全称量词和存在量词完美版

全称量词和存在量词

教学目标

1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；

2．能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假

教学重点及难点

理解全称量词与存在量词的意义，并判断全称命题和特称命题的真假

教学类型：新授课

教学过程

一．引入

下列语句是命题吗

⑴3

x>；

，

⑵21

x+是整数；

⑶对所有的x∈R，3

x>；

⑷对任意一个x∈Z，21

x+是整数。

⑴与⑶、⑵与⑷之间有什么关系

结论：由命题的定义出发，（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。分析（3）（4）分别用短语“对所有的”“对任意一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）称为可以判断真假的语句。

二．教授新课：

①.概念：

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

\

例如：

⑴对任意n∈N，21

n+是奇数；

⑵所有的正方形都是矩形。

常见的全称量词还有：

“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。

通常，将含有变量x的语句用()

r x表示，变量x的取

q x、()

p x、()

值范围用M表示。

全称命题“对M中任意一个x，有()

p x

p x成立”。简记为：x M

∀∈，()

读作：任意x属于M，有()

p x成立。

②.例1：判断下列全称命题的真假：

⑴所有的素数都是奇数；

⑵x∀∈R，211

x+≥；

`

⑶对每一个无理数x，2x也是无理数。

（学生练习——个别回答——教师点评并板书）

点评：要判定全称命题的真假，需要对取值范围M内的每个元素x，证明p（x）是否成立，若成立，则全称命题是真命题，否则为假。

①引入：

下列语句是命题吗

⑴213

x+=；

⑵x能被2和3整除；

⑶存在一个x∈R，使213

x+=；

⑷至少有一个x∈Z，x能被2和3整除。

⑴与⑶、⑵与⑷之间有什么关系

—

结论：由命题的定义出发，（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题分析（3）（4）分别用短语“存在一个”“至少有一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）称为可以判断真假的语句。

②概念：

短语“存在一个”、“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示。

含有存在量词的命题，叫做特称命题（存在性命题）。

例如：

⑴有一个素数不是奇数；

⑵有的平行四边形是菱形。

常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等。

特称命题“存在M中的一个x，使()

p x

p x成立”。简记为：x M

∃∈，()

读作：存在一个x属于M，使()

p x成立。

，

③例1：判断下列存在性命题的真假：

⑴有一个实数x，使2230

++=成立；

x x

⑵存在两个相交平面垂直同一条直线；

⑶有些整数只有两个正因数。

（学生回答——教师点评并板书）

点评：要判定特称命题是真命题，只需要在取值范围M内找到一个元素x0，使p（x0）成立即可。如果在M中，使p（x0）成立的元素x不存在，则这个特称命题是假命题。

三小结

全称量词，全称命题，存在量词，特称命题的概念

及如何判定全称命题与特称命题的真假性

四．练习：

五．作业：

—

含有一个量词的命题的否定

教学目标

1．进一步理解全称命题与特称命题的意义；

2．能准确地写出全称命题和特称命题的否定，并掌握其之间的关系。

教学重点：全称命题和特称命题的否定

教学难点：全称命题与特称命题的否定，及其它们之间的关系

教学类型：新授课

教学过程：

一．复习引入：

1.全称命题与特称命题的概念

2.—

写出下面命题的否定：

3.探究：

4.所有的矩形都是平行四边形

（1）每一个素数都是奇数

（2）x∀∈R，x2－2x＋1≥0

问：这些命题和它们的否定在形式上有什么变化

分析：上面命题都是全称命题，即具有“x M

p x”的形式。

∀∈，()

其中，命题（1）的否定是：“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说“存在一个矩形不是平行四边形”。

注意区别：（1）的否定不是“所有的矩形都不是平行四边形”，是由于对于原命题，我们只要找到存在一个矩形不是平行四边形就可以否定原命题，而并不排除有其它的矩形是平行四边形。

所以同理，可以得出：命题（2）的否定是：“并非每一个素数都是奇数”，也就是“存在一个素数不是奇数”；

命题（3）的否定是：“并非所有的x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说∃ x∈R，x2－2x＋1＜0。

发现：上述例子中的全称命题的否定都成立特称命题

二．（

三．新课教授：

1.全称命题的否定

①从上述例子可以看出：三个全称命题的否定都成了特称命题。一般来说：对于含有一个量词的全称命题的否定，有下列结论：

全称命题p：x M

p x

∀∈，()

它的否定p⌝：x M

∃∈，p⌝（x）

也就是说全称命题的否定是特称命题

②例题（课本例3）：写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数

（2）p: 每一个平行四边形的四个顶点共圆

（3）P：对于任意的x∈Z，x2的个位数字不等于3

~

（学生练习——个别回答——教师点评）

2.特称命题的否定：

①引入：全称命题的否定是特称命题，那么特称命题的否定是否为全称命题呢

探究：写出下列命题的否定：

（1）有些实数的绝对值是正数

（2）某些平行四边形是菱形

（3）∃x∈R，x2＋1<0

这些命题的否定是什么

分析：上述命题都是特称命题，即具有形式：“x M

p x”。

∃∈，()

其中（1）的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也