线性空间典型题
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第5章 线性空间与欧氏空间
第一节 线性空间的基本概念
典型例题（A ）
例1: 检验下列集合对于给定的加法和数乘运算是否构成实数域R 上的线性空间：
(1)平面上不平行与某一固定向量的全部向量，关于通常的向量的加法及数乘运算；
（2）全体2维实向量所组成的集合V ,关于通常的向量的加法及如下定义的数乘运算：)0,(),(ka b a k = ；
（3）集合V 同（2）
，加法及数乘运算如下定义 )()(),(),(2121112211a a b b a a b a b a ++⊕+=⊕
)2
)1(,(),(2
1
1111a k k kb ka b a k -+=
分析：判断一个集合是否是一个线性空间，首先要判断它对所定义加法和数 乘运算是否是封闭的，其次需要判断它是否满足8条运算规律.
解：（1）否. 例如，令αγβα都和和）（)2/1,0()0,1(,1,2===不平行，但是，γ
β+和α平行，这说明该集合对向量的加法运算不封闭，因此，该集合不是线性空间.
（2）否. 因为其数乘运算不满足运算规则5。例如，12,1(2,0)2,1=≠ （）（）。
（3）是，显然V 对加法和数乘运算是封闭的，同样可以验证8条运算规则也是满足的，因此它是线性空间.
例2： 在22⨯F 中，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3102A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00111A ，⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=00112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01003A ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=10004A 下的坐标. 解：设所求的坐标为T 4321),,,(x x x x =x ， 则有 44332211A x A x A x A x A +++=
即 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-43212
13102x x x x x x 由矩阵相等的条件，得方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=-==+=+-3
x 1 0 2
432
121x x x x x 解得： 3,1,1,14321=-==-=x x x x ， 故所求坐标为： )3 ,1 ,1 ,1(--=x .
例3：22,V R W ⨯=是形如a
a b a b b +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的2阶实方阵，检验W 是否构成V 的子空间.
解：因为对于W 中任意两元素⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d d c d c c
B b b a b a a A ,及其任意实数k ，都有
W d b d b c a d b c a c
a d d c d c c
b b a b a a
B A ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+ W kb kb ka kb ka ka b b a b a a
k kA ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++= 即W 关于加法和数乘封闭；又W 中任意元素⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=b b
a b a a
A 可以写成： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110011100b a b b b a a a R b a ∈, 令矩阵线性无关且212121,,, ,1110,0111A A W A A A A ∈⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，故21,A A 为W 的一组 基，且2div =W ，因此W 是V 的子空间.
例4：设321ααα，，是3R 的一组基，求从基3213
1
,21,ααα到基
133221,,αααααα+++的过渡矩阵.
解：设从基3213
1
,21,ααα到基133221,,αααααα+++的过渡矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=3332
312322
211312
11a a a a a a a a a A ， 则 []11
121312233112321
222331
32
3311
,,[,,]23
a a a a a a a a a ααααααααα⎡⎤
⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即 ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
++=+++=+++=+333223113133322221123233122111121
312131213
121αααααααααααααααa a a a a a a a a
得：3,3,0;0,2,2;1,0,1333231232211131211=========a a a a a a a a a ，
因此所求过渡矩阵为 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=330022101A .
典型例题（B ）
例1 在22⨯F 中，所有的2阶对称矩阵所成的集合W 构成22⨯F 的一个子空
间，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=12211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=31122A ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=51143A 是W 的一个基. 分析:只需证明321,,A A A 线性无关，且W 的维数是3. 证明:首先证明321,,A A A 线性无关. 利用定义，设有一组常数321,,k k k ，使得
O =++332211A k A k A k
即 ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00005114311212213211k k k A