钉子板上的多边形

钉子板上的多边形

教学内容：

苏教版义务教育教科书《数学》五年级上册第108~109页探索规律“钉子板上的多边形”。

教学目标：

1.使学生探索并初步发现钉子板上围成的多边形的面积，与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2.使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会桂鼐思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3.使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的信心；感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

教学难点：

综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

教学过程：

一、揭示课题

1.同学们知道我们今天要探讨什么内容吗？（揭题：钉子板上的多边形）

2.不过老师今天没有准备钉子板，怎么办？可以用什么来代替？（点子图）我们来看看在点子图上画的这些图形，就相当于在钉子板上围的多边形。（出示图）

3.你觉得我们可以探究什么问题呢？

4.我们刚刚才学过求多边形的面积，今天又把多边形放在钉子板上来研究，你觉得我们今天要研究什么呢？

5.通过刚才的猜想，大家感觉面积的大小与围多边形用的钉子数有关。那钉子板上多边形的面积与哪里的钉子数有关，有怎么样的关系？我们今天就来重点研究。

二、新授

（一）a＝1

1.我们从简单的图形开始研究。

出示图，它们的面积分别是多少，小组里说一说，一会交流。

2.交流汇报，说说自己的算法。

①②④算，③数。

3.数一数多边形边上的钉子数。

4.观察说说自己的发现。

（1）这些多边形，边上的钉子数越多，面积就越大。

（2）这些多边形面积的平方厘米数是它们边上钉子数的一半。

（板书）多边形的面积＝多边形边上的钉子数÷2

5.字母表示s＝n÷2

6.带着这样的发现我们接着往下看。（出示导入图）

（1）学生一起算出s和n，说说自己的疑惑。（看看这四幅图，再看看我们的发现）

（2）怎么回事呢？我们再回个头来看看图。（学生说说）

（3）当否定了我们刚刚才的发现之后，我们就要回头看看图，从不同的四边形中找到它们的相同点。从不同之中找出共同点。

（4）点击：第一行四幅图中间都是有1枚钉子，把它们和下面的四幅图进行对比，发现下面的四幅图的中间有2枚或2枚以上的钉子。那我们刚才的发现有个前提，什么前提呢？（必须是多边形的中间有一枚钉子。）中间的钉子数是1，用字母a来表示，也就是当a＝1时，s＝n÷2。

谁能用文字语言来表达一遍的？

（二）a＝2

1.刚才我们研究的是a＝1，你觉得接下来我们会研究什么呢？我们就看a ＝2。

2.出示图。填表。

3.还有两组数据请同学们画图填出。这个图有什么要求？（多边形中要有2枚钉子）同学们画一画，数一数它边上的钉子数，再数一数它的面积。

4.学生展示汇报。

5.观察说说自己的发现，小组中讨论。

（1）s＝（n+2）÷2

（2）s＝n÷2+1

（可以结合例子说一说）两者都对。

不同的想法，都是对的，那我们来找找它们之间有没有联系？（验证）

不一样的表达，本质还是一样的。

6.小结：刚刚我们研究的前提是什么？（a＝2）

（1）谁来完整说说我们的发现？

（2）我们就这样的表达形式，上下看看，读读，有什么想法？

有联系，有点感觉了

（三）a＝3

我们接着往下想。

1.当a＝3，有同学说，我们马上就能猜到了。我们不急，在小组中自行研究。

怎么研究？先画图。画图的要求是什么？

然后收集数据。收集什么数据？然后填入表格。为什么我们总要通过表格来呈现数据啊？

2.学生在研究单上研究。

3.小组汇报。

4.小结：a＝3，s＝n÷2+2。（板书）

有不一样的发现吗？

5.如果我们接下去研究，当a＝4呢？当a＝5呢？

我们回过头来看看，当a＝0呢？这是什么意思？（就是多边形中间没有钉子）那s会等于什么呢？

这些都是同学们的猜想，需要大家的验证。请同学们任意选择一个，画图数一数验证自己的猜想。

（四）小结

研究到这里，我们发现钉子板上多边形的面积不仅和多边形边上的钉子数有关，还和多边形内部的钉子数有关，这么多的发现，你能合并成一个发现吗？

如果我们用a表示内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，s表示多边形的面积，你能试着说出这个规律吗？

三、全课总结

我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理，有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里继续了解。如果有进一步的认识需求，那记住这本书：闵嗣鹤的著作《格点和面积》，有兴趣有条件可以阅读。

今天我们研究了钉子板上的多边形与钉子数之间的关系，研究的过程中，我们从简单的入手，通过画一画，数一数，算一算的等方法，观察、猜想、验证，最终发现了规律。