连续性随机变量

0 P{X c} P{c x X c}
F(c) F(c x) 0 (x 0)
P{X c} 0
对于连续型r.v 有
注意分布函 数一定连续
P{a X b} P{a X b}
P{a X b}
P{a X b}
设 X为连续型 r.为v ,任c 意常数,则 P{X c} 0,
那么{X 是 c否} 是不可能事件 概率论与数理统计
设 r.v X的密度函数为
f
(x)
k x2
,
x
100
0 , x 100
确定常数 k并, 求 的X 分布函数 F(x)
计算概率 P{50 X 1000}
Q
1
f
(x)dx
100
k x2
dx
k 100
k 100
X的分布函数是
F ( x)
x
f
1.5
(x)
x 2
f (x)
当参f数(x)在 x ,处2 取极大值
f ()
1
2
发生变lim化f时(x,)曲 线lim会f (x) 0
发生怎即x样曲 的线 ::变y小大化x ?f以(大小x) ,,轴图图O为形形x 渐向向近右左线平平移移,,形形状状不不变变
f (x)
2:1小 大 ,图形变平坦
(2) (1.25)
0.9772 0.8944 0.0828 .
概率论与数理统计
小结
1. 连续型随机变量
x
F(x) f (t)dt
分布函数 概率密度
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
概率论与数理统计
利用标准正态分布函数可以计算概率积分：
1
a
,a
x
b
0 , 其它
则称 X服从区间 (a上,b)的 均记匀为分布 X ~ U (a,b)
Q
(c,fc(
x)L)
0,(a,b)f有(x)dx
b
a
dx ba
1
P{c X故f (xcf)(的x的L)图}确形是cc密Lb度dxa函数b La kL
(k
b
1
a)
即 落X在 (c中,c的 L概)y率只与区间长度有关,而与位置无
概率论与数理统计
分布函数与密度函数几何意义 f ( x)
F(x)
0.08
0.06
0.04
0.02
-10
-5
y f (x)
x5
x
概率论与数理统计
概率密度的性质
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的
概率密度的充要条件
f (x)
(
x)2 2 2
d
(
x
)
π 2
1
2
e
t2 2
dt
1
2
2 1
故 f (x确) 是密度函数
概率论与数理统计
f (x)
1
e(x)2 2 2
2
f ( x) f ( x),即 y 关f (x于) 对0.x5 称 1
当 x 时 , f (x) 0, f (x) 当 x 时 , f (x) 0, f (x)
f
(t)dt
x
100
100 t2
0 ,
dt, x 100 x 100
1
100 x
,
x
100
0 , x 100
P{50
X
1000}
1000
50
f
(x)dx
1000 100
15000 x 2
dx
100( 1 100
1 1000
)概率19论0 与数理统计
设随机变量X的概率密度为
f
(
x)
下面我们就来介绍对连续型随机变量的 描述方法.
概率论与数理统计
一、概率密度的概念与性质
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
x , ,使得对任意实数 x , 有
F
x
x
f
t dt
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称为概率密度 .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
f (x) lim F(x x) F(x)
x0
x
lim P{x X x x}
x0
x
则当 x充分小时，有
P{x X x x} f (x)x
近似于小矩形面积
y f (x)
O
x xx
x
概率论与数理统计
设 X为连续型 r.v为,任c 意常数,问
P{X c}
x 0 有
{X c} {c x X c}
事件“对X的观测值大于3”的概率为
P{ X 3} 51 dx 2
33
3
设Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数，
Y ~ B 3, 2 3
P{Y
2}
C32 (
2)2 3
13概率C论33与( 32数)理3 统22计70
如果 r.v的X 密度函数为
f (x) 1 ex , x 0
0 , x 0
第三节 连续型随机变量及其概率密度
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
概率论与数理统计
连续型随机变量X所有可能取值充满一 个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离 散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率 的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出 所谓“概率密度函数”的方式.
: 大 小 ,图形变尖锐
O
概率论与数x理统计
特别当 0, 2 1时,称为 标准正态分布,记为
X ~ N(0,1)
其概率密度和分布函数分别为
(x)
1
2
e
x2 2
,
(x)
x
1
e
t2 2
dt
2
(x)
(x)
(x)
x
O
可查附表 2求 Φ的(x)值
x
x
(x) 1 (x)
概率论与数理统计
例 已知 X ~ N (0,1),求 P{1.25 X 2}. 解 P{1.25 X 2}
则称 X服从参数为 的0 指记数为分布 X ~ EXP( )
QX的f分(x布) 函0,数为 f
( x)dx
0
e1et dtx
dx1
故F(xf)(x的)确x 是f (t密)dt度函数
f
(
x)
的 图 0形x 110ef(,tx
dt,
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
0
0
F(x)
1
越大曲线越平
下方面积为 11
e
x
,
x
0
O
x
0 , x0 O
x
概率论与数理统计
设 X ~ EXP( ), s 0,t 0 考虑概率
P{X s t | X s} P{X s t, X s} P{X s}
P{X s P{X
t} s}
1ex / dx
st
1e x / dx s
e (st ) / es /
et /
关,这反映了某种“等可能性”,即 在区r.间v X
1
可能取值”
ba
上“(a,等b)
O
a
x
b
概率论与数理统计
设随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，现对X进行 三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率．
因为随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，
所以X的概率密度为
f
(
x)
1 3
,
2 x5
0, 其它
2x,
0,
0 x1 其它
现对X进行n次独立重复观测，以Y表示观测值不大于0.1
的次数，试求随机变量Y的分布律．
事件“观测值不大于0.1”，即事件{X 0.1}的概率
0.1
0.1
P{ X 0.1} f ( x)dx 2xdx 0.01
0
由题意Y服从B(n，0.01)，于是Y的分布律为
P{Y k} Cnk (0.01)k (0.09)nk , k 0,1,2, , n
面积为1
o
x
概率论与数理统计
3o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
y
f (x)
利用概率密度可确
定随机点落在某个
O
x1
x2
x 范围内的概率
概率论与数理统计
4o 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F( x) f ( x).
概率论与数理统计
设连续型随机变量 X 的分布函数为
0,
x a,
F
(
x)
A
B arcsin
x a
,
a x a,
1,
x a.
求 : (1) 系数 A, B 的值;
(2) P{a X a}; 2
(3) 随机变量 X 的概率密度.
概率论与数理统计
如果 r.v的X 密度函数为
f
(x)
b
1
P{X t}
概率论与数理统计
如果 r.v的X 密度函数为
f (x)
1
(x)2
e 2 2 , x
2
其中参数 则,称 0服, 从参X数为 的
正态分布,记为 X ~ N (, 2 )
(, 2)
f (x) 0
f
(x)dx
1
(x)2
e 2 2 dx
2
e t2 dt
0
1
2
e
t 2
e 2 dt 1
2
t 2
e 2 dt 2
t 2
e 2 dt
0
2
ex2 dx
0
2
概率论与数理统计