偏导数-课件

极限
x0 x x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0, y0 ) 对 x
的偏导数，记为 f1( x0 , y0 ) .
f ;
x ( x0 , y0 )
z ; x ( x0 , y0 )
注意: fx ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
二元函数偏导数的几何意义:
z
f
d
x
x x0 y y
0
dx
f ( x, y0 )
x
x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f(
x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f
d
y
x x0 y y
0
dy
f ( x0, y)
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线
在点M0 处的切线
M0Ty 对 y 轴的斜率.
2u 2u 2u x2 y2 z2
3 r3
3( x2 y2 z2 )
r5
0
定理. 若 fx y ( x, y)和 f y x ( x, y)都在点( x0 , y0 )连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
fy(x, y)
x4 4x2 y2 y4 x ( x2 y2 )2 ,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx y (0,0)
lim
y0
fx (0, y) y
fx (0,0)
y lim
y0 y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
nz ) xn1 y
例5. 求函数
z
e x2y
的二阶偏导数及
3z y x2
.
解 : z ex2y
z 2ex2y
x
y
2z x2
e x2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y y x
第九章
第二节 偏导数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u( x0 , t ) u( x , t )
o x0
x
定义1. 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内
z 2x 3y,
x
z y
3x
2
y
z x (1,2)
z y (1,2)
解法2:
z y2 x2 6x 4
z x (1, 2)
z x1 1 3 y y2
z y (1, 2)
例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
的二阶偏导数 . 按求导顺序, 有下列四个二阶偏导数:
( z ) x x
2z x2
fx x ( x, y);
( z ) y x
2z x y
fxy(x, y)
( z ) x y
2z yx
f y x ( x, y);
( z ) y y
2z y2
fyy(x, y)
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
偏导数 , 记为
z ,
y
f ,
y
zy ,
fy(x, y) ,
f2( x, y)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
x
x
fy(x, y,z) ?
(请自己写出)
fz(x, y,z) ?
注意： 函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如,
z
xy
f
( x,
y)
x2
y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
显然
0
0 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
例1 . 求 z x2 3x y y2 在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1:
V RT , p
V R , T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V
V T
T p
RT pV
1
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x fx(x, y) ,
z y fy(x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
f
(
x0
)
lim
x 0
f ( x0x0 x)
x
f ( x0 )
xd y dx
x x0
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0)
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
x0
f y(x, 0) x
f y (0,0)
lim 百度文库 1
x0 x
不 等
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
证：
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r
x
1 r3
3 x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z2
1 r3
3z2 r5
2z y2
4 e x2y
3z y x2
x
(
2z ) y x
2 e x2y
注意:此处 2z 2z , 但这一结论并不总成立. x y y x
例如, f ( x, y)
x2 y2 x y x2 y2 , 0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx(x, y)
x4 4x2 y2 y4 y ( x2 y2 )2 ,
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
的偏导数 . (P65 例4)
解: r 2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r z z r
例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
,
说明: 此例表明,
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.