双曲线及其标准方程
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1、我们知道
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆
Y Mx, y
2. 引入问题：
O
F1 c, 0
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
思考：
F1
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
o F2
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
思考：如何求双曲线的标准方程？
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
段F1F2的中点为原点建立直角
解: 6 10 点P的轨迹为双曲线
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
课堂练习
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标（请注意焦点的位置）
1. x2 y2 1 16 9
2. y2 x2 1 16 9
F(±5,0) F(0,±5)
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程.
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
椭圆
定义
标准 方 程
焦点
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
-
x2 b2
x2 b2
1
F(0, ± c)
焦点在y轴上
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
1.x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上； 2.双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
c2 a2 b2a 0,b 0
x
地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1) a=4 ，b=3 ， 焦点在x轴上.
解：双曲线的标准方程为 x2 y2 1 16 9
2）a= 15 ，c=4 ，焦点在坐标轴上.
解b2 c2 a2 16 15 1
标准方程为x2 y2 1或 y2 x2 1
15
15
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
• 例3、如果方程 mx-21+2-ym2 = 1 表示双 曲线，求m的范围 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
两边再平方后整理得：
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
由双曲线定义知：
2c 2a c2 a2 0 设 c2 a2 b2 b 0
代入上式整理得：
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么
y2 a2
-
x2 b2
=1
(a 0，b 0)
y
坐标系
PFra Baidu bibliotek
2.设点．设P（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) F1
o F2 x
常数=2a
3.列式． ||PF1| - |PF2||= 2a
即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a
4.化简.
移项两边平方后整理得：
cx a2 a x c2 y2
y F2
ox F1
双曲线的标准方程:
y
y
焦
M
M
焦
点 在
点
F2
x在
y x
轴 上
F OF
1
2
x
O
轴
F1
上
x2
a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
c2 a2 b2 a 0,b 0
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
y
M
F1 o F2 x
焦点在x轴上
y
M F2
F1
x
y2 a2
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
F
上面两条曲线合起来叫做双曲线
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a （2a< |F1F2|）
=
1
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
作业 ： 课时作业（12）
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆
Y Mx, y
2. 引入问题：
O
F1 c, 0
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
思考：
F1
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
o F2
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
思考：如何求双曲线的标准方程？
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
段F1F2的中点为原点建立直角
解: 6 10 点P的轨迹为双曲线
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
课堂练习
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标（请注意焦点的位置）
1. x2 y2 1 16 9
2. y2 x2 1 16 9
F(±5,0) F(0,±5)
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程.
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
椭圆
定义
标准 方 程
焦点
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
-
x2 b2
x2 b2
1
F(0, ± c)
焦点在y轴上
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
1.x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上； 2.双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
c2 a2 b2a 0,b 0
x
地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1) a=4 ，b=3 ， 焦点在x轴上.
解：双曲线的标准方程为 x2 y2 1 16 9
2）a= 15 ，c=4 ，焦点在坐标轴上.
解b2 c2 a2 16 15 1
标准方程为x2 y2 1或 y2 x2 1
15
15
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
• 例3、如果方程 mx-21+2-ym2 = 1 表示双 曲线，求m的范围 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
两边再平方后整理得：
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
由双曲线定义知：
2c 2a c2 a2 0 设 c2 a2 b2 b 0
代入上式整理得：
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么
y2 a2
-
x2 b2
=1
(a 0，b 0)
y
坐标系
PFra Baidu bibliotek
2.设点．设P（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) F1
o F2 x
常数=2a
3.列式． ||PF1| - |PF2||= 2a
即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a
4.化简.
移项两边平方后整理得：
cx a2 a x c2 y2
y F2
ox F1
双曲线的标准方程:
y
y
焦
M
M
焦
点 在
点
F2
x在
y x
轴 上
F OF
1
2
x
O
轴
F1
上
x2
a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
c2 a2 b2 a 0,b 0
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
y
M
F1 o F2 x
焦点在x轴上
y
M F2
F1
x
y2 a2
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
F
上面两条曲线合起来叫做双曲线
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a （2a< |F1F2|）
=
1
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
作业 ： 课时作业（12）