振动波动例题

π y0 =10cos π t + 3
cm
求P点的振动方程 yP = 0 π 1 j = 当t= s P 2 vP 0 3 x π 2 π π 由式(1) = + 20 2 3
π = π πx + 2 20 2 3
得到： 70 x= =23.3cm 3 yP =10cos π t
v0
π j= 2
例2 一平面简谐波沿x 轴正向传播， 振幅 A =0.lm，频率 =l0Hz，当t =1.0s时 x =0.1m处的质点a 的振动状态为: d y ya= 0 va= <0 dt a 此时x =20cm处的质点 b 的振动状态为 d y y b = 5.0cm vb = >0 dt b 求波的表式。
(2)
例3 已知一沿x 轴正向传播的平面余 弦波在t =1/3 s时的波形如图所示，且周 期T =2s
y/cm
10
o
-5
P
20 x/cm
(1)写出O点和 P点的振动表式； (2)写出该波的波动表式； (3)求P 点离O点的距离。
已知： T =2s， =0.5Hz， =40cm， A =0.1m 2 π y A t x +j cos 2 π 解：设 =
2 t= s 3
π π π × 0.24× sin (4) v = ω A sin ( t ) = 2 2 3
=-0.326m/s 1 mv 2 1 Ek = ×10×10-3×(0.326)2 = 2 2 =5.31×10- 4 J 1 kx 2 1 ω 2 x 2 m EP = = 2 2 1 2 π -3 = 2 ×10×10 ×( 2 ) ×(0.12)2 =1.77×10- 4 J
= 0.24 ×
2 =0.17m 2
(2)
π × 0.5 ) ( A a = ω cos 2 1 2 2 × 0.419m/s π = 4 0.17 = f =ma = 10×10- 3×(-0.419)
2
t =0.5s
= -4.19×10- 3 N
π cos 0.12 0.24 ( t) = (3) 2 πt= π cos ( π t ) = 1 2 2 3 2
(1)
A φ =π (3) A x x
(2)
x φ = 3π 2 (4) x
A
φ =π 3
φ = 7π 4
A
例2 一质量为10g的物体作简谐振动， 其振幅为24cm，周期为4.0s，当t =0时， 位移为+24cm。求: (1) t =0.5s时，物体所在位置; (2) t =0.5s时，物体所受力的大小与方向; (3)由起始位置运动到x = l2cm处所需的最 少时间; (4)在x=12cm处，物体的速度、动能以及 系统的势能和总能量。
由波形图得：t =1/3 s时
y/cm
10
x0
v< 0 y0 =-0.05
o
-5
20
x/cm
1 0.05 0.1cos( j ) 3
1 2 j 3 3

j

3
波动方程为： x π π y =10cos π t + 20 3 cm (1)
O点(x =0)的振动方程为：
π= 2 π = π =1.57s-1 解： A =0.24m ω = 2 T 2 4 x 0 = A =0.24m φ =0 t =0 v0 = 0
振动方程为： x = 0.24 cosπ t 2 (1) t =0.5s π cos x = 0.24 ( × 0.5 ) 2 = 0.24 cos 0.25π
0.05× 2 + 0.06× 2 2 2 = arc tg 2 ) 0.05× ( 2 0.06 × 2 + 2
= arc tg(11) = 84048´
(2) φ3
3π = 0 4
φ 3 = 3π 4 φ 3 = 5π 4
φ3
π =π
4
例1 一平面简谐纵波沿线圈弹簧传播， 设波沿着x 轴正向传播，弹簧中某圈的最大 位移为3.0cm，振动频率为2.5Hz，弹簧中 相邻两疏部中心的距离为24cm。当 t =0时， 在x =0处质元的位移为零并向x 轴正向运动。 试写出该波的波动表式。
解：设沿轴正向传播的波动方程为： 2 π y = A cos 2 π t x +j 2 π y = 0.1cos 20 πt x +j 对于 a 点： t =1s x =0.1m 0.2 π ya = 0.1cos 20 π + j =0 0.2 π π j = 2 va < 0 ∵
A 3.0cm 2.5Hz 24cm
解：
t =0
x =0 y =0
π y0= 0.03 cos(2 t π×2.5 2 )
x 2 π π y = 0.03 cos 2 π×2.5 t 2 0.24 x 50 π π πt = 0.03 cos 5 2 6 x 10 π ( ) t 0.03 cos 5 π = 2 6
j
0.2 π

π =
2
m
(1)
对于 b 点：
t =1s
∵
vb
0 0.4 π
j
π 4 j 由式(1) 、 (2)可得： =0.24m = 3
y = 0.1cos 20 πt 2π x 4 π + 0.24 3 m
π = 3
m
yb = 0.1cos 20 π 0.4 π j
π = 3
x =0.2m 0.4 π + j =0.05
解： (1)
2 φ φ cos ( 2 1 ) A A A A = A2 2 + + 1 2 1 2
=
(0.05)2+(0.06)2+2×0.05×0.06cos(-π/2)
=0.078m φ 1 + A2 sinφ 2 A 1 sin φ = arc tg φ 1 + A2 cos φ2 A1 cos
E = Ek +Ep =7.08×10- 4 J
例3 有两个同方向的简谐振动，它们 的表式如下： x 1= 0.05cos(10t+3π /4)m x 2= 0.06cos(10t+π /4)mwk.baidu.com(1)求它们合成振动的振幅和初相位； (2)若另有一振动 x 3= 0.07cos(10t+φ 0)m 问φ 0为何值时x1+x3的振幅为最大； φ 0为何值时x2+x3的振幅为最小。 (式中 x 以 m计; t 以 s计)