大数定理及中心极限定理

(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意x, 恒有
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
n
证明: 根据第三章第二节例题可知 n Xk ,
k 1
其中
X1,
X2 ,
,
X
是相互独
n
立的、服从同一
(0－1)分布的随机变量, 分布律为
P{ Xk i} pi (1 p)1i , i 0, 1.
标准正态分布的分布函 数.
从而知当n充分大时，
n
Xk n
k
近似服从标准正态分布
N (0,1)
n
n
X k 近似服从正态分布 N (n, n 2 )
k 1
例1 一加法器同时收到20 个噪声电压Vk (k 1,2, 20), 设它们是相互独立的随机变量,
20
且都在区间(0,10) 上服从均匀分布, 记 V Vk , k 1
D( Yn
)
n
D(
k
Xk
)
n
P {| Yn
|
}
n
.
lim
n
P{| Yn
|
}
2.伯努里大数定律
设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A
发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频
率，则
p
fn p n
证明:设
第i次试验事件A发生
X i 第i次试验事件A不发生
则
E( X i ) p, D( X i ) p( p )
解 将船舶每遭受一次海
浪的冲击看作一次试验,
并假设各次试验是独立的,
在90000次波浪冲击中纵摇角大于 3º的次数为X,
则X是一个随机变量, 且X ~ B(90000, 1 ).
3
分布律为 P{ X k} 90000 1 k 2 90000k k 3 3
k 1, ,90000.
所求概率为
由切比雪夫大数定理
n
Xi P
fn
i
n
p
3. 辛钦大数定律
若{Xk , k=1,2,...}为独立同分布随机变量序列,
E(Xk ) = <, k=1, 2, … 则
Yn
n
n k
Xk
P
推论:若{Xi , i=1,2,...}为独立同分布随机变量序列, E(X1k) <, 则
n
n i
X
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
中心极限定理的意义
中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪 的冲击, 纵摇角大于 3º的概率为1/3, 若船舶遭受 了90000次波浪冲击, 问其中有29500～30500次纵 摇角大于 3º的概率是多少？
lim
n
P{|
Xn
X
|
}
则称{Xn}依概率收敛于 X . 可记为
X n P X .
如
P
Xn a
意思是:当 n 时,Xn落在
( a ,a ) 内的概率越来越大.n ,n n
Xn
a a a
而 X n a 意思是: ,n ,当 n n | X n a |
三、几个常用的大数定律
标准化变量Yn
n k 1
Xk D
E n X k k1 n X k
n k 1
Xk n
n
k1
的分布函数 Fn( x) 对于任意x 满足
lim
n
Fn
(
x
)
n
lim
P
k
1
n
Xk n n
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
定理4.6表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于
求 P{V 105}的近似值.
解: E(Vk ) 5,
D(Vk
)
100 12
(k
1,2,
,20).
由定理4.6, 随机变量 Z 近似服从正态分布 N(0,1),
20
其中
Z
Vk
k 1
100
20 5 20
V 20 5 100 20
12
12
P{V 105} P{V 20 5 105 20 5}
1.切比雪夫大数定律
设{Xk , k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且
有相同的数学期望，及方差2>0，则
Yn
n
n k
Xk
P
即若任给>0, 使得
lim
n
P{| Yn
|
}
证明:由切比雪夫不等式
P {| Yn
E ( Yn
) |
}
D( Yn
)
.
这里
E( Yn
)
n
n k
E(
Xk
)
故
n
100 20 100 20
12
12
P{V 20 5 0.387} 1 P{ V 100 0.387}
100 20
100 20
1
12
0.387
1
t2
12
e 2 dt 1 (0.387) 0.348.
2π
定理4.8(德莫佛－拉普拉斯定理)
设随机变量n (n 1,2, ) 服从参数为n, p
§4.1 大数定律
一、切比雪夫不等式 (P107)
若 r .v X 的期望和方差存在，则对任意0，
有
P{|
X
E(
X
) |
}
D( X
) ;
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。
它有以下等价的形式：
P{|
X
E(
X
) |
}
D(
X
)
.
二、依概率收敛
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给 >0, 使得
E( Xk ) p, D( Xk ) p(1 p) (k 1,2, , n),
根据定理4.6得
lim P n
n np
np(1 p)
x
lim n
P
n
Xk
k 1
np(1
np p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
定理4.8表明:
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
k i
P百度文库
E(
X
k
)
第4.2节 中心极限定理
一、基本定理 二、典型例题 三、小结
一、基本定理
定理4.6（林德贝格-列维中心极限定理）
设随机变量 X1, X2 , , Xn , 相互独立, 服从
同一分布, 且具有数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( Xk ) 2 0 (k 1,2, ), 则随机变量之和的
P{29500
X
30500}
30500
k 29501
90k000
1 3
k
2 3
90000k
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P{29500 X 30500}
P
29500
np(1
np p)
X np np(1 p)
30500 np(1
np
p)
30500 np
np(1 p) 29500 np np (1 p )