全概率公式和贝叶斯公式()课件

第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家 元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。
元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
S
A
B1
B2
B153
第一章 概率论的基本概念
例10（续）
§3条件概率
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的， 且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次 品的概率。
解：
设：B={ 取出的球全是白球 }
Ai 掷出i点 i 1， 2， ， 6
则由Bayes公式，得
PA3
B
PA3 PB A3
6
P
Ai
PB
Ai
i 1
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第一章 概率论的基本概念
例9（续）
1 6
C53 C135
5 i 1
1 6
C5i C1i5
1 6
0
0.04835
§3条件概率
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已知PA D 0.95, P A D 0.90
而且已知： PD 0.0004
现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有 肝癌的概率．
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第一章 概率论的基本概念
例 8（续） 解：
由已知，得
P A D 0.90, PD 0.9996
§3条件概率
所以，由Bayes公式，得
PD
§5 全概率公式和贝叶斯公式
1
第一章 概率论的基本概念
全概率公式和贝叶斯公式
§3条件概率
定义 设 S 为试验 E 的样本空间， A1, A2 , An
为 E 的一组事件。若满足
(1)
Ai Aj = , i j, i, j 1, 2, ,n ;
(2)
A1 A2 An S . B = BA1 BA2 BAn
（2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取 到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能 性最大。
解 ： 设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,
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第一章 概率论的基本概念
例10（续）
§3条件概率
元件制造厂
P( A| Bi )
得 A1B, A2B, , AnB 也两两互不相容；
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第一章 概率论的基本概念
全概率公式的证明（续）
§3条件概率
所以由概率的可列可加性，得
PB PAn B
n 1
再由条件 PAn 0 n 1, 2, ，得
PAnB PAn PB An
代入公式（1），得
PB
P
An
B
P
An
即 PAn 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原
因引起的概率，则用Bayes公式
即求 PAi B
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例 8 用某种方法普查肝癌，设： A={ 用此方法判断被检查者患有肝癌 }， D={ 被检查者确实患有肝癌 }，
PB
An
n1
n1
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第一章 概率论的基本概念
全概率公式的使用
§3条件概率
我们把事件B看作某一过程的结果，
把 A1, A2, , An 看作该过程的若干个原 因， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 PAn 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
P(B | An )P( An ) ,
j
P(B 1
|
A
j
)P( A
j
)
n 1,2, ,
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第一章 概率论的基本概念
Bayes公式的使 用
§3条件概率
我们把事件B看作某一过程的结果， 把 A1, A2, , An 看作该过程的若干个原 因， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
第一章 概率论的基本概念
Bayes 公 式
§3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件概率
设随机事件 A1, A2, , An 以及B 满足
1．A1, A2, , An 两两互不相容；
2． An S 或 B An ；
n 1
n 1
3．PAn 0 n 1, 2,
则
P( An
|
B)
P( An B) P(B)
n 1
n 1
3．PAn 0 n 1, 2,
则有
PB
P
An
PB
An
n1
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全概率公式的第一章 概率论的基本概念 证明
§3条件概率
由条件：
B An
B = BA1 BA2 BAn
n 1
得
B AnB
BA1
A1
BA2
A2
…... BAn …... An
n1
S
而且由 A1, A2 , , An 两两互不相容，
概设率B． 该小组在比赛中射中目 标
解：
Ai 选i级射手参加比赛 i 1， 2， 3 4
由全概率公式，有
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
PB
4
P An
P B An
n 1
2 0.85 6 0.64 9 0.45 3 0.32
20
20
20
20
0.5275
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即求 PB
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、 四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概 率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一 人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的
A
PDPA D
PDPA D PD PA
D
0.0004 0.95
0.0004 0.95 0.9996 0.10
0.0038
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第一章 概率论的基本概念
例9
§3条件概率
袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子， 掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球 全是白球，求掷出3点的概率．
则称 为 A1, A2 , An
样本空间 S 的一个划分。
BA1
A1
BA2
A2
…... BAn …... An
S
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第一章 概率论的基本概念
全 概 率 公 式：
§3条件概率
设随机事件 A1, A2 , , An 以及 B
满足：
1．A1, A2, , An 两两互不相容；
2． An S 或 B An ；
P( Bi )
次品率 提供晶体管的份额
1
0.02 × 0.15
2
0.01 × 0.80
P (A)
3
0.03 × 0.05
P(Bi | A)
P(Bi A) P( A)
P( A) P( A| B1)P(B1) P( A| B2 )P(B2 ) P( A| Bn )P(Bn ).