几何作图三大难题与
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在监狱里，安纳萨格拉斯对自己的 遭遇愤愤不平，夜不能眠。
夜深了，月光透过正方形的铁窗照进 牢房，安纳萨格拉斯不断地变换观察圆月 的方位，一会儿看见圆月比方窗大，一会 儿看见方窗比圆月大。最后他说：
“算了，就算两个图形的面积一样大 好了。”
=
于是，他把 求作一个正方形，其面积等于已知圆的面积 作为一个问题进行研究。
遗留难题： 化圆为方 倍立方体 三等分角
1. “化圆为方”——一个囚徒的冥想
分明是一 个大火球， 哪里是什 么神呀？
公元前5世纪， 古希腊数学家、哲 学家安纳萨格拉斯 （Anaxagoras, 约公 元前500—428年） 在研究天体过程中 发现，太阳是个大 火球，而不是所谓 的阿波罗神。
由于这一发现有背宗教教意，安纳 萨格拉斯被控犯下“亵渎神灵罪”而 被投入监狱，并判处死刑。
几何作图三大难题
化圆 为方
一家人
倍立源自文库体
三等 分角
（公元前5世纪——1882年）
=
×2=
zwj@szu.edu.cn
诡辩学派与几何作图
• 几何学起源：古代中 国和古埃及。
欧几里得
• 古希腊几何：公元前 七世纪， “希腊七 贤”之一的“希腊科 学之父”泰勒斯到埃 及经商，掌握了埃及 几何并传回希腊。
三大作图问题是不可能的
（1）“倍立方体” ，要作出数值 3 2， “三等分角”，要作出是三次方程 4x3 3的x 解a。 01837年万锲尔证明，这 两个问题都是用直尺和圆规不能作出 的。
这就是著名的“三等分任意角”问 题
求作一个角， 等于已知角的三分之一
这个问题流传下来，直到1837年才 由万锲尔给出否定的答案。
直尺和圆规能做什么？
作图工具——直尺和圆规能做什么？
直观地看： （1）通过两点作直线； （2）以已知点为圆心，已知线段为半径作圆； （3）定出两条已知非平行直线的交点； （4）定出两个已知圆的交点； （5）定出已知直线与已知圆的交点。
深入地看： 17世纪数学家笛卡尔创 立的解析几何知识，将几何问题转化为 代数问题研究，从而也为解决三大难题 提供了有效的工具。
笛卡尔
1837年数学家万锲尔（P.L. Wantzel, 1814--1848）注意到：
直线方程是（一次）线性的，而圆 的方程是二次的。通过上述五种手段所 能做出的交点问题，转化为求一次与二 次方程组的解的问题。
“他要求你们做一个体积是原来祭 坛两倍的祭坛，你们却造出了一个体积 为原祭坛8倍的祭坛，分明是在抗拒他 的旨意，阿波罗神发怒了。”
居民们明白了问题所在，但是， 他们绞尽脑汁，却也始终找不到建造 的方法。他们请教当时的有名数学家， 数学家也毫无办法，这个问题就作为 一个几何难题流传了下来。
这就是著名的“倍立方体问题”， 又叫“第罗问题”：
=
这就是化圆为方问题
求作一个正方形， 其面积等于已知圆的面积
该问题直到1882年才被德国数学家林德曼 （C.L.F. Lindemann，1852——1939）证明 为不可能。
2. 瘟疫、祭坛与“倍立方体问题”
公元前429年，希腊首府雅典发生了一 场大的瘟疫，居民死去四分之一，希腊的 统治者裴里克里斯也因此而死。雅典人派 代表到第罗（Delos）的太阳神庙祈求阿波 罗神，询问如何才能免除灾难。一个巫师 转达阿波罗神的谕示：由于阿波罗神神殿 前的祭坛太小，阿波罗神觉得人们对他不 够虔诚，才降下这场瘟疫，只有将这个祭 坛体积放大成两倍，才能免除灾难。
求作一个正方体，其体积等于已 知正方体体积的两倍
该 问 题 直 到 1837 年 才 由 万 锲 尔 （P.L. Wantzel, 1814--1848）给出否定 的答案。
3. 公主的别墅与“三等分角问题” 公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山
大城。亚历山大城郊有一片圆形的别墅区， 圆心处是一位美丽的公主的居室。别墅区 中间有一条东西方向的河流将别墅区划分 两半，河流上建有一座小桥，别墅区的南 北围墙各修建一个大门。这片别墅建造的 非常特别，两大门与小桥恰好在一条直线 上，而且从北门到小桥与从北门到公主的 居室距离相等。
居民们觉得神的要求并不难做到。 因为他们认为，祭坛是立方体形状的， 只要将原祭坛的每条边长延长一倍，新 的祭坛体积就是原祭坛体积的两倍了。
×2=
于是，人们按照这个方案建造了一 个大祭坛放在阿波罗神的神殿前，但是， 这样一来，瘟疫不但没有停止，反而更 加流行。居民们再次来到神庙，讲明缘 由，巫师说道：
北门N
小桥P 南门S
河流
H公主 居室
要确定北门和小桥的位置，关键是算出夹角
。
记a 为南门S与居室H连线SH与河流之间的夹角，则通过
几何知识可以算出 NSH
北门N
NSH 2a
3
小桥P
a
?
南门S
河流
H公主 居室
这相当于
求作一个角，等于已知角的三分之 一
也就是三等分一个任意 角的问题。工匠们试图用 尺规作图法定出桥的位置， 却始终未能成功。
过了几年，公主的妹妹小公主长大了， 国王也要为小公主修建一片别墅，小公主提 出她的别墅要修建的向姐姐的一样，有河、 有桥、有南门、北门，国王答应了。
北门N
小桥P 南门S
河流
H公主 居室
小公主的别墅很快就动工了，但是，当建好 南门，确定北门和小桥的位置时，却犯了难。如 何才能保证北门、小桥、南门在一条直线上，并 且，北门到居室和小桥的距离相等呢？
简单的代数知识告诉我们：
通过直尺与圆规所能做出 的只能是已知线段（长度） 的和、差、积、商以及开平 方的有限次组合。
三大作图问题的不可能性
三大作图问题要作什么？
（1）“倍立方体” ，要作出数值 3 2
（2）“化圆为方” ，要作出数
值 （3）“三等分角”，如果记a = cosA, 要作
出角度A/3, 也必作出相应的余弦值x = cos(A/3), 由三倍角公式，此值x是方程 的解。4x3 3x a 0
诡辩（智人）学派与几何作图问题：
公元前六世纪到五世纪，以芝诺 （Zenon, 约公元前490---前429）为领 袖的诡辩学派，以注重逻辑性而著称， 他们主要研究几何作图问题。
为何研究作图问题
主要目的: 培养与锻炼人的逻辑思维能力，提高智力.
作图方式： 限定作图工具：直尺（无刻度）和圆规 限定作图时间：必须在有限步内完成
夜深了，月光透过正方形的铁窗照进 牢房，安纳萨格拉斯不断地变换观察圆月 的方位，一会儿看见圆月比方窗大，一会 儿看见方窗比圆月大。最后他说：
“算了，就算两个图形的面积一样大 好了。”
=
于是，他把 求作一个正方形，其面积等于已知圆的面积 作为一个问题进行研究。
遗留难题： 化圆为方 倍立方体 三等分角
1. “化圆为方”——一个囚徒的冥想
分明是一 个大火球， 哪里是什 么神呀？
公元前5世纪， 古希腊数学家、哲 学家安纳萨格拉斯 （Anaxagoras, 约公 元前500—428年） 在研究天体过程中 发现，太阳是个大 火球，而不是所谓 的阿波罗神。
由于这一发现有背宗教教意，安纳 萨格拉斯被控犯下“亵渎神灵罪”而 被投入监狱，并判处死刑。
几何作图三大难题
化圆 为方
一家人
倍立源自文库体
三等 分角
（公元前5世纪——1882年）
=
×2=
zwj@szu.edu.cn
诡辩学派与几何作图
• 几何学起源：古代中 国和古埃及。
欧几里得
• 古希腊几何：公元前 七世纪， “希腊七 贤”之一的“希腊科 学之父”泰勒斯到埃 及经商，掌握了埃及 几何并传回希腊。
三大作图问题是不可能的
（1）“倍立方体” ，要作出数值 3 2， “三等分角”，要作出是三次方程 4x3 3的x 解a。 01837年万锲尔证明，这 两个问题都是用直尺和圆规不能作出 的。
这就是著名的“三等分任意角”问 题
求作一个角， 等于已知角的三分之一
这个问题流传下来，直到1837年才 由万锲尔给出否定的答案。
直尺和圆规能做什么？
作图工具——直尺和圆规能做什么？
直观地看： （1）通过两点作直线； （2）以已知点为圆心，已知线段为半径作圆； （3）定出两条已知非平行直线的交点； （4）定出两个已知圆的交点； （5）定出已知直线与已知圆的交点。
深入地看： 17世纪数学家笛卡尔创 立的解析几何知识，将几何问题转化为 代数问题研究，从而也为解决三大难题 提供了有效的工具。
笛卡尔
1837年数学家万锲尔（P.L. Wantzel, 1814--1848）注意到：
直线方程是（一次）线性的，而圆 的方程是二次的。通过上述五种手段所 能做出的交点问题，转化为求一次与二 次方程组的解的问题。
“他要求你们做一个体积是原来祭 坛两倍的祭坛，你们却造出了一个体积 为原祭坛8倍的祭坛，分明是在抗拒他 的旨意，阿波罗神发怒了。”
居民们明白了问题所在，但是， 他们绞尽脑汁，却也始终找不到建造 的方法。他们请教当时的有名数学家， 数学家也毫无办法，这个问题就作为 一个几何难题流传了下来。
这就是著名的“倍立方体问题”， 又叫“第罗问题”：
=
这就是化圆为方问题
求作一个正方形， 其面积等于已知圆的面积
该问题直到1882年才被德国数学家林德曼 （C.L.F. Lindemann，1852——1939）证明 为不可能。
2. 瘟疫、祭坛与“倍立方体问题”
公元前429年，希腊首府雅典发生了一 场大的瘟疫，居民死去四分之一，希腊的 统治者裴里克里斯也因此而死。雅典人派 代表到第罗（Delos）的太阳神庙祈求阿波 罗神，询问如何才能免除灾难。一个巫师 转达阿波罗神的谕示：由于阿波罗神神殿 前的祭坛太小，阿波罗神觉得人们对他不 够虔诚，才降下这场瘟疫，只有将这个祭 坛体积放大成两倍，才能免除灾难。
求作一个正方体，其体积等于已 知正方体体积的两倍
该 问 题 直 到 1837 年 才 由 万 锲 尔 （P.L. Wantzel, 1814--1848）给出否定 的答案。
3. 公主的别墅与“三等分角问题” 公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山
大城。亚历山大城郊有一片圆形的别墅区， 圆心处是一位美丽的公主的居室。别墅区 中间有一条东西方向的河流将别墅区划分 两半，河流上建有一座小桥，别墅区的南 北围墙各修建一个大门。这片别墅建造的 非常特别，两大门与小桥恰好在一条直线 上，而且从北门到小桥与从北门到公主的 居室距离相等。
居民们觉得神的要求并不难做到。 因为他们认为，祭坛是立方体形状的， 只要将原祭坛的每条边长延长一倍，新 的祭坛体积就是原祭坛体积的两倍了。
×2=
于是，人们按照这个方案建造了一 个大祭坛放在阿波罗神的神殿前，但是， 这样一来，瘟疫不但没有停止，反而更 加流行。居民们再次来到神庙，讲明缘 由，巫师说道：
北门N
小桥P 南门S
河流
H公主 居室
要确定北门和小桥的位置，关键是算出夹角
。
记a 为南门S与居室H连线SH与河流之间的夹角，则通过
几何知识可以算出 NSH
北门N
NSH 2a
3
小桥P
a
?
南门S
河流
H公主 居室
这相当于
求作一个角，等于已知角的三分之 一
也就是三等分一个任意 角的问题。工匠们试图用 尺规作图法定出桥的位置， 却始终未能成功。
过了几年，公主的妹妹小公主长大了， 国王也要为小公主修建一片别墅，小公主提 出她的别墅要修建的向姐姐的一样，有河、 有桥、有南门、北门，国王答应了。
北门N
小桥P 南门S
河流
H公主 居室
小公主的别墅很快就动工了，但是，当建好 南门，确定北门和小桥的位置时，却犯了难。如 何才能保证北门、小桥、南门在一条直线上，并 且，北门到居室和小桥的距离相等呢？
简单的代数知识告诉我们：
通过直尺与圆规所能做出 的只能是已知线段（长度） 的和、差、积、商以及开平 方的有限次组合。
三大作图问题的不可能性
三大作图问题要作什么？
（1）“倍立方体” ，要作出数值 3 2
（2）“化圆为方” ，要作出数
值 （3）“三等分角”，如果记a = cosA, 要作
出角度A/3, 也必作出相应的余弦值x = cos(A/3), 由三倍角公式，此值x是方程 的解。4x3 3x a 0
诡辩（智人）学派与几何作图问题：
公元前六世纪到五世纪，以芝诺 （Zenon, 约公元前490---前429）为领 袖的诡辩学派，以注重逻辑性而著称， 他们主要研究几何作图问题。
为何研究作图问题
主要目的: 培养与锻炼人的逻辑思维能力，提高智力.
作图方式： 限定作图工具：直尺（无刻度）和圆规 限定作图时间：必须在有限步内完成