3-复变函数的积分习题课

z2
B
C zn1
k zk zk 1
o
x
6
3.积分存在的条件及计算
（1）化成线积分 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 沿逐段光滑的曲线C
连续,则积分 C f (z)dz 存在,且 C f (z)dz C u(x, y)dx v(x, y)dy iC v(x, y)dx u(x, y)dy.
所接成的折线.
y
解
1
czdz 0(t it)d(t it)
1
0 (t it)(1 i)dt
(1,1)
C C2
1
0 2tdt 1;
O C1 (1,0)
x
18
2) zdz zdz zdz
c
c1
c2
1
1
0 tdt 0 (1 it)idt
f (z) M , 那末 C f (z)dz C f (z)ds ML.
8
5. 柯西－古萨基本定理(柯西积分定理)
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B内的任何一条封闭曲线C
的积分为零: c f (z)dz 0.
定理1 如果函数 f (z) 在单连通域B内处处解
三、典型例题
例1）1沿计从算(0,0)cz到dz(的1,1值)的，线其段中：C为x t, y t,0 t 1;
2）沿从 (0,0) 到 (1,0) 的线段：C1 : x t, y 0,0 t 1,
与从 (1,0) 到 (1,1)的线段 C2 : x 1, y t,0 t 1
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
一极限, 那么称这极限值为
函数 f (z) 沿曲线 C 的积分,y
记为
C
n
f (z)dz lim n k1
f ( k ) zk .
1 A
2
z1
C
C
(2) C kf (z)dz k C f (z)dz; (k为常数)
(3) C[ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz;
(4) 设C由C1,C2连结而成,则
f (z)dz f (z)dz f (z)dz;
C
C1
C2
(5) 设曲线C 的长度为L,函数 f (z) 在 C 上满足
f (z)dz,
C
k 1 Ck
(2) f (z)dz 0.

其中C 及 Ck 均取正方向;
这里 为由C, C1, C2 , , Cn 组成的复合闭路 (其方向是: C 按逆时针进行, C1, C2 , , Cn按 顺时针进行).
13
8.柯西积分公式
如果函数 f (z) 在区域 D内处处解析, C 为 D
在每个弧段 zk1zk (k 1,2, ,n)
上任意取一点 k ,
y
B
C zn1
1 A
2
z1
z2
k zk zk 1
o
x
5
n
n
作和式 Sn f ( k ) (zk zk1 ) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
这里 zk zk zk1, sk zk1zk的长度,
内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含
于 D, z0 为 C 内任一点, 那末
1 f (z)
f (z0 ) 2i C z z0 dz.
如果 C 是圆周z z0 R ei ,则有
f
(z0 )

1 2π
2π 0
f (z0

R ei )d .
一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的
一、重点与难点
重点：1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式
难点：复合闭路定理与复积分的计算
2
二、内容提要
有向曲线
复积分
积分存在的 条件及计算
积分的性质
柯西积分定理
柯西积分 公式
复合闭路 定理
原函数 的定义
高阶导数公式
调和函数和 共轭调和函数
3
1.有向曲线
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑 )曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线.
O
•
1x
C
2i.
29
3)若封闭曲线C包含1而不包含0,则
f (z) ez 在C内解析, 由高阶导数公式得 z
C
ez z(1
z)3
dz

C
ez (1
z z)3dz

ez z C (z 1)3dz
2i f (1)
2!

i ( z 2

2z z3
z0
f
(
)d
必为 B内的一个
解析函数, 并且 F (z) f (z).
10
6.原函数的定义
如果函数 (z) 在区域 B内的导数为f (z),
即(z) f (z), 那末称 (z) 为 f (z) 在区域 B内
的原函数.
因此 F(z)
z
z0
f (
)d
是
f (z) 的一个原函数.
2)e z

z 1
ei.
30
4)若封闭曲线C既包含1又包含0,
则分别以0,1为圆心,以 0为半径作圆C1,C2 ,
使C1和C 2也 在C内, 且C1与C 2互 不 相 交, 互 不 包 含,
据复合闭路定理有
y
ez
C z(1 z)3 dz

C1
ez z(1
z)3dz

析, 那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路
线 C 无关.
9
由定理得
f (z)dz f (z)dz z1 f (z)dz
C1
C2
z0
B
C1
z0 C2
z1
B
C1
z0
z1
C2
定理2 如果函数 f (z) 在单连通域B内处处解
析,
那末函数 F (z)

z
f2(z)

1 z(z
i
)
在C
内
2
解析,
1
1
1
C z(z2 1)dz
C1 z(z2 1) dz
C2
z(z2

dz 1)
1 (z2 1)
1 [z(z i)]
C1
dz
dz
z
C2 z i
2i f1(0) 2if2(i)

2i

2i
f
(z)

ez z(1
z)3
在C内解析,
由柯西 古萨基本定理得
C
ez z(1
z)3
dz

0.
28
2)若封闭曲线C包含0而不包含1,则
f
(
z)

(1
ez z)3
在C内解析,由柯西积分公式得
y
C
ez z(1
z)3
dz

ez
C
(1 z)3 dz
z
ez 2i (1 z)3 z0
平均值.
14
9. 高阶导数公式
解析函数 f (z)的导数仍为解析函数, 它的 n 阶
导数为:
f
(n)(z0 )

n! 2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2, )
其中C 为在函数 f (z)的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于D.
15
10.调和函数和共轭调和函数
如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程
2
x 2

2
y2

0,
那末称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部 都是 D 内的调和函数.
16
共轭调和函数 设 u( x, y) 为区域 D内给定的调和函数, 我
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
23
1
1
1
C
z(z2

dz 1)

C1
dz z

C2
2( z

i)
dz
2i 1 2i 2
i.
24
解法二 利用柯西积分公式
f1(z)

1 z2
1在C1内解析,
复合闭路定理
设 C 为多连通域 D内的一条简单闭曲线,
C1, C2 , , Cn 是在 C 内部的简单闭曲线,它们
互不包含也互不相交, 并且以C , C1, C2 , , Cn
为边界的区域全含于D, 如果 f (z) 在 D内解析,
C
C1
C2 C3
那末
D
12
n
(1) f (z)dz
cos(z100 1 z2 2z
z
4
1)dz

0.
21
例4 沿指定路径C : z i 3计算以下积分 2
(1)
C
z(
z
1 2
1)
dz;
(2)
C
z(
e z2
z

1)
dz.
解
(1)
z(
z
1 2
1)
在C内有两个奇点z

0及z

i分别
以z 0及z i 为圆心,以1 4为半径作圆C1及C2 ,则 由复合闭路定理有
ez C2 z(1 z)3 dz
如果A到B作为曲线C的正向, y
B
那么B到A就是曲线C的负向,
记为 C .
A
o
x
4
2.积分的定义
设函数 w f (z) 定义在区域 D内, C 为区域
D内起点为 A 终点为B的一条光滑的有向曲线,
把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为
A z0 , z1, , zk1, zk , , zn B,
2i f1(0) 2if2(i)

2i

2i

ei 2


i(2

ei
)
[sin1 i(2 cos1)].
27
例5
计算
C
ez z(1
z)3
dz,其中C是不经过0与1的闭
光滑曲线.
解 分以下四种情况讨论：
1)若封闭曲线C既不包含0也不包含1,则
（2）用参数方程将积分化成定积分 设简单光滑曲线 C 的参数方程是
z z(t) x(t) iy(t) (a t b)
则
C
f
(z)dz

b
a
f [z(t)]
z(t )dt .
7
4. 积分的性质
设 f (z), g(z)沿曲线C连续.
(1) f (z)dz f (z)dz;
c
z z
1dz 1

c
z z
1 1
dz
2 2 2 8.
20
例3
计算
z
1
cos(z100 z2 2z
z
4
1)dz
.
解 当 z 1时,
z2 2z 4 4 2z z 2 4 2 1 1,
故由柯西积分定理得
z
们把使 u iv 在 D内构成解析函数的调和函数 v( x, y) 称为u( x, y)的共轭调和函数. 即在 D内满足方程 u v , u v 的两个调
x y y x 和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共
轭调和函数.
17

1 2


1 2

i

1 i.
说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同.
19
例2 设C为圆周 z 1 2证明下列不等式.
c
z z
1dz 1

8.
证 因为 z 1 2，
所以 z 1 z 1 2 z 1 2 2,
z1
2
2
因此

1 2


i.
25
(2)
z(
e z2
z

1)
在C内有两个奇点z

0及z

i分别
以z 0及z i 为圆心,以1 4为半径作圆C1及C2 ,则 由复合闭路定理有
C
ez z(z2
dz 1)

C1
z(
e z2
z

1)
dz

ez C2 z(z2 1) dz
f1(z)

ez z2
1 在C1内 解 析,
f2(z)

ez z(z
i ) 在C2内解析,
因此由柯西积分公式得
26
ez
ez
ez
C z(z2 1)dz
C1
z(z2

dz 1)

C2 z(z2 1) dz

ez (z2 1)dz
ez z(z i)
dz
C1
z
C2 z i
1
1
1
C z(z2 1)dz
C1
z(z2

dz 1)

C2 z(z2 1) dz
22
解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式
z(
1 z2
1)

1Leabharlann Baiduz

1 2

z
1
i

1 2

z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
f (z)的任何两个原函数相差一个常数.
定理 如果函数 f (z) 在单连通域 B 内处处解析,
G(z) 为 f (z)的一个原函数, 那末
z1 z0
f
( z )dz

G(z1 )

G(z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.(牛顿-莱布尼兹公式)
11
7. 闭路变形原理
一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲 线在区域内作连续变形而改变它的值.