定积分的基本性质

定积分的基本性质
一、定积分的基本性质
性质1:∫b a1dx=∫b a dx=b-a
证: f(ξi)Δx i＝
1·Δx i＝ (b-a)=b-a
所以
∫b a1dx=∫b a dx=b-a
性质2:(线性运算法则):设f(x),g(x)在［a,b］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且
∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx 证：设F(x)=αf(x)+βg(x),由
F(ξi)Δx i＝［αf(ξi)+βg(ξi)］Δx i
＝［αf(ξi)Δx i＋βg(ξi)Δx i］
＝α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx，因此
αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且
∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx
特别当α=1,β=±1时，有
∫b a［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx±∫b a g(x)dx
当β=0时
∫b aαf(x)dx=α∫b a f(x)dx
性质2主要用于定积分的计算
性质3:对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则
∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx
证:a,b,c的位置，由排列知有六种顺序
(i)当a<c<b，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b］时，可以让点C是一个固定的分点，则有
∫b a f(x)dx=
f(ξi)Δx i
＝［f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i］
＝f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i
＝∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx
(ii)当c<b<a
由(i)知∫a c f(x)dx=∫b c f(x)dx+∫a b f(x)dx有
-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b a f(x)dx,则
∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx
对于其它4种位置与(ii)证明类似。

性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。

性质4:若f(x)在［a,b］上可积，f(x)≥0，则∫b a f(x)dx ≥0
证:由f(ξi)≥0,Δx i>0，有f(ξi)Δx i>0有
f(ξi)Δx i>0，由函数极限不等式知
∫b a f(x)dx=f(ξi)Δx i≥0
性质4用于不通过计算，判别定积分的符号。

性质5:若f(x),g(x)在［a,b］上可积，f(x)≥g(x)，且a<b，则
∫b a f(x)dx≥∫b a g(x)dx
证：由f(x)-g(x)≥0，由性质2，4知。

∫b a f(x)dx-∫b a g(x)dx＝∫b a［f(x)-g(x)］dx≥0
性质5:用于不通过计算，比较两定积分大小。

性质6:若f(x)在［a,b］上连续f(x)≥0但f(x)0，则∫
b
f(x)dx>0
a
证:由f(x)=0，则存在x0∈［a,b］，不妨设x0∈(a,b)，有f(x0)>0，由f(x)在［a,b］上连续，所以在点x0处连续，即
f(x)=f(x0)>0，由连续保号性知，对0<<f(x0)，存在δ1>0，
当x∈(x0-δ1,x0＋δ1)时，有f(x)> x∈［x0－，x0＋］ (x0－δ1，x0＋δ1)时，f(x)> ，则∫b a f(x)dx=∫x0－a f(x)dx+f(x)dx+∫b x0＋
f(x)dx≥f(x)dx≥
∫b a f(x)dx=∫x0－a f(x)dx+f(x)dx+∫b x0＋
f(x)dx≥f(x)dx≥
dx=dx=>0
性质6用于判断定积分值的符号
推论若f(x),g(x)在［a,b］上连续，f(x)≥g(x)，且f(x)≠g(x)，a<b，则∫b a f(x)dx>∫b a g(x)dx
该推论用于不通过计算比较两定积分的大小
若将性质5用不等式
－｜f(x)｜≤f(x)≤｜f(x)｜，有
－∫b a｜f(x)｜dx≤∫b a f(x)dx≤∫b a｜f(x)｜dx，于是有
性质7若f(x)在［a,b］上连续，则
｜∫b a f(x)｜dx≤∫b a｜f(x)｜dx
性质8 若f(x)在［a,b］上连续，m、M是f(x)区间［a,b］上的最小值与最大值，则
m(b-a)≤∫b a f(x)dx≤M(b-a)
该性质用于估计定积分值的范围
证：由m≤f(x)≤M,x∈［a,b］ a<b
由性质5知
m(b-a)=∫b a mdx≤∫b a f(x)dx≤∫b a mdx=M(b-a)
性质9(积分中值定理)若f(x)在闭区间［a,b］上连续，则至少存一点ξ∈［a,b］，使
∫b a f(x)dx=f(ξ)(b-a) (2．1)
证：由性质8知
证：由性质8知
m(b-a)≤∫b a f(x)dx≤M(b-a)
不等式两边同除b-a，由b-a>0，有
m≤≤M
又f(x)在［a,b］上连续，则［m,M］为函数值域，故至少存在一点ξ∈［a,b］，使
＝f(ξ) (2.2)
则∫b a f(x)dx=f(ξ)(b-a)
积分中值定理的几何意义：设f(x)≥0，则∫b a f(x)dx的数值表示曲线y=f(x),y=0,x=a,x=b同成的曲边梯形面积，如图5-5表明，在区间［a,b］上至少存在一点ξ，以ξ处的纵坐标f(ξ)为高，(b-a)为底的矩形面积，等于该曲边梯形的面积。

f(ξ)即(2.2)式左边所确定的值，称为函数f(x)在区间［a,b］上的平均值。

图5-5 积分中值定理与微分中值定理同样重要，利用积
分中值定理可以证明方程根的存在性，适合某种
条件ξ的存在性及不等式，有时与微分中值定理
综合运用解决一些问题。

例设函数f(x)在［0,1］上连续，(0，1)内可导，且3
f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点ξ，使f′(ξ)=0
证：由积分中值定理知，在［，1］上存在一点c,使
３f(x)dx=３·f(c)(1－)＝f(c)=f(0)
故f(x)在区间［0,c］上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点
ξ∈(0,c) (0,1)
使f′(ξ)=0
例证明dx=0
证由积分中值定理
0≤dx
＝ 0≤ξn≤，有
0≤ξn n≤()n，由()n=0，由夹逼定理知ξn n＝0，而0<≤1
有·ξn n·＝0，由夹逼定理知
dx=0。