大数定理及中心极限定理
中心极限定理 大数定律
中心极限定理与大数定律介绍中心极限定理（Central Limit Theorem）和大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中两个重要而基础的定理。
它们在统计学和各个领域的实际应用中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨这两个定理的概念、应用和相关证明。
中心极限定理定义中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在特定条件下，一组随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
具体来说，对于任意独立同分布的随机变量的和，当样本容量足够大时，其均值的分布将会接近于正态分布。
证明中心极限定理的证明可以通过多种方法进行推导，其中最为经典的方法是使用特征函数的技巧。
通过对特征函数的逐步展开和极限取证，可以得出中心极限定理的结论。
应用中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
以下是中心极限定理的几个重要应用：1.抽样分布的近似计算：通过中心极限定理，可以对抽样分布进行近似计算，从而推断总体参数。
2.假设检验：在统计学中，中心极限定理广泛应用于假设检验问题中。
通过对样本均值进行正态分布近似，可以进行对总体均值的假设检验。
3.建立置信区间：中心极限定理可用于建立置信区间。
通过计算样本均值的区间估计，确定总体均值的信心水平。
大数定律定义大数定律是概率论中的另一个重要定理，它说明了当独立同分布的随机变量重复进行实验时，其平均值会收敛于数学期望。
换句话说，随着实验次数的增加，样本均值会趋近于总体均值。
证明大数定律的证明有多种方法，其中最为著名的是切比雪夫不等式和辛钦大数定律。
不同的证明方法都有其特点和适用范围，但最终都能得出大数定律的结论。
应用大数定律在实际应用中也有着广泛的应用。
以下是大数定律的几个重要应用：1.统计估计：大数定律可用于建立统计估计方法，如最大似然估计和矩估计。
2.贝叶斯推断：大数定律在贝叶斯推断中起着重要的作用。
通过重复实验，可以逐渐更新对参数的先验分布，得到后验分布。
3.经济学和金融学：大数定律在经济学和金融学中有广泛的应用。
中心极限定理和大数定律
中心极限定理和大数定律中心极限定理和大数定律是统计学中非常重要的两个概念。
它们在统计学中被广泛应用，对于理解随机事件的规律性和分析数据具有重要意义。
本文将对中心极限定理和大数定律进行详细的阐述。
一、中心极限定理1. 定义中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将近似于正态分布。
2. 原理中心极限定理的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）服从正态分布N（μ,σ^2/n）。
其中，μ代表总体均值，σ代表总体标准差。
3. 应用中心极限定理在实际应用中非常广泛。
例如，在质量控制过程中，我们可以通过抽取一小部分产品进行检测，并根据检测结果推断整个批次产品的质量状况。
而根据中心极限定理，我们可以通过抽取足够多的样本并计算样本均值，来推断总体均值和标准差，从而判断整个批次产品的质量是否符合要求。
二、大数定律1. 定义大数定律是指当样本量足够大时，样本平均值趋近于总体平均值。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将趋近于总体的平均值。
2. 原理大数定律的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）趋近于总体均值（μ）。
3. 应用大数定律在实际应用中也非常广泛。
例如，在股票市场中，我们可以通过抽取一小部分股票进行分析，并根据分析结果预测整个市场的走势。
而根据大数定律，我们可以通过抽取足够多的股票并计算它们的收益率，来推断整个市场的平均收益率和风险水平。
三、中心极限定理和大数定律之间的关系1. 相似性中心极限定理和大数定律都是关于样本均值的定理，它们都是基于样本量足够大的前提条件下成立的。
2. 区别中心极限定理和大数定律的主要区别在于它们所描述的内容不同。
中心极限定理描述了样本均值的分布情况，而大数定律描述了样本均值与总体均值之间的关系。
大数定律与中心极限定理
的方差存在，且有共同的上界，即
Var( Xi ) c,i 1,2,
则 {Xn} 服从大数定律，即对任意的 0
lim
n
P
1
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
1
成立.
定理3 （辛软大数定律）设 X1, X 2,X n , 为一列相互独立且相同分布的随机变量，若
Xi (i 1,2,) 的数学期望存在，则 {X n} 服从大数
例5.2.2 某工厂有 200 台同类型的机器，每台
机器工作时需要 50 kW 的电力。由于功率的原 因，每台机器的开工率为 0.75 ，各台机器是否 工作是相互独立的.问
（1）在任一时刻，恰有 144 至 160 台机器正在 工作的概率为多少？
（2）在任一时刻，需要至少供应多少电力才能 保证“因电力不足而使一些机器停工”的概率小于 0.01？
概率论与数理统计
二、中心极限定理
定理5.2.1 (独立同分布的中心极限定理) 设随机
变量序列 X1, X 2,X n , ，相互独立且服从同一 分布，它们具有相同的数学期望和方差
E Xi Var( X i ) 2 0
n
其中 i = 1,2,3,…, 则前 n 个随机变量之和 Xi 的标 i 1
准化变量
lim P Yn np x Φ(x) n np(1 p)
其中 (x) 为标准正态分布的分布函数.
例3 一个加法器可同时收到 20 个噪声电压 Vk
k 1,2,,20，设它们是相互独立的随机变量，
且都在 0,10 上服从均匀分布，记
20
V Vk k 1
求 P{V 105} 的近似值。
练习 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律（Law of Large Numbers）和中心极限定理（Central Limit Theorem）是统计学中两个基本的概念和定理，它们在概率论和统计学的研究中起着重要的作用。
本文将介绍大数定律与中心极限定理的概念和原理，并探讨它们在现实生活中的应用。
一、大数定律大数定律是指随着样本容量的增加，样本平均值的稳定性会逐渐增强，逼近总体均值。
以样本平均值为例，大数定律表明当样本容量无限大时，样本平均值将趋近于总体均值。
这一定律在概率论和统计学中有着广泛的应用。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两类。
弱大数定律指的是当样本容量足够大时，样本平均值以较高的概率接近总体均值；而强大数定律则是指样本平均值几乎总是接近于总体均值，不管样本容量大小。
大数定律在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在投资领域，投资者通过分析历史数据来估计未来的收益率。
大数定律告诉我们，当样本容量足够大时，通过历史数据得出的均值可以较好地代表未来的收益率。
另外，在统计调查中，通过对样本进行抽样调查可以估计总体的参数。
大数定律告诉我们，样本容量越大，样本估计总体参数的准确性就越高。
二、中心极限定理中心极限定理是指在一定条件下，独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。
中心极限定理是统计学中最重要的定理之一，它揭示了总体均值的抽样分布的特性。
中心极限定理有三种常见的形式：李雅普诺夫中心极限定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和林德伯格-列维中心极限定理。
这三种形式的中心极限定理分别对应不同的分布情况。
中心极限定理的应用非常广泛。
在现实生活中，我们经常遇到需要对一组随机变量求和的情况。
例如，抽样调查中，我们需要对多个样本进行求和，来估计总体参数。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本求和的分布将逼近于正态分布。
这为我们在实际问题中提供了便利，使得我们能够利用正态分布的性质进行统计推断和分析。
总结：大数定律和中心极限定理是统计学中两个基本的概念和定理。
大数定律及中心极限定理教学
解
1
以Xk (k=1,2,…,400)记第k个学生来参加会议
2
的家长数,其分布律为
3
pk
4
05
5
8
6
15
7
Xk
8
Xk 相互独立地服从同一分布
9
随机变量
近似服从标准正态分布
添加标题
以Y表示有一名家长来参加会议的学生, 则
添加标题
Y~b(400, 0.8)
三 小结
独立同分布的中心极限定理
01
李雅普诺夫定理
单击此处添加标题
解
单击此处添加标题
切比雪夫(Chebyshev)定理证明
定义
由此得到定理1的另一种叙述：
Th1′
PART 1
说明
Th2：(伯努利大数定理)
定理表明事件发生的频率依概率收敛于 事件的概率。由实际推断原理,在实际应用中, 当试验次数很大时,可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.
的分布函数的极限.
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.
X~b(90000,1/3),
思考题
分布律为
所求概率为
采用棣莫佛－拉普拉斯定理
计算太麻烦！！！
3.棣莫佛－拉普拉斯定理
说明
例题
解
例1 掷一颗骰子1620次，求“六点”出现的次数X 在250～290之间的概率？
中心极限定理和大数定律
中⼼极限定理和⼤数定律⽬录依分布收敛定义若有⼀列分布函数 {F n} 和分布函数F，在F的每⼀个连续点，都有F n→F，则称F n弱收敛于F，记为F nω⟶F .定义若⼀列随机变量ξn的分布函数弱收敛于ξ的分布函数，则称ξn依分布收敛于ξ，记为ξnd⟶ξ .海莱第⼀定理若有⼀列分布函数 {F n} ，则存在单调不减右连续的函数F, 0≤F(x)≤1,x∈R 和⼦列 {F nk } ，使得对F的每⼀个连续点，都有F nk→F .海莱第⼆定理设有分布函数F，⼀列分布函数 {F n} ，F nω⟶F，若g(x) 在 R 上有界连续，则∫+∞−∞g(x)dF n(x)→∫+∞−∞g(x)dF(x)勒维连续型定理设有分布函数F，⼀列分布函数 {F n} ，若F nω⟶F，则相应的特征函数列 {fn(t)} 关于t在任何有限区间⼀致收敛于F的特征函数f(t) .逆极限定理设f n(t) 是分布函数F n(x) 的特征函数，如果对每个t,f n(t)→f(t) ，且f(t) 在t=0 连续，则f(t) ⼀定是某个分布函数F的特征函数，且F nω⟶F .例 4.1 ⽤特征函数法证明⼆项分布的泊松逼近定理.Proof.设ξn服从⼆项分布B(n,p) ，且lim，它的特征函数为f_n(t) = (p_ne^{it}+q_n),\ q_n = 1-p_n，则有\lim_{n\to\infty}f_n(t) = \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{np_n(e^{it}-1)}{n}\right)^n = e^{\lambda(e^{it}-1)}恰为泊松分布的特征函数，由逆极限定理即证.推论若有⼀列随机变量\xi_n和\xi，则下述等价\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi对任意有界连续函数，有Eg(\xi_n)\to Eg(\xi)对任意实数t有f_n(t)\to f(t)推论关于密度函数或分布列判断依分布收敛若对任意x,\ p_n(x)\to p(x)，则\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi若对任意j,\ p_n(x_j)\to p(x_j)，\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi性质若g(x)在\mathbb{R}上连续，则若\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi，有g(\xi_n)\stackrel{d}\longrightarrow g(\xi)若有常数列\{a_n\},\ \{b_n\}，有分布函数F，⼀列分布函数\{F_n\}，若a_n\to a,\ b_n\to b,\ F_n\to F，则$F_n(a_nx+b_n)\to F(ax+b)若\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi，则a_n\xi_n + b_n\stackrel{d}\longrightarrow a\xi +b中⼼极限定理德莫佛-拉普拉斯⽤S_n表⽰n重伯努利实验中成功的次数，设\Phi(x)为标准正态分布的分布函数，则\lim_{n\to\infty}P\left(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le x\right) = \Phi(x)可以看出⼆项分布逼近正态分布，其中P(S_n=k) = b(k;n,p)也就是说，n次独⽴实验中成功\alpha<k\le\beta次的概率为P(\alpha<S_n\le\beta) = P\left(\dfrac{\alpha-np}{\sqrt{npq}}<\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le \dfrac{\beta-np}{\sqrt{npq}}\right) \approx \Phi\left(\dfrac{\beta-np} {\sqrt{npq}}\right) - \Phi\left(\dfrac{\alpha-np}{\sqrt{npq}}\right)需要注意这⾥是n个⼆项分布的累积，每个分布只有1次实验，类似于对分布的拆分：S_n本⾝是⼆项分布，但是这⾥将n次实验拆成了n个随机变量的累计.定义设有⼀列随机变量\xi_n，若有常数B_n>0,\ A_n使得\dfrac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n\xi_k - A_n\stackrel{d}\longrightarrow N(0,1)则称\xi_n服从中⼼极限定理.林德贝格-勒维设\{\xi_n\}独⽴同分布，记S_n = \sum_{k=1}^n\xi_k,\ E\xi_1 = a,\ Var\xi_1 = \sigma^2，则中⼼极限定理成⽴，即\dfrac{S_n-na}{\sqrt{n}\sigma} \stackrel{d}\longrightarrow N(0,1)从⽽我们可以类似于上进⾏估计；特别的，当S_n是⼆项分布，有E\xi_1 = a,\ Var\xi_1 = pq .李雅普诺夫定理若\{\xi_n\}独⽴，存在常数\delta>0，使得\dfrac{1}{(\sum_{k=1}^nVar\xi_k)^{1+\delta/2}}\sum_{k=1}^nE|\xi_k-E\xi_k|^{2+\delta} \to 0则中⼼极限定理成⽴.依概率收敛由于两个不同的随机变量可以有相同的分布函数，故分布函数的收敛性不能反映随机变量序列取值之间的接近程度，因此需要引⼊另外的收敛性.定义设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 0是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，若有\forall \epsilon > 0,\quad \lim_{n\to\infty}P(|\xi_n-\xi|\ge\epsilon) = 0则称\xi_n依概率收敛于\xi，记作\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow \xi .设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 0是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量若\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow \xi，则\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi若\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow c，其中c为常数，则\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow c注意随机变量为c，则有分布列P(\xi=c) = 1，从⽽有分布函数F(x) = \left\{ \begin{aligned} &0,\quad x<c\\ &1,\quad x\ge c \end{aligned} \right.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js马尔科夫不等式设\xi是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，f(x)是[0,\infty)上的⾮负单调不减函数，则有\forall x>0,\quad P(|\xi|>x)f(x) \le Ef(|\xi|)这⾥改写了不等式，注意到左边是⼀个类似于期望的格式，这样⽐较直观，事实上P(|\xi|>x)f(x) = \int_{|y|>x}f(x)dF(y) \le \int_{|y|>x}f(y)dF(y) \le \int_{\Omega}f(y)dF(y) = Ef(|\xi|)\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow \xi当且仅当E\dfrac{|\xi_n-\xi|^2}{1+|\xi_n-\xi|^2} \to 0Proof.注意到f(x) = x^2/(1+x^2)⾮负单调不减，由上即证.弱⼤数定律伯努利⼤数定律设\{\xi_n\}独⽴同分布，P(\xi_n=1) = p,\ P(\xi_n=0) = 1-p,\ 0<p<1，记S_n = \sum_{i=1}^n\xi_i，则\dfrac{S_n}{n} \stackrel{P}\longrightarrow p设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量序列，若有常数列\{a_n\},\ \{b_n\}使得\dfrac{1}{a_n}\sum_{k=1}^n\xi_k - b_n \stackrel{P}\longrightarrow 0则称\{\xi_n\}服从弱⼤数定律.使⽤伯努利⼤数定律估计\xi_i\sim B(1,p),\quad S_n = \sum_{i=1}^n\xi_i则有估计P(S_n\le x) = P\left(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le \dfrac{x-np}{\sqrt{npq}}\right) \approx \Phi\left(\dfrac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)其中q=1-p .切⽐雪夫⼤数定律设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的独⽴随机变量序列，E\xi_n = \mu_n,\ Var\xi_n = \sigma_n^2，若有\sum_{k=1}^n\sigma_k^2/n^2\to 0，则称\{\xi_n\}服从弱⼤数定律，即\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k - \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mu_k \stackrel{P}\longrightarrow 0Proof.考虑\sum_{k=1}^n\xi_k/n，则E\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k\right) = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mu_k,\quad Var\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k\right) = \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n\sigma_k^2由切⽐雪夫不等式P\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n(\xi_k -\mu_k)\right|\ge\epsilon\right) \le \dfrac{1}{\epsilon^2}Var\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k\right) = \dfrac{1} {\epsilon^2n^2}\sum_{k=1}^n\sigma_k^2 \to 0即证.马尔科夫⼤数定律设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的独⽴随机变量序列，E\xi_n = \mu_n，若有Var(\sum_{k=1}^n\xi_k^2)/n^2\to 0，则称\{\xi_n\}服从弱⼤数定律，即\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k - \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mu_k \stackrel{P}\longrightarrow 0证明是类似的，可以省去最后⼀步.⾟钦⼤数定律设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的独⽴同分布随机变量序列，E|\xi_1|<\infty，记\mu=E\xi_1,\S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k，则\{\xi_n\}服从弱⼤数定律，即\dfrac{S_n}{n} \stackrel{P}\longrightarrow \mu平均收敛设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 1是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，E|\xi|^r<\infty,\ E|\xi_n|^r<\infty,\ n\ge1,\ 0<r<\infty，若E|\xi_n-\xi|^r \to 0则称\{\xi_n\}r阶平均收敛于\xi，记作\xi_n\stackrel{L_r}\longrightarrow\xi .强⼤数定律定义设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 1是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，若存在\Omega_0\in\mathcal{F}使得P(\Omega_0) = 1，且对任意\omega\in\Omega_0有\xi_n(\omega)\to\xi(\omega)，则称\xi_n以概率1收敛或⼏乎必然收敛于\xi，记作\xi_n\to\xi\ \mathrm{a.s.}定义若有\Omega_0\in\mathcal{F}使得P(\Omega_0) = 1，且对任意\omega\in\Omega_0，\{\xi_n(\omega)\}是柯西基本列，即\xi_n(\omega)-\xi_m(\omega)\to 0，则称\xi_n以概率1是柯西基本列。
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们可以帮助我们理解随机事件的规律性。
本文将对这两个定理进行总结，并提供相关参考内容。
一、大数定律：大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了随着随机事件的重复进行，样本均值逐渐趋近于其期望值的现象。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律：弱大数定律又称为辛钦定律，它是在较宽松的条件下得到的。
根据弱大数定律，当独立同分布的随机变量的期望存在时，它们的算术平均值会以很高的概率接近于它们的期望值。
参考内容：- H.W. Robbins, D. Siegmund. A Weak Law of Large Numbers for Partial Sums of Random Variables with Infinite Variance. The Annals of Probability, 21(1), 197-205.- Erdos, P. (1949). On a Family of Polynomial Identities Involving Sums of Random Variables. Bulletin of the American Mathematical Society, 55(6), 538-543.2. 强大数定律：强大数定律是在严格条件下得到的。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列，样本均值会以概率1收敛到其期望值。
参考内容：- Gromov, M. (2014). Large Scale Geometry. European Mathematical Society, 9.- Petrov, V. V. (2012). Sums of Independent Random Variables. Springer Science & Business Media.二、中心极限定理：中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了大量独立随机变量之和的分布近似服从正态分布的现象。
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律与中心极限定理是概率论与数理统计中的两个重要定理，用于描述随机变量序列的性质。
下面我将分别对这两个定理进行总结，并给出相关的参考内容。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，描述了随机变量序列的极限性质。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种。
1. 弱大数定律弱大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值收敛于某个常数，那么这个序列就满足弱大数定律。
弱大数定律的代表是辛钦大数定律。
具体来说，如果一个随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中Xi是相互独立、同样分布的随机变量序列，它们的均值为μ，方差为σ^2。
那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1这意味着当样本数量趋向于无穷大时，样本均值的概率逼近于1，即样本均值趋近于总体均值μ。
2. 强大数定律强大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值以概率1收敛于某个常数，那么这个序列就满足强大数定律。
强大数定律的代表是伯努利大数定律和切比雪夫大数定律。
伯努利大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中每个随机变量取值为0或1，概率为p或1-p，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - p| ≤ ε ) = 1切比雪夫大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其具有相同的均值μ和方差σ^2，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1以上的大数定律说明了随机变量序列的均值具有稳定的性质，当样本数量足够大时，样本均值可以准确地反映总体均值。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论与数理统计中的一个基本定理，描述了独立随机变量和的分布的极限性质。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的概念，它们被广泛应用于概率论、数理统计以及各种实际问题的分析与推导中。
本文将详细介绍大数定律与中心极限定理的概念、原理及应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两个定律。
一、大数定律大数定律是指在随机试验中，当试验次数趋于无穷时，样本均值趋近于总体均值的概率趋于1的现象。
简言之，大数定律说明了在重复独立试验的过程中，随着试验次数增加，样本均值与总体均值之间的差距将会逐渐减小。
大数定律有多种形式，其中最为著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律也称为大数定律的辛钦特例，它是在满足一定条件下，样本均值趋近于总体均值的概率收敛于1。
而强大数定律则对样本均值的收敛速度和稳定性做出了更严格的要求。
在实际应用中，大数定律可以用来解释和预测各种现象。
例如，当进行大规模的舆情调查时，可以通过随机抽样的方式来获取一部分样本，然后利用大数定律来推断出总体的舆情倾向。
此外，在生产过程中对产品质量的控制和检验中，也可以使用大数定律来判断产品的批量质量是否合格。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从于正态分布。
也就是说，无论总体分布是否服从正态分布，在大样本条件下，样本均值的分布都将趋于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它提供了许多统计推断和参数估计的基础。
例如，在对总体均值进行估计时，可以利用样本均值的分布接近于正态分布来构建置信区间，从而对总体均值进行区间估计。
此外，中心极限定理还为假设检验提供了支持。
假设检验是统计推断的一种常用方法，通过对样本数据进行假设检验，可以判断总体参数是否与假设相符。
而中心极限定理则为假设检验提供了理论基础，使得假设检验的结果更加可靠和准确。
综上所述，大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的理论基础。
大数定律说明了随机试验中样本均值与总体均值的关系，而中心极限定理则揭示了样本均值的分布特征。
大数定律与中心极限定理公式
大数定律与中心极限定理公式
大数定律和中心极限定理是概率论和统计学中的重要概念，它们描述了在大量重复实验或观察中随机变量的性质。
大数定律是指当试验次数趋于无穷时，随机变量的相对频率趋于其概率。
具体来说，如果一个随机变量序列{ξn, n ∈ N} 的期望存在且等于某个常数ξ，那么对于任意小的正数ε，当 n 趋于无穷时，P( ξn - ξ ≥ ε ) 趋于 0。
中心极限定理则是指无论随机变量 X1, X2,..., Xn 的分布是什么，只要 n 足
够大，那么它们的和 X1 + X2 + ... + Xn 除以 n 的标准化形式就会近似地
服从标准正态分布 N(0, 1)。
也就是说，对于任意x ∈ R，有limn→∞
P(∣∑i=1nxi−nμ∣≤xσn)=Φ(x)\lim_{n \to \infty}
P(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \leq x) =
\Phi(x)limn→∞P(∣∣∑i=1nxi−nμ∣∣≤xnσ2)=Φ(x)，其中μ 是 X1, X2,...,
Xn 的期望，σ^2 是它们的方差，Φ(x)是标准正态分布 N(0, 1) 的分布函数。
这两个定理在统计学中有着广泛的应用，例如在样本均值的分布、样本比例的分布、回归分析等方面都有重要的应用。
大数定理和中心极限定理的区别和联系
大数定理和中心极限定理的区别和联系大数定理和中心极限定理的区别和联系大数定理：不论n趋向于多少，不论n的什么分布趋向于x，总存在一个与n成正比例的常数C，使得A(x)=sup{frac{x}{n}|xin[0，1]:A(x)leq C}。
中心极限定理：设A是一个无穷数列，如果存在一个a>0，并且满足： 1forall xin A， Ax=c|xleq A|，则称x是A的中心极限点。
定义：如果A是一个实数集合，其上大于等于n的所有中心极限定理都成立，这时候称为大数定理。
大数定理中“不论n趋向于多少，不论n的什么分布趋向于x”这句话的证明1、()对任意n， A(一个集合)， n的什么分布(极限点)存在，且为A的中心极限点。
2、()在大数定理中，关键是证明a>0， a为一个常数。
3、()解决大数定理和中心极限定理的相互转化，证明方法如下：用中心极限定理证大数定理，反过来用大数定理证中心极限定理。
大数定理的关键：寻找极限点，这里的极限点就是中心极限点。
中心极限定理的关键：证明大数定理，即找到大数定理的极限点。
注意事项： 1、要特别注意有两个关键点：一是当n趋向于某一值时，要找出这个点是否是A的中心极限点;二是当n越趋向于无穷时，要想办法证明极限点是否存在。
2、在大数定理的证明过程中，应用到了函数的单调性、极限、中心极限定理，因此在整个证明过程中，一定要掌握好这三者之间的相互关系。
3、掌握好单调性，要注意记住定义域、单调性判别法和大数定理这三者之间的关系，以及定义域和单调性之间的相互转化。
4、掌握好极限，在证明大数定理时，最好结合几何图形来做，这样可以加深理解。
例题：设有集合B满足X_n=lim_{ktoinfty} (X_k)_n=0，则n>0是的充分条件是。
证明：在定义域内找极限点，那么大于0的定义域内的极限点只有一个，所以x=0，所以x是B的极限点，因为： B-A=0，则： A-B=0，则：A-C=0，因为： A+C=0， A+C+D=0，所以： A-C+D=0，则： A-C=0。
大数定律及中心极限定理
定理1 （切比雪夫定理旳特殊情况）设随机变量序
列 X1,X2,…,Xn, ...相互独立，且具有相同旳数学期望
和方差： E(Xk)=，D(Xk)=2 (k=1,2,...) , 则对任意
旳
> 0，有
lim P n
1 n
n
Xi
i 1
1
即
X
1 n
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， 若对任意正数，有
lim
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为: Yn P a
性质：设 Xn P a, Yn P b , g(x, y)在点(a, b)连续,
100
于是, 一盒螺丝钉旳重量为 X Xi i 1
且 E( X i ) 100, D( X i ) 10, n 100
由中心极限定理
100
P{ X 10200} P{ i 1
Xi
10200}
P
100
Xi
i 1
n
n
10200 n n
P
X
1000 100
10200 1000
Φ
k 120 48
Φ
120 48
0.999
k 141.48,
至少供电142千瓦,才干确保以不不大于99.9%旳概率正常工作.
例3 在人寿保险企业里,有3000个同一年龄旳人参加保险.设在
一年内这些人旳死亡率为0.1%, 参加保险旳人在一年旳头一天 交付保险费10元，死亡时，家眷可从保险企业领取2023元． 求 （1）保险企业一年中获利不不大于10000元旳概率；
第五章大数定律与中心极限定理
Xi
1 n
n i 1
E(Xi)
1,
则称{Xn}服从大数定律.
（2）伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例
（3） 伯努利大数定律和切比雪夫大数定律的证明 都用到切比雪夫不等式，而且需要方差存在。
定理 5.1.4. 辛钦大数定律
设X1, X 2 ,..., X n,...是独立同分布的随机变量序列，
意义：只要试验次数够大，发生事件的频率无限接近于 概率，频率稳定性，频率代替概率。
定理 5.1.3. 切比雪夫大数定律
设X1 , X 2 ,, X n ,是一相互独立的随机变 量序列，
它们的数学期望和方差 均存在，且方差有共同 的上界，
即存在常数 K 0，使得 D ( X i ) K , i 1,2, ,
不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于的概率
的估计式.
例 1 E( ) 4, D( ) 0.2, 则由切比雪夫不等式知
P{| 4 | 2} P{| 4 | 1}
,
P{ X
}
2 2
,
P{1 7}
定义 5.1.1设{X n}是一个随机变量序列，a是常数，
若对于任意的 0，有
已知整个系统中至少有84个部件正常工作，系统
工作才正常.试求系统正常工作的概率.
解： 记Y为100个部件中正常工作的部件数，则
Y 近似服从 N(100 0.9,100 0.9 (1 0.9))
即Y 近似服从N (90, 9)
因此，所求概率为
P{Y 84}=1-P{Y<84}=1-P{ Y-90 < 84-90 }
解： 设Xi为第i个螺丝钉的重量，i 1, 2,...,100.
且设X 为一盒螺丝钉的重量.
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理解析大数定律与中心极限定理是概率论中两个重要的定理。
它们揭示了随机现象的一种普遍性规律，对于我们理解和解释实际问题具有重要的参考价值。
大数定律大数定律是概率论中研究随机现象规律性的重要定理之一。
它表明，随着样本数的增加，样本均值趋近于总体均值，即大概率情况下样本的平均值与总体平均值之间的差异会逐渐减小。
这个定律的重要性在于，它提供了一种从有限样本推断总体特征的方法。
大数定律的直观解释如下：假设我们投掷一颗均匀的骰子，每次投掷的结果是随机的。
我们重复投掷100次，并记录每次投掷的点数。
根据大数定律，当投掷次数足够多时，各个点数出现的次数应该接近均匀分布，即每个点数出现的概率接近1/6。
换句话说，大数定律告诉我们，随着投掷次数的增加，样本的平均点数应该接近3.5，即骰子的期望值。
中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理。
它表明在一定条件下，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。
换句话说，中心极限定理告诉我们，当我们将多个随机变量进行加和时，其分布会趋近于正态分布。
中心极限定理的具体形式有多种，其中最为常见的是离散随机变量的中心极限定理和连续随机变量的中心极限定理。
无论是哪种形式，中心极限定理都具有广泛的应用领域。
例如，在统计学中，我们常常借助中心极限定理来进行假设检验、置信区间估计等。
大数定律与中心极限定理的联系尽管大数定律和中心极限定理是两个独立的定理，但它们在解释随机现象时常常相互联系。
大数定律关注的是样本均值与总体均值的关系，探讨样本均值的稳定性。
而中心极限定理则关注的是多个独立随机变量的和服从正态分布的问题，主要研究总体的分布特征。
当样本数足够大时，根据大数定律，样本均值会趋近于总体均值。
而根据中心极限定理，当随机变量的数量足够多时，随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
这两个定理的联系在于，当我们用多个样本均值加和来近似总体时，根据中心极限定理，所得到的和的分布会趋近于正态分布，进而可以应用正态分布的一些性质对总体进行研究和推断。
大数定理与中心极限定理课件
在金融领域，大数定理可以用来估计风 险和收益的散布。通过模拟大量的投资 组合，我们可以得到投资组合的收益率 和风险的近似值，从而为投资决策提供
参考。
在通讯领域，大数定理可以用来估计信 道容量和误码率。通过大量的实验和模 拟，我们可以得到信道容量和误码率的 近似值，从而为通讯系统的设计和优化
• 大数定理是指当实验次数足够多时，频率接近于概率的定理。 也就是说，当实验次数趋于无穷大时，随机事件的频率趋近于 该事件产生的概率。
大数定理的分类
弱大数定理
如果 $X_n$ 是独立同散布的随机变量序列，那么 $\frac{S_n}{n} \rightarrow \mu$（$n \rightarrow \infty$ ）的概率趋近于1。其中 $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，$\mu$ 是 $X_n$ 的数学期望。
大数定理在其他领域的应用
金融领域
大数定理在金融领域中有着广泛的应用。在保险精算中，大数定理可以用来估计风险概率 和损失散布。在投资组公道论中，大数定理可以用来确定投资组合的最优配置。
统计学
大数定理是统计学中的基本原理之一，可以用来估计样本数据的散布特征。在抽样调查中 ，大数定理可以用来确定样本的代表性和可靠性。
计算机科学
大数定理在计算机科学中也有着广泛的应用。在密码学中，大数定理可以用来保证加密算 法的安全性。在数据发掘中，大数定理可以用来确定数据散布的特征和规律。
中心极限定理在其他领域的应用
生物学
中心极限定理可以用来研究生物 群体的遗传特征和演变规律。在 遗传学中，中心极限定理可以用 来确定基因频率的散布特征和演
变趋势。
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中的一个重要定理，它揭示了在一系列独立随机事件中，随着样本量的增大，样本均值将趋于总体均值的规律。
中心极限定理（Central Limit Theorem）则是统计学中的一项基本定理，它说明了在大样本条件下，一组独立随机变量的和具有近似正态分布的特性。
两个定理在统计分析和推断中都起到了重要作用。
大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是概率论中的一个基础定理，它描述了独立随机事件的平均值在大样本条件下会无限接近于事件的真实概率。
根据大数定律，当独立随机事件重复进行时，样本均值将逐渐接近总体均值。
大数定律有两种形式：辛钦大数定律和伯努利大数定律。
辛钦大数定律是指当随机变量的期望存在时，样本均值以概率1收敛于期望值。
也就是说，无论一个事件发生的可能性有多小，只要重复进行足够多的实验，该事件发生的频率将无限接近于其概率。
伯努利大数定律是针对二项分布的情况，它说明了在一系列独立重复的二项试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率将逐渐接近于事件的概率。
大数定律在实际应用中有着广泛的作用。
例如，投资者根据历史数据计算股票收益率的期望，大数定律告诉我们当样本容量足够大时，计算得到的样本均值将逼近真实的期望收益率，从而提供了对未来股票表现的一定参考。
中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是统计学中的一项基本定理，它指出在大样本条件下，一组独立随机变量的和具有近似正态分布的特性。
中心极限定理是统计学中推断的基础，它的重要性在于它使得我们可以利用正态分布的性质进行概率和置信区间的计算。
中心极限定理的表述可以分为两种形式：李雅普诺夫型和林德伯格-李维定理。
李雅普诺夫型定理给出了随机变量和的分布函数收敛到正态分布的条件，其中随机变量可以不是独立同分布的。
林德伯格-李维定理则是对独立同分布随机变量和的和近似服从正态分布的定理。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们分别描述了随机变量序列的极限行为。
在统计学和概率论中，这两个定理被广泛应用于估计和推断，对于理解随机现象的规律具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了独立同分布随机变量序列的均值在概率意义下收敛于其数学期望的现象。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
1. 弱大数定律弱大数定律又称为辛钦大数定律，它是概率论中最早被证明的大数定律之一。
弱大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的数学期望存在且有限，记为$E(X_i)=\mu$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to \infty}P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$，其中$\varepsilon$为任意小的正数。
弱大数定律的直观解释是，随着样本量的增加，样本均值会逐渐接近总体均值，即样本的平均表现会趋向于总体的真实情况。
这一定律在统计学中有着广泛的应用，例如在抽样调查、质量控制等领域中被频繁使用。
2. 强大数定律强大数定律是大数定律的另一种形式，它要求更高，即要求随机变量序列的方差有限。
强大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的方差存在且有限，记为$Var(X_i)=\sigma^2$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to\infty}P(\bar{X}_n=\mu)=1$。
强大数定律相比于弱大数定律更加严格，要求随机变量序列的方差有限，但在实际应用中，强大数定律的条件并不总是成立。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理是概率论中非常重要的两个定理。
它们揭示了随机事件的规律性，对于人们理解概率分布以及进行统计推断都有着重要意义。
首先，让我们来谈谈大数定律。
大数定律是概率论中最基本的定律之一，它描述了当独立随机事件无限重复时，其平均值会趋向于事件的真实概率。
大数定律的核心观点是随着试验次数的增加，样本的平均值会趋向于总体均值。
这个定律在实际中有很多应用，例如舆论调查、市场研究等。
中心极限定理则是描述当随机变量具有一定分布时，其样本均值的分布趋近于正态分布的现象。
中心极限定理分为三种形式：李雅普诺夫定理、林德贝格-列维定理和博雷尔-柯尔莫哥洛夫定理。
其中最常用的是林德贝格-列维定理。
该定理表明，当样本量足够大时，无论总体分布是什么，样本均值的分布都接近于正态分布。
大数定律和中心极限定理的共同点是它们都涉及到随机事件的重复。
大数定律关注的是事件的概率，而中心极限定理关注的是事件的均值。
两者的核心观点都是随着重复次数的增加，样本的统计特征会趋向于总体的特征。
这两个定理在概率论和统计学中的应用非常广泛。
它们为我们研究随机事件提供了基本的理论支持。
在实际应用中，我们经常使用大数定律和中心极限定理来进行参数估计、假设检验以及信号处理等方面的工作。
总之，大数定律和中心极限定理是概率论中两个非常重要的定理。
它们为我们理解随机事件提供了重要的理论基础。
无论是从理论上还是实际应用中，大数定律和中心极限定理都发挥着不可替代的作用。
对于概率分布和统计推断的研究，我们需要深入理解和应用这两个定理。
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标准正态分布的分布函 数.
从而知当n充分大时，
n
Xk n
k
近似服从标准正态分布
N (0,1)
n
n
X k 近似服从正态分布 N (n, n 2 )
k 1
例1 一加法器同时收到20 个噪声电压Vk (k 1,2, 20), 设它们是相互独立的随机变量,
20
且都在区间(0,10) 上服从均匀分布, 记 V Vk , k 1
§4.1 大数定律
一、切比雪夫不等式 (P107)
若 r .v X 的期望和方差存在，则对任意0，
有
P{|
X
E(
X
) |
}
D( X
) ;
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。
它有以下等价的形式：
P{|
X
E(
X
) |
}
D(
X
)
.
二、依概率收敛
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给 >0, 使得
E( Xk ) p, D( Xk ) p(1 p) (k 1,2, , n),
根据定理4.6得
lim P n
n np
np(1 p)
x
lim n
P
n
Xk
k 1
np(1
np p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
定理4.8表明:
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
D( Yn
)
n
D(
k
Xk
)
n
P {| Yn
|
}
n
.
lim
n
P{| Yn
|
}
2.伯努里大数定律
设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A
发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频
率，则
p
fn p n
证明:设
第i次试验事件A发生
X i 第i次试验事件A不发生
则
E( X i ) p, D( X i ) p( p )
100 20 100 20
12
12
P{V 20 5 0.387} 1 P{ V 100 0.387}
100 20
100 20
1
12
0.387
1
t2
12
e 2 dt 1 (0.387) 0.348.
2π
定理4.8(德莫佛－拉普拉斯定理)
设随机变量n (n 1,2, ) 服从参数为n, p
(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意x, 恒有
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
n
证明: 根据第三章第二节例题可知 n Xk ,
k 1
其中
X1,
X2 ,
,
X
是相互独
n
立的、服从同一
(0－1)分布的随机变量, 分布律为
P{ Xk i} pi (1 p)1i , i 0, 1.
P{29500
X
30500}
30500
k 29501
90k000
1 3
k
2 3
90000k
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P{29500 X 30500}
P
29500
np(1
np p)
X np np(1 p)
30500 np(1
np
p)
30500 np
np(1 p) 29500 np np (1 p )
1.切比雪夫大数定律
设{Xk , k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且
有相同的数学期望，及方差2>0，则
Yn
n
n k
Xk
P
即若任给>0, 使得
lim
n
P{| Yn
|
}
证明:由切比雪夫不等式
P {| Yn
E ( Yn
) |
}
D( Yn
)
.
这里
E( Yn
)
n
n k
E(
Xk
)
故
n
由切比雪夫大数定理
n
Xi P
fn
i
n
p
3. 辛钦大数定律
若{Xk , k=1,2,...}为独立同分布随机变量序列,
E(Xk ) = <, k=1, 2, … 则
Yn
n
n k
Xk
P
推论:若{Xi , i=1,2,...}为独立同分布随机变量序列, E(X1k) <, 则
n
n i
X
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
中心极限定理的意义
中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪 的冲击, 纵摇角大于 3º的概率为1/3, 若船舶遭受 了90000次波浪冲击, 问其中有29500～30500次纵 摇角大于 3º的概率是多少？
求 P{V 105}的近似值.
解: E(Vk ) 5,
D(Vk
)
100 12
(k
1,2,
,20).
由定理4.6, 随机变量 Z 近似服从正态分布 N(0,1),
20
其中
Z
Vk
k 1
100
20 5 20
V 20 5 100 20
12
12
P{V 105} P{V 20 5 105 20 5}
标准化变量Yn
n k 1
Xk D
E n X k k1 n X k
n k 1
Xk n
n
k1
的分布函数 Fn( x) 对于任意x 满足
lim
n
Fn
(
x
)
n
lim
P
k
1
n
Xk n n
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
定理4.6表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于
解 将船舶每遭受一次海
浪的冲击看作一次试验,
并假设各次试验是独立的,
在90000次波浪冲击中纵摇角大于 3º的次数为X,
则X是一个随机变量, 且X ~ B(90000, 1 ).
3
分布律为 P{ X k} 90000 1 k 2 90000k k 3 3
k 1, ,90000.
所求概率为
k i
P
E(
X
k
)
第4.2节 中心极限定理
一、基本定理 二、典型例题 三、小结
一、基本定理
定理4.6（林德贝格-列维中心极限定理）
设随机变量 X1, X2 , , Xn , 相互独立, 服从
同一分布, 且具有数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( Xk ) 2 0 (k 1,2, ), 则随机变量之和的
lim
n
P{|
Xn
X
|
}
则称{Xn}依概率收敛于 X . 可记为
X n P X .
如
P
Xn a
意思是:当 n 时,Xn落在
( a ,a ) 内的概率越来越大.n ,n n
Xn
a a a
而 X n a 意思是: ,n ,当 n n | X n a |
三、几个常用的大数定律