第7章 多目标优化和离散变量优化概述

7.1.5功效系数法——几何平均法
(4)功效系数的确定方法：
ci 直线法 1 ci 1 ci 1
f小

f大 fi
f小
f大 fi
f小
f适1
f适2 f大 fi
功效函数的种类：
fi越大，ci越大；fi越小,ci越小。适用于要求目标函数越大越好 fi越小，ci越大；fi越大,ci越小。适用于要求目标函数越小越好 当fi取的值靠近预先确定的适当值时，ci就越大；否则ci越小。
3
a b c
f1 ( X) 20 c1 0.64 f 2 ( X) 14 c2 0.82
c 3 c1c 2c 3 3 0.64 0.82 1 0.81 b 2 c 2 (a 1)2 b 2 c 2 (a 1)2 f1 ( X) arccos arccos 60 2bc 2bc
(a 1)2 c 2 b 2 (a 1)2 c 2 b 2 f 2 ( X) arccos arccos 2c(a 1) 2c(a 1)
max
c1
c2
c3
1
0.64 0° 20° 55°
1
0.82
1
f2
59°60°61°
f3
0° 14°17°
f3
7.1.5功效系数法——几何平均法
l2
B A
C
a
B A
C
l1 l4
l3
D
1 c
b
D
7.1.5功效系数法——几何平均法
(4)功效系数的确定方法：
例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角△ψ =60°，有较大的 急回性能，且机构传力性能最好。 目标函数：摇杆摆角△ψ =60° f1 ( X) 较大的急回性能 →极位夹角尽可能大 f ( X) 2 传力性能最好 →最大压力角尽可能小 f ( X) 3
7.1.2多目标优化问题解的特性
1.非劣解
是指若有m个目标fi(X0)(i=1,2,,m)，当要求(m-1)个目标值不变坏时， 找不到一个X，使得另一个目标函数值fi(X)比fi(X*)更好，则将此X*作 为非劣解，关键是要选择某种形式的折中。
2.例 V min F ( X ) min f1 ( X ), f 2 ( X )]T [
(1)基wenku.baidu.com思想：
抓住主要目标，兼顾其它要求。
(2)方法：


从多目标中选择一个目标作为主要目标 其它目标满足一定要求，转化为约束条件。
V min F ( X ) min[ f1 ( X ), f 2 ( X ), , f l ( X )]T
X D
fk(X)最重要
min f
X D
(k )
60
max
当 c2 a2 b2 1
f 3 ( X)
min
当 c2 a2 b2 1
a 2 b 2 (c 1)2 arccos 2ab 2
7.1.5功效系数法——几何平均法
(4)功效系数的确定方法：
取评价函数: f1(X)为摆角，希望越接近60°越好 f2(X)为极位夹角，希望越大越好，取值范围定为17 ° ~0 f3(X)为最大压力角，希望越小越好，取值范围定为0~55 °
第七章 多目标优化和离散变量优化概述
7.1 多目标优化方法
7.1.1多目标优化设计的数学模型
例1：车床齿轮变速箱的设计要求： 使材料消耗减少，成本降低→各齿轮体积总和尽可能小 f1 ( X) 使变速箱结构紧凑 →各传动轴中心距总和尽可能小 f ( X) 2 使变速箱运转噪声小 →齿轮加工侧隙尽可能小 f 3 ( X)

指在规定的变量界限内，只能从有限个离散值或整数值中取值 的一种变量。有等间隔的离散变量和非均匀间隔的离散变量。
7.2.2 离散变量优化问题的凑整解法
(1)特点：按连续变量法求X*→圆整法求整型或离散量的优化解。 (2)方法： 实型最优点X*→[X*](X*的整数部分)和[X*]+1→不同组合
[x2*]+1
V min F n ( X) min[ f1 ( X), f 2 ( X), f 3 ( X)]T
s .t .
gu ( X) 0 h v ( X) 0
XR
u1~m v 1~p
例2：动压轴承的工作能力和寿命最优设计。 工作能力 →足够的供油量 →润滑油流量 max 温升 →油膜温升 min
minf ( X) min jf j ( X)} {
XD XD t j1
(3)说明：

权因子表明了各分目标的相对重要程度 权因子的选择方法：
权因子
(i)容限值法：
i
1 [f i ( X)]2
，其中
f i ( X )
i i 2
目的：是各分目标趋于数量级上的一致。
The end!
k
(X)
X D)
D( k ) { X | f i min f i ( X ) f i max }
(i 1,2,, k 1, k 1,l
7.2 离散变量问题的优化方法
7.2.1 离散变量优化问题的基本概念
在工程优化问题中，经常会遇到非连续变量的一些参数。 它们是整数变量或离散变量。 离散变量
60
max
当 c2 a2 b2 1
f 3 ( X)
min
当 c2 a2 b2 1
a 2 b 2 (c 1)2 arccos 2ab 2
7.1.5功效系数法——几何平均法
(4)功效系数的确定方法：
取评价函数: f 3 ( X) 60 c 3 1 f1(X)为摆角，希望越接近60°越好 c1 f2(X)为极位夹角，希望越大越好，取值范围定为17 ° ~0 c 2 f3(X)为最大压力角，希望越小越好，取值范围定为0~55 ° c
b 2 c 2 (a 1)2 b 2 c 2 (a 1)2 f1 ( X) arccos arccos 2bc 2bc
(a 1)2 c 2 b 2 (a 1)2 c 2 b 2 f 2 ( X) arccos arccos 2c(a 1) 2c(a 1) a 2 b 2 (c 1)2 arccos 2 2ab
其所对应的函数值 令两个分目标在全 区域都是最小值
f1 ( X ) x 2 2 x
f2 ( X ) x
任何一个方案都不能说很优
(1)基本思想：
7.1.3线性加权法
将多目标函数组成一综合目标函数
(2)方法： V min XFD( X ) min[ f1 ( X ), f 2 ( X ), , f l ( X )]T
7.1.5功效系数法——几何平均法
(4)功效系数的确定方法：
例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角△ψ =60°，有较大的 急回性能，且机构传力性能最好。 分析：摇杆摆角△ψ =60° f1 ( X) 较大的急回性能 →极位夹角尽可能大 f ( X) 2 传力性能最好 →最大压力角尽可能小 f ( X) 3
f2 ( X ) x f1 ( X ) x 2 2 x D { x | 0 x 2}
X R
n
a a’ 1
b
2
说明：
(1)当 D { x | 0 x 1} 时， X=[1，1]T，是绝对最优解； 其余点是劣解。 全区域中都能找到 (2)当 D { x | 0 x 2} 时， 全部分目标函数值 都比它小的点 X∈[1，2]中任何点都 是非劣解；
b 2 c 2 (a 1)2 b 2 c 2 (a 1)2 f1 ( X) arccos arccos 2bc 2bc
(a 1)2 c 2 b 2 (a 1)2 c 2 b 2 f 2 ( X) arccos arccos 2c(a 1) 2c(a 1) a 2 b 2 (c 1)2 arccos 2 2ab
γ C2 2 l B2 A
C1
2
l1
B1
γ1 l 3
D
l4
7.1.5功效系数法——几何平均法
(4)功效系数的确定方法：
例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角△ψ =60°，有较大的 急回性能，且机构传力性能最好。 分析：摇杆摆角△ψ =60° f1 ( X) 较大的急回性能 →极位夹角尽可能大 f ( X) 2 传力性能最好 →最大压力角尽可能小 f ( X) 3
(5)工作过程



取设计方案（迭代计算点） 计算分目标函数值 计算分功效系数 计算综合功效系数
(6)优点：



可直接按所要求的性能指标来评价函数，非常直观。 只要有一个性能指标不能接受时，则相应的功效系数为0，从 而使评价函数c也为0。 可以处理目标函数值既不希望太大，又不希望太小，而希望取 某一适当值的情况。
(7)缺点：
事先要求明确目标函数的取值范围。对某些问题，若难以确定 取值范围，此法就不适用。
7.1.6 乘除法
(1)适用条件：
多目标混合优化问题。
(2)方法： V-
minF ' ( X ) maxF ' ' ( X )
XD
F ' ( X ) [ f1 ( X ),, f r ( X )]
(ii)分目标函数值最优化法： j 1 / f j *
f j * minf j ( X) XD 目的：反映了各分目标函数离开各自最优值的程度。
7.1.5功效系数法——几何平均法
(1)适用条件：
各单目标要求不全相同，有的要求极小值，有的要求极大 值，有的则要求有一个合适的值。
(2)方法：
[x2*] [x1*] X*周围的整型点群 [x1*]+1 X*周围的整型点群 均不在可行域内
离X*较远处整型点为 优化点
7.2.3 离散变量优化问题的网格解法
1、方法： 以一定的变量增量为间隔，把设计空间划分为若干个网格，计算 在域内的每个网格结点上的目标函数值，比较其大小，再以目标 函数值最小的节点为中心，在其附近空间划分更小的网格，在计 算在域内各节点上的目标函数值。重复进行下去，直到网格小到 满足精度为止。 2、特点： 此法对低维变量较有效，对多维变量因其要计算的网格节点数目 成指数幂增加，故很少使用。
F ' ' ( X ) [ f r 1 ( X ),, f m ( X )]
f 1( X ) f r ( X ) min f r 1 ( X ) f m ( X )
(3)说明： 要求各分目标在可行域上均取正值。 各分目标，尤其是求最大值的函数中不能有为0的。
7.1.7 主要目标法
引入功效函数
ci Fi ( f i )
对函数取得的值进行量的评价
c 1 方案最满意
构成评价函数
c m c1c2 cm
c 0 方案不能接受
c
越大越好
(3)功效函数的种类：

fi越大，ci越大；fi越小,ci越小。适用于要求目标函数越大越好 fi越小，ci越大；fi越大,ci越小。适用于要求目标函数越小越好 当fi取的值靠近预先确定的适当值时，ci就越大；否则ci越小。