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第2讲矩阵与变换

考情解读本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主,本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分．

1．矩阵乘法的定义

一般地，我们规定行矩阵［a11，a12］与列矩阵的乘法规则为［a11，a12］＝［a11b11＋a12b21],二阶矩阵b，c d)）与列矩阵的乘法规则为b,c d））＝。

说明:矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N后T M)的复合变换．

一般地，对于平面上的任意一个点（向量）（x,y)，若按照对应法则T,总能对应惟一的一个平面点（向量)(x′，y′），则称T为一个变换，简记为T:(x，y）→(x′，y′）或T:→。

2．几种常见的平面变换

（1）恒等变换；（2)伸缩变换；(3）反射变换；（4)旋转变换；(5）投影变换；(6）切变变换．

3．矩阵的逆矩阵

（1)逆矩阵的有关概念

对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B,则逆矩阵是唯一的,通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.

（2)逆矩阵的求法

一般地,对于二阶可逆矩阵A＝b，c d））(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝错误!。

（3）逆矩阵的简单性质

①若二阶矩阵A,B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.

②已知A，B，C为二阶矩阵,且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵,则B＝C.

(4)逆矩阵与二元一次方程组

对于二元一次方程组（ad－bc≠0)，若将X＝看成是原先的向量，而将B＝看成是经过系数矩阵A＝b，c d））（ad－bc≠0）对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX＝B，b,c d))＝，则X＝A－1B,其中A－1＝错误!。

4．二阶矩阵的特征值和特征向量

（1)特征值与特征向量的概念

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．

(2)特征向量的几何意义

特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后,保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0）,或者方向相反(λ〈0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量．

(3）特征多项式

设λ是二阶矩阵A＝b,c d）)的一个特征值,它的一个特征向量为α＝,则A＝λ，即满足二元一次方程组故（＊）

由特征向量的定义知α≠0，因此x，y不全为0，此时D x＝0，D y＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D＝0，即－b，－cλ－d）)＝0。

定义:设A＝b，c d））是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ）＝－b,－cλ－d）)＝λ2－(a＋d）λ＋ad－bc.

称为A的特征多项式．

(4)求矩阵的特征值与特征向量

如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，它满足f（λ）＝0.此时，将λ代入二元一次方程组（*），就可以得到一组非零解，于是，非零向量即为

A的属于λ的一个特征向量。

热点一常见矩阵变换的应用

例1已知曲线C：xy＝1。

(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；

（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．

(2013·福建)已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝2，01)）对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1。

(1）求实数a,b的值；

（2)若点P（x0,y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．

热点二二阶矩阵的逆矩阵

例2设矩阵M＝0，0b)）(其中a>0，b〉0)．

(1）若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；

（2）若曲线C:x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．

(2013·江苏）已知矩阵A＝0，02）），B＝2,06)),求矩阵A－1B。

热点三求矩阵的特征值与特征向量

例3已知矩阵A＝－1,a1)）,其中a∈R，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点P′（0,－3)．

(1)求实数a的值；

（2）求矩阵A的特征值及特征向量．

已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点（－1,2）变换成（－2，4）．

(1)求矩阵M;

(2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系;

（3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

1．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时,变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚,防止混淆．

2．对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换．

3．对于常见的变换，要能够根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵．4．对于二阶矩阵A而言，至多有两个特征值，将特征值λ代入Aα＝λα,即可求得对应的特征向量α.

5．关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系,或说是所学知识的一个综合运用．

真题感悟

1．(2014·福建）已知矩阵A的逆矩阵A－1＝1，12)）。

（1）求矩阵A；

(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．

（2014·江苏)已知矩阵A＝2，1x))，B＝1，2－1)），向量a＝，x，y为实数．若Aα＝Bα,求x＋y的值．

押题精练

已知点A在变换T：→＝y）)作用后，再绕原点逆时针旋转90°,得到点B。若点B的坐标为（－3,4)，求点A的坐标．