线性代数 矩阵的基本运算汇编

例如
3 2 1 2 2 2 5 4 3 4 5 6 + 1 2 3 = 5 7 9
2 − 8 − 6
1
+
3
=
4
8 2 10
定义中蕴含了只有同维矩阵才能相加的条件，
故在认为记号“A + B ”有意义时，即已承认了A 与 B 是同维的事实.
2、 矩阵加法的运算规律
(1) A + B = B + A; （交换律）
1 5
12 24 6 3A = 16 24 30
显然，对于数 0 和 1 及任意的矩阵 A，有
0A=0
1A=A
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m × n 矩阵，λ ,µ 为数） (1) (λµ )A = λ (µA); (2) (λ + µ )A = λA + µA;
二、矩阵的加法
1 定义 设有两个m × n 矩阵 A = aij , B = bij ,那末矩阵 A 与B 的和记作 A + B ，规定为
x1
=
b11t1
+
b12t2
x2 = b21t1 + b22t2
x3 = b31t1 + b32t2
要想得到从 tFra Baidu bibliotek, t2 到 y1, y2 的变换,
代入上式得
y1
=
(a11b11
+
a12b21
+
a13b31 )t1
+
( a11b12
+
a12b22
+
a13b32 )t2
y2 = (a21b11 + a22b21 + a23b31 )t1 + (a21b12 + a22b22 + a23b32 )t2
一个m×s矩阵C= [cij ] ,其中
∑n
ci j = aikbkj
k =1
（2-7）
并把此乘积记作 Cm×s = Am×nBn×s .
亦即
∑ def n
AB = k =1 a ik bk j
2
a11
a12 ⋯ a1n
A=
a21 a22 ⋯ a2n .....................
一、数与矩阵相乘
1 定义 （ 矩阵的数乘）
( ) 数λ与矩阵A =
aij
的乘积记作λ A或Aλ,
m×n
规定为
λa11 λa12 ⋯ λa1n
λA
=
Aλ
=
λa21
⋯ λam
1
λa22 ⋯ λam1
⋯ ⋯ ⋯
λa2n ⋯ λamn
.
例如 若
4 8 2 A = 6 8 10
则
1 2
A
=
2 3
4 4
第二节 基本运算
定义 运算规则 矩阵运用的例
在定义矩阵运算之前，先规定矩阵相等的含义。
定义 （ 矩阵相等）
( ) ( ) 两个矩阵 A = ai j ,B = bi j 为同型矩阵,并
且对应元素相等,即
ai j = bi j (i = 1,2,⋯ ,m; j = 1,2,⋯ ,n) ,
则称矩阵 A与B相等,记作 A = B.
a11 + b11 a12 + b12 ⋯ a1n + b1n
A
+
B
=
a21 + b21 ⋯
am1 + bm1
a22 + b22 ⋯
am 2 + bm2
⋯ ⋯ ⋯
a2n + b2n
amn
⋯ + bmn
1
[ ] [ ] [ ] def
即 A + B = a ij + b ij = a ij + b ij
若用 –A 表示 A 的加法逆，则 –A= (–1)A
常将矩阵的数乘及加法统称为线性运算。
三、矩阵与矩阵相乘
引例 变量 x1 , x 2 , x 3到变量 y1 , y2的线性变换
y1
=
a11 x1
+
a12 x2
+
a13 x3 ,
y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 .
又变量 t1， t2到 x1 , x 2 , x 3的线性变换是
ai1
⋮
am1
a12 ⋮
ai2 ⋮
am2
⋯ ⋯ ⋯
a1n ⋮
ain ⋮
amn
bb1211 ⋮ bn1
⋯ b1j ⋯ b2 j
⋮ ⋯ bnj
⋯ ⋯
b1s b2s ⋮
=
c11 ⋮ ci1
⋯ bns
⋮ cm1
⋯ c1j ⋮
⋯ cij ⋮
⋯ cmj
⋯
c1s ⋮
⋯
cis
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32
1 定义 （矩阵乘法）设 A = [aij ] 是 m×n 矩阵， B
= [bij ] 是 n×s 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是
把矩阵 A 与 B之差 A – B 定义成 A +（-B） .
3 4
2 5
1 2 6 −1
2 2
2 3 3 = 4
2 5
1 6
+ −−12
−2 −2
−2 −3
=
1 3
0 3
−1 3
把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作 O
则对任意一矩阵A，有 A= A+O = O+A
以及 A–A= A+ (–1)A= O
c21 = a21b11 + a22b21 + ⋯ + a2nbn1
.....................
AB 的 i – j 元是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应 位置元的乘积之和（简称为 A 第 i 行与 B 第 j 列 之积）， 称为确定矩阵乘积 AB 元的行乘列法则.
a11 ⋮
am1 am2 ⋯ amn
b11
b12 ⋯b1s
B
=
b21 b22 ⋯b2s .....................
bn1 bm2 ⋯bns
C = A×B c11 = A的的的的的的的的的乘 B 的的的的的的的的和 . c11 = a11b11 + a12b21 + ⋯ + a1nbn1 c21 = A的的二的的的的的的乘 B 的的的的的的的的和 .
变量 x1 , x 2 , x 3到变量 y1 , y2的线性变换
对应的矩阵是
a11 a12 a13 a21 a22 a23
又变量 t1， t2到 x1 , x 2 , x 3的线性变换是
对应的矩阵是
b11 b12
b21 b31
b22 b33
从 t1, t2 到 y1, y2 的线性变换对应的矩阵
(2) (A + B) + C = A + (B + C ). （结合律）
(3) λ (A + B) = λA + λB. （数乘的分配律）
定义：−
A
=
−a11 −a21 ⋯
−a12 −a22 ⋯
⋯ ⋯
−a1n −a2n
⋯ ⋯
= (− aij ),
−am1 −am2 ⋯ −amn
称为矩阵A的负矩阵.