结构力学——静定结构位移计算

dWz=dWe+dWi Wz= We+ Wi
所以
由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系
Wi = 0
Wz= We
第二节
•
变形体虚功原理
按刚体虚功和变形虚功计算
微段虚功总和 = 微段刚体虚功 + 微段变形虚功
dWz= dWg+dWi
所以
dWg = 0 Wz = Wi
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节
变形体虚功原理
变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
（满足平衡条件）
位移状态
（满足约束条件）
刚体位移 变形
d
q
FN
M
FS
M+dM FN ＋dFN FS ＋dFS
d
d
第二节
•
变形体虚功原理
按外力虚功和内力虚功计算
微段虚功总和 = 微段外力虚功 + 微段内力虚功
1 2 作功双方其一是虚设的； 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。
第二节
变形体虚功原理
注意：
• 定义“功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功 的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则 称实功；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称 虚功； 为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念： 1. 凡与力相关的因子均称广义力（如集中力、分布 力，力偶等） 2. 凡与位移相关的因子均称广义位移（如线位移、 角位移等）
O (2) 变力作功
dW ( FP dFP )dy FPdy
y
dy
1 W dW FP ΔP 2
第二节
变形体虚功原理
（力与位移相互独立）
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。 FP1
FP2
W12 FP1 Δ12
（此过程力保持为常量）
Δ22
Δ11 Δ12
虚功具体有两种情况：
用点的运动路程上对物体作用的效果。
功 = 力×力作用点沿力方向上的位移
FP 理解为广义力 Δ 广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。
W FP Δ
第二节
变形体虚功原理
（力与位移有因果关系）
实功：力在自身所产生的位移上所作的功。
(1) 常力作功

FP
S FP
W FP S cos
q
解 : (1) 作 出 荷 载 作 用 下 的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。
B x a C
EI= 常数
A a
横梁BC
1 2 M P ( x ) qx 2
(0 x a )
B
0.5 C
竖柱CA
M P ( x) 1 2 qa 2
j qi
δWe δWi
N
S
第二节 原理说明：
变形体虚功原理
力状态的外力和内力都是不变的常力； “虚”仅仅表明作功双方是相互独立的。当一
方是真实的时候，另一方即可按要求假设。
当体系没有变形时Wi= 0 ,即 We= 0。说
明刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例;
第二节
变形体虚功原理
虚功原理的结论具有普遍性。表现在：
由虚功方程
We Wi
Δk Md FN d FSd FRi ci
此式即为平面结构位移计算一般公式。 若结果为正，表明的实际位移方向与虚设力的方向相同。若 结果为负，表明的实际位移方向与虚设力的方向相反
第三节
位移计算公式
位移计算的一般步骤
(1)在拟求位移点沿位移方向虚设相应单位荷载； (2)在单位荷载作用下，由平衡条件求虚内力和虚 反力； (3)由位移计算公式求相应位移。
土木工程中杆件一般： 则：
l

10
G 0.4 E
ΔAV
5 ql 4 8 EI
1 1 1 750 150
第三节
位移计算公式
荷载引起的位 移与杆件的绝 对刚度值有关
各类结构的位移计算公式
MM P ds 1、梁和刚架： ΔiP EI FN FNP ds FN FNP l 2、桁 架： ΔiP EA EA
第一节
位移计算概述
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位臵。
第一节
位移计算概述
3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响
内力
荷载
温度改变或 材料胀缩 支座移动或 制造误差
求1、2两截面的 相对角位移
求12杆件的 转角位移
第三节
位移计算公式
2、荷载作用下的位移计算公式
Δk Md FN d FSd
虚拟内力 真实变形
线弹性、小变形假设下，荷载作用引起的位移：
FN FNP FS FSP MM P ΔkP ds ds k ds EI EA GA
•
广义位移 ：结构产生的各种位移，包括截面的线位移、 角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等 等都可泛称为广义位移。
广义力 ： 与广义位移对应的就是广义力，可以是 一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反 的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系， 能够在某一组广义位移上做功的力系，才 称为与这组广义位移对应的广义力。
3、组合结构： ΔkP 4、拱结构：
FN FNP MM P ds ds EI EA
FN FNP MM P ds ds 拱内弯矩较小时： ΔkP EI EA MM P ds 拱内弯矩较大时： ΔkP EI
例6-1 图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截 面惯性矩 I 均为常数，试求B点的竖向位移△BV， 水平位移△BH, 和位移△B 。
回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位 置处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移，作用于质 点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
FP1
FN 1
→. → Σfi δri=0
FP 2
Βιβλιοθήκη Baidum m
2
1
FN 2
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移， 作用于刚体系的所有外力所做 虚功之和为零。
位移计算的关键在于虚设恰当的力状态
第三节
位移计算公式
广义力与广义位移对应关系：
1 1 1
M 1
FP 1
2
FP 1
FP 1
求1点竖向 线位移
求1点绝对 角位移
求1、2点的 相对线位移
第三节
位移计算公式
广义力与广义位移对应关系：
2
FP 1/a
M 1
1
a
2
FP 1/a
1
M 1
考察同一结构的两个状态，欲求 k 点位移 k q(x) F
P
A c1
k
B
k
c2
协调的位移状态
FP 1
A k B
实际状态
FAx
平衡的力 状 态
FAy
FBy
虚设状态
外力虚功
We 1 Δk FRi ci
内力虚功
Wi Md FN d FQ d
第一节
位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。 • 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位臵产生的变化 线位移（位臵移动） 角位移（截面转动）。
思考：变形与位移的差别？
两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一 定有变形。
第一节
位移计算概述
形状的改变称变形；位臵的改变称位移
-FP ΔP +FB ΔB=0
ΔP
FP
FAx
ΔB
FAy
FB
第二节
变形体虚功原理
2 虚功原理 （1）刚体系的虚功原理
刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的 虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
（2）变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位 移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒 等于变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
变形
√ √ ×
位移
√ √ √
√ × ×
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀 缩、③支座移动和制造误差。
4
体系特征假定
(1) (2) 线弹性 小变形
(3)
理想联结
叠加原理适用
可以利用虚功概念计算结构的位移
第二节
变形体虚功原理
1、功的概念 功：是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作
——虚力原理
第三节
位移计算公式
1、一般位移计算公式
单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method。 用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态 （称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移， 故称为单位荷载法。
从变形类型看：即可以考虑弯曲变形，也可考虑拉伸和剪 切变形； 从变形因素看：即可以考虑荷载作用引起的位移，也可考 虑温度改变和支座移动引起的位移； 从结构类型看：即可用于静定结构，又可用于超静定结构； 从材料性质看：即可用于线弹性结构，又可用于非弹性结构。
第二节
变形体虚功原理
虚功方程同时应用了平衡条件和变形连续条件，
第三节
q
B
位移计算公式
1
A B
例题：求结构A点竖向位移
x x
A
x
C
x
C
AB段内力函数
BC段内力函数
M P 1 qx2 M x 2
FNP 0 FSP qx
FN 0
M P 1 ql 2 2
FNP ql
FSP 0
M l
FN 1
FS 1
FS 0
FP
A
Ax Ay
A’
Ax
A B
Bx
B’
A’
A
绝对位移
AB=Ax+Bx
相对位移
无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还 是相对位移统称广义位移
第一节
位移计算概述
2、结构位移计算的目的
(1) 结构刚度验算的要求。 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。最大层间位 移< 1/800层高 (2) 施工要求：结构的制作、架设、养护过程中往往需要 预先知道结构的变形情况，以便采取施工措施; (3) 为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础.
第二节
• •
•
变形体虚功原理
广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必 须具有功的量纲。 作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力；
未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变 形称虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。 虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却 是确定的，真实变形是虚变形中的一个。
第四章 虚位移原理与静定结构的位移计算
学习内容
实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的 互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作 用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。
学习目的和要求
目的：静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构 所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位 移计算公式就是在此原理上得到的，对于进一步学习也起 到重要作用。 要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第三节
l
位移计算公式
1 2 2
l dx 2 dx 1 ΔAV ( x )( qx ) ( l )( 2 ql ) 0 0 EI EI l l dx dx ( 1)( ql) k (1)(qx) 0 可见对以弯曲为主的细长杆 GA EA 0 5 ql 4 8 I 4 EI (1 k ) 结构的位移计算可忽略轴向 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl 1 变形和剪切变形的影响 3 k 6 设杆件截面形状为矩形： A bh I bh 12 5 h 1
因此方程是即可用来代替几何方程，又可代替平 衡方程的综合方程。
由于作功双方地位平等，所以可虚拟任何一方，由此原理 可有两个方面的应用：
• 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。
——虚位移原理
• 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解。
基于平衡状态的刚体虚功原理
dW = dW
Z
i
故有
Wz= We＝ Wi
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:
内力总虚功
外力总虚功
δWi Md FN d FSd


δWe Pi ΔPi q j Δqi ds
i i
虚功方程
i Pi i i
P Δ q Δ ds Md F d F d