线性代数 二次型 课件
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化成标准形， 通过正交变换 x = Py , 化成标准形，并问 f = 2表示 什么曲面？ 什么曲面？
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 写出对应的二次型矩阵， 17 − 2 − 2 A = − 2 14 − 4 − 2 − 4 14 17 − λ −2 −2 2 = −(λ − 18) (λ − 9) A − λI = − 2 14 − λ −4
且有
2 2 2 f = 9 y1 + 18 y 2 + 18 y 3 .
此时， 表示椭球面。 此时，容易看出 f = 2 表示椭球面。
例5 求一个正交变换 x = Py , 把二次型
f = 2 x1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 2 x1 x 4 − 2 x 2 x 3 + 2 x 2 x4 + 2 x3 x4 化为标准形 . 解
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 的概念 二、特征值与特征向量 的求法
三、特征值与特征向量 的性质
四、小结、思考题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形 的概念
二、二次型的表示方法
三、二次型的矩阵及秩
四、化二次型为标准形 的正交变换法
五、小结、思考题
实对称矩阵 A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做实对称矩阵 A的二次型;
实对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例１ 写出二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
的矩阵.
解
a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 , a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
定义 2 对n阶方针 A和B , 若存在 n阶满秩阵 P , 使成立 B = P T AP 则称A与B 合同 与 .
于是， 于是，化二次型为标准 形的问题就转变成如何
使实对称矩阵合同于实 对角矩阵的问题 .
由于对任意的实对称矩 阵A, 总有正交矩阵 P , 使 P AP = Λ ,即 P AP = Λ . 因此把这个结论应
T
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P 将正交向量组单位化，
αi , (i = 1,2,3 ), 令 ηi = αi
得
1 η1 = 2 2
− 2 5 − 2 45 3 3 , η 2 = 1 5 , η 3 = − 4 45 . 0 5 45 3
说明
1、 f = x Ax 经过正交变换化成的标 准形
T
系数一定是 A 的特征值 .
2、对正交变换 x = Qy而言，正交变换将保 而言， 持向量的长度不变， 持向量的长度不变，即 在x = Qy时，必有
x = y
2 2
事实上， 事实上，
x = < x , x > = < Qy , Qy > = (Qy ) (Qy )
2 0 0 0
0 0 0 0
例3 试写出二次型 3 − 1 x1 2 f = [ x1 , x2 , x3 ] − 1 − 1 5 x2 2 0 x3 0 的矩阵 A. 实对称矩阵， 解 由于二次型的矩阵必是 实对称矩阵，故
称为二次型. 称为二次型.
当 a ij是复数时 , f称为 复二次型 ;
当 a ij是实数时 , f称为 实二次型 .
说明 本书只考虑实二次型 .
只含有平方项的二次型 2 2 2 f = k1 y1 + k2 y2 + L + kn yn 称为二次型的标准形 标准形． 称为二次型的标准形． 例如
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3
a11 a12 a21 a22 = ( x1 , x2 ,L, xn ) L L a n1 an 2
L L L L
a1n x1 a2n x2 L M ann xn
则二次型可记作 f = x T Ax , 其中A为实对称矩阵 .
−2
−4
14 − λ
从而得特征值
λ1 = 9, λ 2 = λ 3 = 18.
2．求特征向量
将 Baidu Nhomakorabea 1 = 9代入( A − λI ) x = 0, 得基础解系
T 1
ξ = (1 2, 1, 1) 将 λ 2 = λ 3 = 18代入 ( A − λ I ) x = 0, 得基础解系
ξ 2 = ( −2,1,0)T , ξ 3 = ( −2,0,1)T .
一、二次型及其标准形的概念
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 ,L , x n的二次齐次函数
2 2 2 f ( x1 , x 2 , L , x n ) = a11 x1 + a 22 x 2 + L + a nn x n
+ 2a12 x1 x 2 + 2a13 x1 x 3 + L + 2a n − 1 , n x n − 1 x n
1 1 − 1 0 0 −1 1 1 , 二次型的矩阵为 A = 1 −1 0 1 −1 1 1 0
它的特征多项式为
− λ −1 A − λI = . 1 −1 − λ 1 1 −λ −1 1 计算特征多项式 : 把二, 三,四列都加到第一列上 , 有
3．将特征向量正交化 < α 2 ,ξ 3 > α2, 取 α 1 = ξ 1 , α 2 = ξ 2 , α 3 = ξ3 − < α 2 ,α 2 > 得正交向量组 T = (1 2 , 1, 1) , α 2 = ( − 2 ,1,0 )T , α1
α 3 = ( − 2 5,− 4 5,1) .
而有 2 − 1 + 3 A= 2 − 1 + 0 2
−1+ 3 2 −1
5+ 2 2
− 1 + 0 2 2 1 − 1 2 5+ 2 = 1 −1 7 2 2 0 − 1 2 7 2 0
四、化二次型为标准形
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
都为二次型；而 都为二次型； 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4 x2 + 4 x3 为二次型的标准形. 为二次型的标准形.
取 a ji = a ij , 2 f = a 11 x 1 + a 12 x 1 x 2 + L + a 1 n x 1 x n 2 + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x 2 x n +L 2 + a n1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + L + a nn x n
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样， 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 一一对应的关系 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
试写出二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = 3 x1 − 2 x2 + 4 x1 x3 的矩阵 A. 依题意， 解 依题意，该二次型的矩 阵应为
例2
3 0 0 − 2 A= 2 0 0 0
−λ 1
1
1
−1 1
1
1
1
−1 −λ 1
1 −λ A − λI = ( − λ + 1) 1 −1 1 1
−1 1
1 −λ
,
把二, 三,四行分别减去第一行 , 有
1
1
1
−2 0 −λ −1 A − λI = ( − λ + 1) 0 2 −2 − λ −1 −λ +1 0 0 0 −2 2 −λ −1 = ( − λ + 1) −2 −λ −1
4 . 将特征向量 ξ 1 , ξ 2 ,L , ξ n 正交化 , 单位化 , 得
η 1 ,η 2 ,L ,η n , 记 C = (η 1 ,η 2 ,L ,η n );
2 2 f = λ 1 y1 + L + λ n y n .
5 . 作正交变换 x = Cy , 则得 f的标准形
例4 将二次型 2 2 2 f = 17 x1 + 14 x2 + 14 x3 − 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
2 T
= y Q Qy = y y = < y , y > = y
T T T
2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f = xT Ax , 求出 A;
2. 求出A的所有特征值 λ1 , λ 2 ,L, λ n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量 ξ 1 ,ξ 2 ,L ,ξ n ;
若记矩阵 C = (c ij ), 则上述可逆线性变换可 记作
x = Cy
将其代入 f = x T Ax , 有 f = x T Ax = (Cy )T A(Cy ) = y T (C T AC ) y .
=y C
T
T
ACy =
2 2 y12 + k 2 y 2 + L + k n y n k1
定理 0 任给可逆矩阵 C , 令 B = C T AC , 如果 A 为对称 矩阵 , 则 B 也为对称矩阵 , 且 r ( B ) = r ( A ).
对于二次型，我们讨论的主要问题是： 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 设有可逆 线性变换
x1 = c11 y1 + c12 y 2 + L + c1n y n , x = c y + c y + L+ c y , 2 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLLL x n = c n1 y1 + c n 2 y 2 + L + c nn y n
−1 2
= ( − λ + 1) (λ + 2λ − 3) = (λ + 3) (λ −1) .
2 2 3
于是A 于是 的特征值为 λ 1 = −3, λ 2 = λ 3 = λ 4 = 1.
当 λ 1 = −3时, 解方程( A + 3 I ) x = 0,
1 1 1 − 1 − 1 得基础解系 ξ 1 = , 单位化即得 p1 = − 1. −1 2 1 1 当 λ 2 = λ 3 = λ 4 = 1时, 解方程( A − I ) x = 0,
−2 5 1 5 0 −2 −4 5 45 45 . 45
所以
1 3 P = 2 3 2 3
于是所求正交变换为 x = Py , 即
x1 1 3 − 2 5 − 2 45 y1 x2 = 2 3 1 5 − 4 45 y2 , x 2 3 0 5 45 y3 3
= ∑ a ij x i x j .
i , j =1 n
二、二次型的表示方法
2．用矩阵表示 2 f = a 11 x 1 + a 12 x 1 x 2 + L + a 1 n x 1 x n 2 + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x 2 x n 2 + L + a n1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + L + a nn x n
T −1
用于二次型 , 即有
1 定理 任给二次型 f =
∑1a ij x i x j (a ij = a ji ), 总有 i , j=
n
正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f = λ1 y1 + λ 2 y2 + L + λ n yn ,
其中 λ1 , λ 2 ,L , λ n是 f 的矩阵 A = (a ij ) 的特征值 .
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 写出对应的二次型矩阵， 17 − 2 − 2 A = − 2 14 − 4 − 2 − 4 14 17 − λ −2 −2 2 = −(λ − 18) (λ − 9) A − λI = − 2 14 − λ −4
且有
2 2 2 f = 9 y1 + 18 y 2 + 18 y 3 .
此时， 表示椭球面。 此时，容易看出 f = 2 表示椭球面。
例5 求一个正交变换 x = Py , 把二次型
f = 2 x1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 2 x1 x 4 − 2 x 2 x 3 + 2 x 2 x4 + 2 x3 x4 化为标准形 . 解
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 的概念 二、特征值与特征向量 的求法
三、特征值与特征向量 的性质
四、小结、思考题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形 的概念
二、二次型的表示方法
三、二次型的矩阵及秩
四、化二次型为标准形 的正交变换法
五、小结、思考题
实对称矩阵 A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做实对称矩阵 A的二次型;
实对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例１ 写出二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
的矩阵.
解
a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 , a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
定义 2 对n阶方针 A和B , 若存在 n阶满秩阵 P , 使成立 B = P T AP 则称A与B 合同 与 .
于是， 于是，化二次型为标准 形的问题就转变成如何
使实对称矩阵合同于实 对角矩阵的问题 .
由于对任意的实对称矩 阵A, 总有正交矩阵 P , 使 P AP = Λ ,即 P AP = Λ . 因此把这个结论应
T
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P 将正交向量组单位化，
αi , (i = 1,2,3 ), 令 ηi = αi
得
1 η1 = 2 2
− 2 5 − 2 45 3 3 , η 2 = 1 5 , η 3 = − 4 45 . 0 5 45 3
说明
1、 f = x Ax 经过正交变换化成的标 准形
T
系数一定是 A 的特征值 .
2、对正交变换 x = Qy而言，正交变换将保 而言， 持向量的长度不变， 持向量的长度不变，即 在x = Qy时，必有
x = y
2 2
事实上， 事实上，
x = < x , x > = < Qy , Qy > = (Qy ) (Qy )
2 0 0 0
0 0 0 0
例3 试写出二次型 3 − 1 x1 2 f = [ x1 , x2 , x3 ] − 1 − 1 5 x2 2 0 x3 0 的矩阵 A. 实对称矩阵， 解 由于二次型的矩阵必是 实对称矩阵，故
称为二次型. 称为二次型.
当 a ij是复数时 , f称为 复二次型 ;
当 a ij是实数时 , f称为 实二次型 .
说明 本书只考虑实二次型 .
只含有平方项的二次型 2 2 2 f = k1 y1 + k2 y2 + L + kn yn 称为二次型的标准形 标准形． 称为二次型的标准形． 例如
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3
a11 a12 a21 a22 = ( x1 , x2 ,L, xn ) L L a n1 an 2
L L L L
a1n x1 a2n x2 L M ann xn
则二次型可记作 f = x T Ax , 其中A为实对称矩阵 .
−2
−4
14 − λ
从而得特征值
λ1 = 9, λ 2 = λ 3 = 18.
2．求特征向量
将 Baidu Nhomakorabea 1 = 9代入( A − λI ) x = 0, 得基础解系
T 1
ξ = (1 2, 1, 1) 将 λ 2 = λ 3 = 18代入 ( A − λ I ) x = 0, 得基础解系
ξ 2 = ( −2,1,0)T , ξ 3 = ( −2,0,1)T .
一、二次型及其标准形的概念
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 ,L , x n的二次齐次函数
2 2 2 f ( x1 , x 2 , L , x n ) = a11 x1 + a 22 x 2 + L + a nn x n
+ 2a12 x1 x 2 + 2a13 x1 x 3 + L + 2a n − 1 , n x n − 1 x n
1 1 − 1 0 0 −1 1 1 , 二次型的矩阵为 A = 1 −1 0 1 −1 1 1 0
它的特征多项式为
− λ −1 A − λI = . 1 −1 − λ 1 1 −λ −1 1 计算特征多项式 : 把二, 三,四列都加到第一列上 , 有
3．将特征向量正交化 < α 2 ,ξ 3 > α2, 取 α 1 = ξ 1 , α 2 = ξ 2 , α 3 = ξ3 − < α 2 ,α 2 > 得正交向量组 T = (1 2 , 1, 1) , α 2 = ( − 2 ,1,0 )T , α1
α 3 = ( − 2 5,− 4 5,1) .
而有 2 − 1 + 3 A= 2 − 1 + 0 2
−1+ 3 2 −1
5+ 2 2
− 1 + 0 2 2 1 − 1 2 5+ 2 = 1 −1 7 2 2 0 − 1 2 7 2 0
四、化二次型为标准形
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
都为二次型；而 都为二次型； 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4 x2 + 4 x3 为二次型的标准形. 为二次型的标准形.
取 a ji = a ij , 2 f = a 11 x 1 + a 12 x 1 x 2 + L + a 1 n x 1 x n 2 + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x 2 x n +L 2 + a n1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + L + a nn x n
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样， 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 一一对应的关系 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
试写出二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = 3 x1 − 2 x2 + 4 x1 x3 的矩阵 A. 依题意， 解 依题意，该二次型的矩 阵应为
例2
3 0 0 − 2 A= 2 0 0 0
−λ 1
1
1
−1 1
1
1
1
−1 −λ 1
1 −λ A − λI = ( − λ + 1) 1 −1 1 1
−1 1
1 −λ
,
把二, 三,四行分别减去第一行 , 有
1
1
1
−2 0 −λ −1 A − λI = ( − λ + 1) 0 2 −2 − λ −1 −λ +1 0 0 0 −2 2 −λ −1 = ( − λ + 1) −2 −λ −1
4 . 将特征向量 ξ 1 , ξ 2 ,L , ξ n 正交化 , 单位化 , 得
η 1 ,η 2 ,L ,η n , 记 C = (η 1 ,η 2 ,L ,η n );
2 2 f = λ 1 y1 + L + λ n y n .
5 . 作正交变换 x = Cy , 则得 f的标准形
例4 将二次型 2 2 2 f = 17 x1 + 14 x2 + 14 x3 − 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
2 T
= y Q Qy = y y = < y , y > = y
T T T
2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f = xT Ax , 求出 A;
2. 求出A的所有特征值 λ1 , λ 2 ,L, λ n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量 ξ 1 ,ξ 2 ,L ,ξ n ;
若记矩阵 C = (c ij ), 则上述可逆线性变换可 记作
x = Cy
将其代入 f = x T Ax , 有 f = x T Ax = (Cy )T A(Cy ) = y T (C T AC ) y .
=y C
T
T
ACy =
2 2 y12 + k 2 y 2 + L + k n y n k1
定理 0 任给可逆矩阵 C , 令 B = C T AC , 如果 A 为对称 矩阵 , 则 B 也为对称矩阵 , 且 r ( B ) = r ( A ).
对于二次型，我们讨论的主要问题是： 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 设有可逆 线性变换
x1 = c11 y1 + c12 y 2 + L + c1n y n , x = c y + c y + L+ c y , 2 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLLL x n = c n1 y1 + c n 2 y 2 + L + c nn y n
−1 2
= ( − λ + 1) (λ + 2λ − 3) = (λ + 3) (λ −1) .
2 2 3
于是A 于是 的特征值为 λ 1 = −3, λ 2 = λ 3 = λ 4 = 1.
当 λ 1 = −3时, 解方程( A + 3 I ) x = 0,
1 1 1 − 1 − 1 得基础解系 ξ 1 = , 单位化即得 p1 = − 1. −1 2 1 1 当 λ 2 = λ 3 = λ 4 = 1时, 解方程( A − I ) x = 0,
−2 5 1 5 0 −2 −4 5 45 45 . 45
所以
1 3 P = 2 3 2 3
于是所求正交变换为 x = Py , 即
x1 1 3 − 2 5 − 2 45 y1 x2 = 2 3 1 5 − 4 45 y2 , x 2 3 0 5 45 y3 3
= ∑ a ij x i x j .
i , j =1 n
二、二次型的表示方法
2．用矩阵表示 2 f = a 11 x 1 + a 12 x 1 x 2 + L + a 1 n x 1 x n 2 + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x 2 x n 2 + L + a n1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + L + a nn x n
T −1
用于二次型 , 即有
1 定理 任给二次型 f =
∑1a ij x i x j (a ij = a ji ), 总有 i , j=
n
正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f = λ1 y1 + λ 2 y2 + L + λ n yn ,
其中 λ1 , λ 2 ,L , λ n是 f 的矩阵 A = (a ij ) 的特征值 .