最小二乘法圆拟合

最小二乘法圆拟合

1.最小二乘法圆拟合原理 1.1理论

最小二乘法(Least Square Method )是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

1.2最小二乘圆拟合模型公式推导

在二维平面坐标系中，圆方程一般可表示为:

()22020)(r y y x x =-+- （1） 对于最小二乘法的圆拟合，其误差平方的优化目标函数为：

[]

2

12020)()(∑=--+-=n

i i i r y y x x S

式中：()i i y x ,n i ,...,2,1=为圆弧上特征点坐标；n 为参与拟合的特征点数。

在保持这优化目标函数特征的前提上，我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方，且其避免了平方根，同时可得到一个最小化问题的直接解，定义如下:

[]

2

122020)()(∑=--+-=n

i i i r y y x x E （2）

则（2）式可改写为：

(

)2

12

20

0220

02

22∑=-+-++-=n

i i i

i i

r

y y y y x x x x E （3）

令,02y B -=,02x A -=22020r y x C -+= 即（3）式可表示为：

()

2

22∑=++++=n

i i i i i C By Ax y x E

由最小二乘法原理，参数A ,B ,C 应使E 取得极小值。根据极小值的求法，A ,B 和C 应满足

()

020

22=++++=∂∂∑=i n

i i i i i x C By Ax y x A E

(4) ()

020

22=++++=∂∂∑=i n i i i i i y C By Ax y x B E

(5) ()

020

22=++++=∂∂∑=n i i i i i C By Ax y x C E

(6) 求解方程组，先消去参数C ,则 式()()∑=*-*n

i i x n 064得

(

)0

02

202

030000002=+-++⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n

i i n

i i i n i i i n i i n i n i i i n i i i n i n i i i n i i x y x y x n x n B y x y x n A x x x n （7）

式()()∑=*-*n

i i y n 065得

(

)0

02

202

030002000=+-++⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n

i i

n

i i i n i i i n i i n i n i i i n i i n i n i i i n i i i y

y x y x n y n B y y y n A y x y x n （8） 令

⎪⎭⎫

⎝⎛-=∑∑∑===n i n i n

i i i i x x x n M 000211（9）

⎪⎭

⎫

⎝⎛-==∑∑∑===n i n

i i i n i i i y x y x n M M 0002112（10）

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=∑∑∑===n i n

i i i n i i y y y n M 000222（11）

(

)∑∑∑∑====+-+=n

i i

n

i i

i

n i i

i n i i

x

y

x y x n x n H 002202031（12）

(

)∑∑∑∑====+-+=n i i

n

i i

i

n

i i i

n

i i

y y

x y x n y n H 0

220

20

32（13）

将（7），（8）式写成矩阵形式

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡212221

1211

H H B A M M M M （14） 根据式（14）和式（6）可得：

2112221122

1122M M M M M H M H A --=

22

11211221

1112M M M M M H M H B --=

()

n

By Ax y x

C n

i i

i i i

∑=+++-

=0

22

从而求得最佳拟合圆心坐标()00,y x ，半径r 的拟合值:

20A x -

=,20B y -=,C B A r 42

122-+= 2.仿真数据分析

首先设置仿真圆心(x0,y0),半径R0，在根据实际数据任意选取一段圆弧，产生N 组随机数据。考虑实际测量的点云数据中伴随有一定

高斯躁白声，因此在每个点添加服从高斯分布()

2

,0σN 的随机数作为

噪声，其中2

σ为高斯分布的方差(单位：

2mm )，在噪声标准差(σ)

下产生N 组随机噪声数据。最后利用最小二乘法原理对仿真得到的N 组随机噪声数据进行拟合，并分析其半径误差与圆心误差。下面任取圆上pi*35/180到6*pi/7圆弧段，以仿真圆心（8.116mm ，2.695mm ），半径0.875mm 作实例分析。在matlab 软件中得到的仿真数据效果图