命题逻辑的推理结构

计算机科学MOOC课程群

离散数学基础

•推理的形式结构

−例：

»前提1: 如果今天是周五，那么我们有数理逻辑课。

»前提2: 今天是周五。

»结论: 今天我们有数理逻辑课。

»形式化：P：今天是周五。Q：今天我们有数理逻辑课。

»前提1：P→Q

»前提2：P

»结论：Q

•定义：条件式推理结构

−将例子中的两个前提记为 (P→Q)∧P，结论记为 Q，上述推理过程可表述为： (P→Q)∧P|→ Q 或 (P→Q)∧P├ Q

称为条件式推理结构。

−记号 ”├” 读成 ”推出”

−(P→Q)∧P├ Q 经常写成 (P→Q), P├ Q

•定义：推理结构的有效性

−设命题公式 H、C，若当 H 为真时，C 必为真，则称推理结构 H├ C 是有效的（或是正确的） 推理形式。否则，称推理结构 H├ C 不是有效的（或是无效的）推理形式。

»H├ C 有效，即在 H 上的任何令 H 的真值为 T 的解释下，C 的真值均

为 T。

»H├ C 无效，即至少存在一个令 H 的真值为 T 而 C的真值为 F 的解释。

»推广到有 n 个前提 H1, H2, …, H n 的情形，可令

H= H1∧H2∧ …∧H n

将推理的形式结构写成 H├ C；

如果定义 Γ = {H1, H2, …, H n}，可写成 Γ├ C。

−例： P, (P→Q)├ Q 是有效的推理结构。

»由下面的真值表可见，穷尽所有的解释，只有第4行令 P∧(P→Q)=T。而对

应此解释，Q=T。

P Q P→Q P∧(P→Q)

F F T F

F T T F

T F F F

T T T T

−例： ¬Q, (P→Q)├ ¬P 是有效的推理结构。

»由真值表可见，只有第1行解释令 ¬Q∧(P→Q)=T。而对应此解释， ¬P =T 。

P Q¬Q P→Q¬Q ∧(P→Q)¬P

F F T T T T

F T F T F T

T F T F F F

T T F T F F

−例： ¬P, (P→Q)├¬Q 不是有效的推理结构。

»由其真值表可见，存在第2行解释令 ¬P∧(P→Q)=T。而对应此解释，¬Q =F 。

P Q¬Q P→Q¬Q ∧(P→Q)¬P

F F T T T T

F T F T F T

T F T F F F

T T F T F F

•定义：逻辑推出/重言蕴涵

−当 H├ C 有效时，可写成 H ⇒C，称 H 逻辑推出 C，或说 C 是 H 的逻辑推论（有效结论），或 H 重言蕴涵 C。

−注意到 H ⇒C 描述了公式 H 和 C 之间的一种真值联系，但 ”⇒” 不是连接词，”H ⇒C” 也不是合式公式。

•重言蕴涵的若干性质：

−若 A ⇒B，且 A 为重言式，则 B 也为重言式。

−若 A ⇒B，且 B ⇒A，则 A⇔B。

−若 A ⇒B，且 B ⇒C，则 A ⇒C。

−若 A ⇒B，且 A ⇒C，则 A ⇒B∧C。

−若 A ⇒C，且 B ⇒C，则 A∨B ⇒C。

−性质的证明：从重言蕴涵的定义可以直接对上述性质进行验证。

•定理：演绎定理

−设有命题公式 H1, H2, …,H n, C，则推理形式 H1, H2, …, H n├ C 是有效的当且仅当命题形式 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C 是重言式。

−演绎定理的证明：

⇒ 对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=1 的解释，由于 H1, H2, …, H n├ C 是有效的，

必须 C=1，此时 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C = 1；对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=0 的解

释， H1∧H2 ∧ …∧H n→ C=1。故 H1∧H2∧ …∧H n→ C 是重言式。

⇐ 对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=1 的解释，由于 H1∧H2∧ …∧H n→ C 是重言式，

必须 C=1，所以 H1, H2, …, H n├ C 是有效的。

•定理：演绎定理

−推论：上述 H1, H2, …, H n├ C 有效当且仅当 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C 为矛盾式。

−推论的证明：只需证明命题形式 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C 是重言式当且仅当 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C 为矛盾式。

⇒ 若 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C 是重言式：对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=1 的解释，

C=1，即 ¬C=0，此时 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C=0；对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=0 的

解释，H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C=0。故 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C 为矛盾式。

⇐ 若 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C 为矛盾式：对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=1 的解释，

必须 ¬C=0，即 C=1，此时 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C=1；对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=0

的解释， H1∧H2 ∧ …∧H n→ C=1。故H1∧H2 ∧ …∧H n→ C 是重言式。

•常用的推理公式/推理定律

−下面是常用的14条有效的推理结构，也称推理定律或推理公式。其正确性可以利用真值表加以验证。

(1) P∧Q ⇒ P 化简

(2) ¬(P→Q) ⇒ P

(3) ¬(P→Q) ⇒ ¬Q

(4) P ⇒ P∨Q 附加

(5) ¬P ⇒ P→Q

(6) Q ⇒ P→Q

(7) ¬P∧(P∨Q) ⇒ Q 析取三段论

(8) P∧(P→Q) ⇒ Q 假言推理/分离规则

(9) ¬Q∧(P→Q) ⇒ ¬P 拒取式

(10) (P→Q)∧(Q→R) ⇒ (P→R) 假言三段论

(11) (P↔Q)∧(Q↔R) ⇒ (P↔R) 等价三段论

(12) (P→R)∧(Q→R) ⇒ ((P∨Q)→R) 二难推论

(13) (P→Q)∧(R→S)∧(P∨R) ⇒ (Q∨S) 构造性二难推论

(14) (P→Q)∧(R→S)∧(¬Q∨¬S) ⇒ ¬P∨¬R 破坏性二难推论

•证明 A ⇒B 的方法