多项式．
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（B） 单项选择题 1． a12 a2i a35 a4 j a5k 是五阶行列式 | aij | (i, j 1, 2,3, 4,5) 中前面冠以负号的项，那么 I，j，k 的值可 以是（ ） ． (B) i 4, j 1, k 3 ； (D) i 4, j 3, k 1 ． ） ．
2
7．计算下列各行列式： 4 1 （1） 10 0 1 2 5 1 2 0 2 1 4 2 1 3 1 2 ； （2） 1 2 0 7 5 0 4 2 3 6 1 ab ac 1 ； （3） bd cd 2 cf bf 2 a 1 0 ae 1 b 1 ； （ 4 ） de 0 1 c ef 0 0 1 0 0 ． 1 d
x1 x2 x3 0 13．问 、 取何值时，齐次线性方程组 x1 x2 x3 0 有非零解？ x 2 x x 0 2 3 1
(1 ) x1 2 x2 4 x3 0 14．问 取何值时，齐次线性方程组 2 x1 (3 ) x2 x3 0 只有零解？ x x (1 ) x 0 2 3 1
z x ； y
3
a2 b2 (3) 2 c d2
(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 (d 1) 2
(a 2) 2 (b 2) 2 (c 2) 2 (d 2) 2
(a 3) 2 (b 3) 2 0； (c 3) 2 (d 3) 2
1 a (4) 2 a a4
） ．
(A) m n ；
(B) (m n) ；
(C) n m ；
(D) m n ．
1 0 x 1 1 1 1 1 4．已知 D ，则 D 中 x 的系数为（ 1 1 1 1 1 1 1 1 (A) 4 ； a11 5．若 D a21 a31 (A) 4 ； (B) 4 ； a12 a22 a32 (C) 1 ； (D) 1 ． a13 a23 a33
12．用克莱姆法则解下列方程组： x1 x2 x3 x4 5, x1 2 x2 x3 4 x4 2, (1) 2 x1 3x2 x3 5 x4 2, 3x1 x2 2 x3 11x4 0;
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1, 5 x1 6 x2 0, x1 5 x2 6 x3 (2) x2 5 x3 6 x4 0, x3 5 x4 6 x5 0, x4 5 x5 1.
(B) D 中各行元素之和为零； (D) 次对角线上元素全为零． a12 a22 a32 a42 c1 c2 c3 c4 a13 a23 n ，则 a33 a43 a13 a23 a33 a43 a12 a22 a32 a42 a11 b1 c1 a21 b2 c2 （ a31 b3 c3 a41 b4 c4
(A) i 1, j 4, k 3 ； (C) i 3, j 1, k 4 ；
2．行列式 D 为 0 的充分条件是（ (A) 零元素的个数大于 n； (C) 主对角线上元素全为零； a11 a 3． 21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 b1 b2 m， b3 b4 a11 a21 a31 a41
kx1 2 x2 x3 0 7．线性方程组 2 x1 kx2 0 有非零解的充分必要条件是（ x x x 0 2 3 1
） ．
(A) k 2 或 k 3 ； (B) k 0 或 k 3 ； (C) k 3 或 k 2 ； (D) k 3 或 k 2 ． (k 1) x1 2 x2 0 8．线性方程组 仅有零解的充分必要条件是（ 2 x1 (k 1) x2 0 ） ．
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3．假设 n 个数码的排列 i1 , i2 , , in 的反序数是 k，那么排列 in , in 1 , , i2 , i1 的反序数是多少？
4．写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
x 1 2 2 5．求多项式 f ( x) 7 10 1 7
0 3 4 1
x x 中的常数项． 3 x
8．证明： a2 ab b 2 (1) 2a a b 2b = (a b)3 ； 1 1 1
ax by ay bz az bx x 3 3 (2) ay bz az bx ax by = (a b ) y az bx ax by ay bz z
y z x