高尔基函数的奇偶性和图像的对称性

其定义域在数轴上有怎样的特点？ 函数定义域关于数“0”对称.
判断下列函数是否具有奇偶性：
(1) f ( x) x ，x [3， 1]
2
(2) f ( x) x 1
判断下列函数是否为奇函数或偶函数：
(1) f ( x) x 1 ；
2
1 (2) f ( x) x ； x
你发现了什么？
轴对称与偶函数
定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个值 x，若f(-x)=f(x)恒成立，则函数y=f(x)就 叫做偶函数；
偶图像关于y轴对称；反之，图像关于y轴对 称的函数一定是偶函数。
y
y
O x
O
x
1 f ( x) ( x 0) x
f ( x) x3
中心对称与奇函数
(3) f ( x) ( x 1) .
2
对于定义在R上的函数 f (x)，
下列判断是否正确？
若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数． 若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
说明：函数奇偶性的判定应注意的问题：
（1）对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：① 是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数； ③既是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶 函数。 （2）根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的 方法和步骤是： 第一步，先判断函数的定义域是否关于原点对称，若 不对称，则必为非奇非偶函数； 第二步，若对称，判断f(-x)=f(x)还是f(-x)=-f(x)， 由此得出函数是奇函数还是偶函数，若均不满足，则 此函数是非奇非偶函数。
定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个值 x，若f(-x)=-f(x)恒成立，则函数y=f(x) 就叫做奇函数 。
奇图像关于原点中心对称；反之，图像关于原 点中心对称的函数一定是奇函数。
若函数f(x)是奇函数或偶函数，则说函数f(x)具 有奇偶性.
说明： ⑴定义中的等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）对 定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立， 则不能说这函数是偶函数（或奇函数）； ⑵等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）成立，除了 表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明 对定义域中的任意x来说，-x也应在定义域之中， 否则f(-x)无意义； ⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称 的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的 函数一定是非奇非偶的函数.
世界上最快而又最慢，最 长而又最短，最平凡而又最珍 贵，最易被忽视而又最令人后 悔的就是时间。 -----高尔基
函数的奇偶性和 图像的对称性
1、两种对称性
第一种：轴对称。对于这种图形，存在一条 直线，按该直线对折，两侧的图形能够重 合。这条直线叫做对称轴，图形叫做轴对 称图形。 第二种：中心对称。这种图形的特点是存在 点O，如果点A在图形上，那么OA的反向延 长线上距O的距离等于OA的点A1，也必定 在图形上。点O叫做对称中心，图形叫做中 心对称图形。
y
y
函数图象关于y轴对称.
O x O x
1
ห้องสมุดไป่ตู้
y y
y = f (x)
O
1
x
如何用数学语言表述函数 x O 图象关于y轴对称呢？
y
y = f(x)
A(x0，f (x0))
O
x
(－x0，f (x0)) 点A关于y轴的对称点A’的坐标是_____________.
点A’在函数 y = f (x) 的图象上吗？ (－x0，f (－x0)) 点A’的坐标还可以表示为______________.
2、函数奇偶性的判断方法 ①用解析式 1）一个前提：函数定义域关于原点对称。 2）检验f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)。 3）写出结论。 ②根据图像判断
判断函数f ( x) x ( x 2)
2
0
是否具有奇偶性 .
y
－2
O
2
x
例1、根据下列函数图像，判断函数的奇 偶性。
具有奇偶性的函数，