空间向量与空间角距离优秀课件
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1．四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所 成的角为60°.在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．
解：(1)以 D 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，AD＝2. ∴B(2,4,0)．
_[0_，__π_]__
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
2.空间距离的向量求法
分类 向量求法
两点 距
设A，B为空间中任意两点，则d＝___|_A→_B_|_____
点面 距
设平面 α 的法向量为 n，B∉α，A∈α，则 B 点 →
到平面 α 的距离 l＝|B|An·|n|
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
由 PD⊥平面 ABCD，
得∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角，
∴∠PAD＝60°.
在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3.
∴P(0,0,2 3)．
(2)∵A(2,0,0)，C(0,1,0)，
∴P→A＝(2,0，－2 3)，B→C＝(－2，－3,0)，
则M→N为平面 A1BC 的法向量，
又B→C1＝(0，－a，a)，
__0_，__π2___
设直线l与平面α所成的角为θ,l的方 向sin向θ＝量_为_|_ac_,o平s_〈_面_a_，α_的n_〉_法_|＝_向_||aa_|量·_|nn_||为__n_,则
__0_，__π2__
二面角
设二面角αlβ的平面角为θ,平面α,β 的_|c_os_法〈__n向1_，_量n_2_为〉_|_n＝_1|,|_nnn_112|·_|,nn则_22||_|_co_s__θ_|＝___
2．平面 α 的一个法向量 n＝(1，－1,0)，则 y 轴与平面 α
所成的角的大小为( B )
A.π6
B.π4
C.π3
D.34π
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则
l1与l2这两条异面直线所成的角等于( A )
A．30°
B．150°
C．30°或150° D．以上均错
Ma2，a2，a2，N0，a2，a.
所以B→A1＝(a，－a，a)，C→A1＝(a,0，a)，
M→N＝－a2，0，a2.
于是M→N·B→A1＝0，M→N·C→A1＝0， 即 MN⊥BA1，MN⊥CA1. 又 BA1∩CA1＝A1，故 MN⊥平面 A1BC.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
(2)因为 MN⊥平面 A1BC，
∴cos〈P→A，B→C〉
＝2×－2＋0×4×－313＋－2
3×0＝－
13 13 .
∴异面直线
PA
与
BC
所成角的余弦值为
源自文库
13 13 .
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
求直线与平面所成的角
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是 A1B、B1C1的中点． (1)求证：MN⊥平面A1BC； (2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
[解] (1)证明：根据题意 CA、CB、 CC1 两两垂直，以 C 为原点，CA、CB、 CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 设 AC＝BC＝CC1＝a， 则 B(0，a,0)，B1(0，a，a)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成角的范围 相同．( × ) (2)直线与平面所成角就是对应直线的方向向量与平面的法 向量所成角．( × ) (3)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一 点到平面的距离．( √ )
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
π
π
A.6
B.4
π
π
C.3
D.2
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 A1(1,0,2)，E(0,0,1)，G(0,2,1)，F(1,1,0)． ∴A→1E＝(－1,0，－1)，G→F＝(1，－1，－1)， ∴A→1E·G→F＝(－1)×1＋0＋(－1)×(－1)＝0， ∴A→1E⊥G→F，即 A1E⊥GF，故 A1E 与 GF 所成的角为π2.
学法 指导
可以通过两个向量的夹角求得，体现了数学中的转 化与化归思想．通过本节的学习进一步体会空间向 量解决立体几何中的平行、垂直、空间角、距离等
问题的三步曲.
第三章 空间向量与立体几何
1．空间角及向量求法
角的分类 向量求法
范围
异面直线所 成的角
直线与平面 所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们 的〈方a，向b〉向|量＝为__a_，||_aa|·_|bbb_||，__则__c_o_s_θ＝|cos
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
方法归纳 用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方 向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角 θ 的取值
范围是0，π2，两向量的夹角 α 的取值范围是[0，π]，所
以要注意二者的联系与区别，应有 cos θ＝|cos α|.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
空间向量与空间角距离优秀课 件
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
学习导航
1.理解直线与平面所成角的概念．
学习 目标
2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角 问题． 3．体会向量法在求空间距离中的作用．
4．体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲.
空间中的各种角都可以转化为两条直线所成的角，
4．已知空间两点A,B的坐标分别为(1,1,1),(2,2,2),则A,B两
点间的距离为__3______．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
求异面直线所成的角
(2014·四平高二检测)长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AA1＝AB＝2，AD＝1，点 E，F，G 分别是 DD1，AB， CC1 的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是( D )
解：(1)以 D 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，AD＝2. ∴B(2,4,0)．
_[0_，__π_]__
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
2.空间距离的向量求法
分类 向量求法
两点 距
设A，B为空间中任意两点，则d＝___|_A→_B_|_____
点面 距
设平面 α 的法向量为 n，B∉α，A∈α，则 B 点 →
到平面 α 的距离 l＝|B|An·|n|
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
由 PD⊥平面 ABCD，
得∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角，
∴∠PAD＝60°.
在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3.
∴P(0,0,2 3)．
(2)∵A(2,0,0)，C(0,1,0)，
∴P→A＝(2,0，－2 3)，B→C＝(－2，－3,0)，
则M→N为平面 A1BC 的法向量，
又B→C1＝(0，－a，a)，
__0_，__π2___
设直线l与平面α所成的角为θ,l的方 向sin向θ＝量_为_|_ac_,o平s_〈_面_a_，α_的n_〉_法_|＝_向_||aa_|量·_|nn_||为__n_,则
__0_，__π2__
二面角
设二面角αlβ的平面角为θ,平面α,β 的_|c_os_法〈__n向1_，_量n_2_为〉_|_n＝_1|,|_nnn_112|·_|,nn则_22||_|_co_s__θ_|＝___
2．平面 α 的一个法向量 n＝(1，－1,0)，则 y 轴与平面 α
所成的角的大小为( B )
A.π6
B.π4
C.π3
D.34π
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则
l1与l2这两条异面直线所成的角等于( A )
A．30°
B．150°
C．30°或150° D．以上均错
Ma2，a2，a2，N0，a2，a.
所以B→A1＝(a，－a，a)，C→A1＝(a,0，a)，
M→N＝－a2，0，a2.
于是M→N·B→A1＝0，M→N·C→A1＝0， 即 MN⊥BA1，MN⊥CA1. 又 BA1∩CA1＝A1，故 MN⊥平面 A1BC.
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第三章 空间向量与立体几何
(2)因为 MN⊥平面 A1BC，
∴cos〈P→A，B→C〉
＝2×－2＋0×4×－313＋－2
3×0＝－
13 13 .
∴异面直线
PA
与
BC
所成角的余弦值为
源自文库
13 13 .
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第三章 空间向量与立体几何
求直线与平面所成的角
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是 A1B、B1C1的中点． (1)求证：MN⊥平面A1BC； (2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
[解] (1)证明：根据题意 CA、CB、 CC1 两两垂直，以 C 为原点，CA、CB、 CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 设 AC＝BC＝CC1＝a， 则 B(0，a,0)，B1(0，a，a)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成角的范围 相同．( × ) (2)直线与平面所成角就是对应直线的方向向量与平面的法 向量所成角．( × ) (3)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一 点到平面的距离．( √ )
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
π
π
A.6
B.4
π
π
C.3
D.2
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 A1(1,0,2)，E(0,0,1)，G(0,2,1)，F(1,1,0)． ∴A→1E＝(－1,0，－1)，G→F＝(1，－1，－1)， ∴A→1E·G→F＝(－1)×1＋0＋(－1)×(－1)＝0， ∴A→1E⊥G→F，即 A1E⊥GF，故 A1E 与 GF 所成的角为π2.
学法 指导
可以通过两个向量的夹角求得，体现了数学中的转 化与化归思想．通过本节的学习进一步体会空间向 量解决立体几何中的平行、垂直、空间角、距离等
问题的三步曲.
第三章 空间向量与立体几何
1．空间角及向量求法
角的分类 向量求法
范围
异面直线所 成的角
直线与平面 所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们 的〈方a，向b〉向|量＝为__a_，||_aa|·_|bbb_||，__则__c_o_s_θ＝|cos
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
方法归纳 用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方 向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角 θ 的取值
范围是0，π2，两向量的夹角 α 的取值范围是[0，π]，所
以要注意二者的联系与区别，应有 cos θ＝|cos α|.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
空间向量与空间角距离优秀课 件
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第三章 空间向量与立体几何
学习导航
1.理解直线与平面所成角的概念．
学习 目标
2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角 问题． 3．体会向量法在求空间距离中的作用．
4．体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲.
空间中的各种角都可以转化为两条直线所成的角，
4．已知空间两点A,B的坐标分别为(1,1,1),(2,2,2),则A,B两
点间的距离为__3______．
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第三章 空间向量与立体几何
求异面直线所成的角
(2014·四平高二检测)长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AA1＝AB＝2，AD＝1，点 E，F，G 分别是 DD1，AB， CC1 的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是( D )