高中数学必修四-《均值不等式》课件

【证明】 左边＝ba＋ac－1＋bc＋ab－1＋ac＋bc－1 ＝ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3. ∵a，b，c 为正数， ∴ba＋ab≥2(当且仅当 a＝b 时取“＝”)； ac＋ac≥2(当且仅当 a＝c 时取“＝”)； bc＋bc≥2(当且仅当 b＝c 时取“＝”)．
从而ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥6(当且仅当 a＝b＝c 时取 等号)．
在求实际问题中的最值时，应按下面的思路来 求解：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值 的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成 函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时， 一般先考虑用均值不等式，当均值不等式求最 值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
已知 a>0，b>0，且1a＋ab＝1，求 a＋b 的最小值．
【错解】 ∵1＝1a＋9b≥2 a9b∴ ab≥6 ∴a＋b≥2 ab≥12，∴a＋b 最小值为 12
【错因】 上述解法错误的原因是①和②等号成立的条 件不同，①成立的条件是 a＝b，②成立的条件是 b＝9a，从 而推出 a＝b＝0，这与已知条件矛盾．
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400
平方米的三级污水处理池，平面图如下图 所示．池外圈建造单价为每米200元，中间 两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单 价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计， 且池无盖)．
(1)试设计污水池的长和宽，使总造价最低， 并求出最低造价；
(2)若受场地限制，长与宽都不能超过25米， 则污水池的最低造价为多少？
(2)常值代替 这种方法常用于“已知 ax＋by＝m(a、b、x、y 均为正数)， 求1x＋1y的最小值．”和“已知ax＋by＝1(a、b、x、y 均为正数)， 求 x＋y 的最小值”两类题型． (3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等 式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．如已知 a，b 为正数， a＋b＝ab－3，求 ab 的取值范围．可构造出不等式 2 ab≤a＋b＝ab－3，即( ab)2－2 ab－3≥0.
(2)ba＋ab≤－2(a，b 异号)；
(3)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)
(或 ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a＞0，b＞0))．
3．利用均值不等式求最值时，应注意的问题 (1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角
函数式等形式时，要认真判断．
(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值 需和为定值．
【思路点拨】 以污水池的长或宽为自变量， 表示出函数(总造价)，无条件限制时，用基本 不等式求最值，在限制条件下不能用基本不等 式求最值时，考虑用函数单调性求最值．
【解析】 (1)设污水池的长为 x，则宽为40x0，总造价
y＝2x＋2·40x0·200＋2·250·40x0＋80×400
＝ 400x＋90x0 ＋ 32 000≥400·2
1．已 ab＞0，则ba＋ab的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
【答案】 B
2．在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是( )
A．y＝x＋1x
B．y＝cos
x＋co1s
(4)正确写出答案．
4. (2008年湖北高考)如右图，要设计一张矩形
广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏 目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间 的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高 与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最 小？
(3)“当且仅当”的含义： ①当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab 取等号，即 a＝b⇒a＋2 b＝ ab； ②仅当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab取等号，即a＋2 b＝ ab⇒a ＝b.
2．由公式 a2＋b2≥2ab 和 ab≤a＋2 b可以引申出的常用
结论
(1)ba＋ab≥2(a，b 同号)；
【解析】 设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm， 则 ab＝9 000① 广告的高为 a＋20，宽为 2b＋25，其中 a＞0，b＞0， 广告的面积 S＝(a＋20)(2b＋25) ＝2ab＋40b＋25a＋500 ＝18 500＋25a＋40b ≥18 500＋2 25a·40b ＝18 500＋2 1 000ab＝24 500.
(3)确保等号成立．
以上三个条件缺一不可，可概括为“一正、二 定、三相等”．
4．应用均值不等式的常用技巧 获得定值条件是应用均值不等式的难点和关键．常用的 方法有： (1)拆项、添项、配凑 此法常用在求分式型函数的最值中． 如 f(x)＝x＋x5＋x1＋2＝x2＋x7＋x＋1 10 ＝x＋12＋x＋51x＋1＋4 可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑．
已知 m＝a＋a－1 2(a＞2)，n＝a2－b2(b≠0)，则 m、n
之间的大小关系是( )
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．不确定
【思路点拨】 先利用基本不等式求出m的范 围，再利用指数函数的性质求出n的范围，从 而得出m，n的大小关系．
【解析】 ∵a＞2，∴a－2＞0， 又∵m＝a＋a－1 2＝(a－2)＋a－1 2＋2， ∴m≥2 a－2×a－1 2＋2＝4，即 m∈[4，＋∞)． 由 b≠0 得 b2≠0，∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即 n＜4， ∴n∈(0,4)，综上易得 m＞n.
(3)等号成立的条件：当且a，仅b当∈R时＋取等号．
a＝b
2．算术平均值和几何平均值
(1)定义
a＋b
叫2做正实数a，b的算术平均值．
ab
(2)结论
两个正实数的算术平均值
它们的几何
平均值．
大于或等于
(3)应用基本不等式求最值
如果x，y都是正数，那么
①若积xy是定值P，那么当 时，和x＋y有 值．
思路一：将 a＋b 变形为 a＋b＝1a＋9b(a＋b)． 思路二：由1a＋9b＝1 变形可得(a－1)(b－9)＝9， ∴a＞1，b＞9，然后将 a＋b 变形．
【正解】 方法一： a＋b＝1a＋9b(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba ≥10＋2 9＝16. 方法二：a＋b＝(a－1)＋(b－9)＋10 ≥2 a－1b－9＋10 ＝2 9＋10＝16. 以上两种方法中等号成立的条件均为 a＝4，b＝12.
2．因为 sin x 与sin4 x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积
为定值，所以由均值定理得 sin x＋sin4 x≥2
sin
4 x·sin
x＝4，
所以 sin x＋sin4 x的最小值为 4.上述推导正确吗？为什么？
【提示】 因为 sin x∈(0,1]，所以均值定理的运用没问 题即结论“sin x＋sin4 x≥4”是正确的，但要使不等式取到等 号，则必须有 sin x＝sin4 x，即 sin x＝2 成立，这显然不可能， 也就是说等号是取不到的，因此，不能说 4 是 sin x＋sin4 x的 最小值．故上述推导是不正确的．
利用均值不等式求最值的关键是获得定值 条件，解题时应对照已知和欲求的式子运 用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等 方法创设应用均值不等式的条件．
3.已知 x＞1，求 y＝x－x21的最小值．
【解析】 y＝x－x21＝x2－x－1＋1 1＝x＋1＋x－1 1 ＝x－1＋x－1 1＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1 1＝x－1， 即(x－1)2＝1 时，等式成立，∵x＞1， ∴当 x＝2 时，ymin＝4
900 x·x
＋
32
000 ＝ 56
000(元)，当且仅当 x＝90x0，即 x＝30 时取等号．
答：污水池的长为 30 米、宽为430米时，最低总造价为
56 000 元．
(2)∵x≤25 且40x0≤25，∴16≤x≤25. 而总造价 y＝f(x)在[16,25]上为减函数， ∴ymin＝f(25)＝56 400(元)． 答：污水池的长为 25 米、宽为 16 米时，最低总造价为 56 400 元．
∴1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤ “＝”)，∴A≥B≥C≥D.
a2＋b2 2
(当
且
仅当
a＝b
时取
【答案】 A≥B≥C≥D源自已知 a、b、c 为正数，求证：b＋ac－a＋c＋ab－b ＋a＋bc－c≥3.
【思路点拨】 因为不等式右边为常数，所以应把左 边拆开，按照积为常数重新组合，分别利用基本不等 式．
【思路点拨】 因为 x<54，∴4x－5<0，故应先处理符号， 再将 4x－2 化为 4x－5＋3，然后用基本不等式．
【解析】 ∵x＜54，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－[(5－4x)＋5－14x]＋3≤－2＋3 ＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x时，即 x＝1 时，上式等号成立． ∴x＝1 时，ymax＝1.
当且仅当 25a＝40b 时等号成立，此时 b＝58a， 代入①式得 a＝120，从而 b＝75， 即当 a＝120，b＝75 时，S 取得最小值 24 500，故广告 的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．
1．对公式 a2＋b2≥2ab 及 ab≤a＋2 b的理解 (1)两个公式成立的条件是不同的：前者只要求 a、b 是 实数，而后者强调 a、b 必须是正数． (2)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)与 ab≤a＋2 b(a＞0，b＞0)都具 有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式” 的放缩功能．这种功能在证明不等式时常常用到．
3.2 均值不等式
1．同向不等式可以相加，但不能相减或 相除 ．
2．判定不等式是否成立，常利用不等式的 基本性质 及函数的 单调性 和 特殊值 等方法．
3．在不等式的变形过程中，要遵循 等价变形 的原则．
1．均值定理(又称基本不等式或均值不等式)
((12))形成式立： 的前a＋提2 b条≥件ab
②若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 值最．小
时，积xy有
上述命题可归纳为口诀：积定和最x小＝y，和定积最大．
最大
1．基本不等式中的a，b可以是值为任意正数 的代数式吗？
【提示】 可以．基本不等式强调 a、b 为正数，所以 任意值为正的数、字母、代数式都可作为公式中的 a、b.如1a＋2 1b ≥ 1a·1b(a>0，b>0)，就是用1a代替 a，1b代替 b.
【解析】 ∵a＞0，b＞0，∴a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b
时取“＝”)．
又∵
a2＋2 b2－a＋2 b＝
a2＋2 b2－
a＋b2 4
＝
a2＋a2＋4 b2＋b2－
a2＋b2＋2ab 4.
∵a2＋b2≥2ab＞0，∴ a2＋b2≥ 2ab， ∴ a2＋2 b2≥a＋2 b(当且仅当 a＝b 时，取“＝”)． 又∵1a＋2 1b＝a2＋abb，且 a＞0，b＞0，∴a＋b≥2 ab. ∴0＜a＋1 b≤2 1ab，∴a2＋abb≤22aabb＝ ab. ∴ ab≥a2＋abb(当且仅当 a＝b 时取“＝”)，
【答案】 A
在应用均值不等式时，一定要注意是否满 足条件，即a＞0，b＞0，若条件不满足时， 则应拼凑出条件，即问题一端出现“和 式”，另一端出现“积式”，便于运用均 值不等式．
1.若 a＞0，b＞0，则 A＝ a2＋2 b2，B＝
a＋2 b，C＝ ab，D＝1a＋2 1b的大小顺序为________．
∴ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3≥3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c≥3.
多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能否成立，叠加 法是不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使 用均值不等式的证明需重新组合，形成均值不等式模型，再 使用．
2.已知 a、b、c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 【证明】 ∵a，b，c∈{正实数}． ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．