经典弯矩分配法
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
三、分配系数（μij）
杆ij 的转动刚度与汇交于i 结点的所有杆件转动刚度之 和的比值。
ij
Sij S
(i)
(1)杆端力:
3
1 M
1
4
2
1 1 1
5
M12 4 i12φ1 S12 1
M
13
M
14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
重点
力矩分配法的基本概念；分配系数的计算； 单结点的力矩分配与传递计算。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
难点
单结点的力矩分配计算原理。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
线性代数方程组的解法
直接法 渐近法 近似法
力矩分配法
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：渐近法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传
B点二次分、传 0.0 C点二次分、传
B点三次分、传 0.0 C点第三次分配
最后弯矩
0.0
A
0.6 0.4 +90.0 -250.0 +96.0 +64.0
-23.7 +14.2 +9.5
-1.2 +0.7 +0.5
+200.9 -200.9
200.9 120
B
1m 50
M
-20.8 +20.8
A
B 20.8
1m
5m
+50 50
C 1m
50kN D M图（kN·m）
11.2 用力矩分配法计算连续梁和 无结点线位移刚架
一、基本概念
1、力矩分配法是一种渐近法。
2、每次只放松一个结点。 3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
二、计算步骤
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 2、计算每个杆端的固端弯矩。
3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。
4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。
三、例题1:试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。
300kN
30kN/m
A
B
C
D
EI=2
EI=3
EI=4
6m
3m
3m
6m
分配系数
固端弯矩
0
最后弯矩 −14.29 31.43 −31.43 0
31.43
14.29 A
40
40
C
B
M图（kN.m)
BA
S BA S BA S BC
4i 4i 3i
4 7
BC
Байду номын сангаас
S BC S BA S BC
3i 3 4i 3i 7
M
f AB
Pl 8
40 4 8
120kN B i=2 A
20kN/m i=1.5 D
i=2
4m
C
2m 3m
4m
结点 杆端
B
A
D
C
BA
AB AC
AD DA CA
分配系数
0.39 0.39 0.22
固端弯矩 -86.4 +57.6 0.0 -40.0 0.0 0.0
分配传递 -3.43 -6.86 -6.86 -3.83
-3.43
最后弯矩 -89.83 +50.7 -6.86 -43.88 0.0 -3.43
A
MF -60
EI=1 6m
B EI=2 4m
0.4 0.6 60 -100
C EI=1 D
4m
6m
0.667 0.333 100
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
-33.4 29.4 44
-7.3 2.9 4.4
-0.7 0.3 0.4
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2
0.22
M
f BA
pab2 l2
120 2 32 52
86.4kn.m
M
f AB
pa2b l2
120
22 52
3
57.6kn.m
M
f AD
ql 2 8
20 42 8
40kn.m
89.83
50.74 43.88
144
B
A
40 D
6.86
M图(kN.m) 3.43 C
M
μ13 M
M
14
S14 S
M
μ14 M
M15 4 i15φ1 S15 1
M
15
S15 S
M
μ15 M
四、用力矩分配法计算具有一个结点角位移的结构
1、解题思路
P1
(a) A MAB
MBA B MBC
P2 C
MCB
(b) A MfAB
MB P1
P2 C
C ij
M ji M ij
在结点上的外力矩按各杆分配 系数分配给各杆近端截面，各杆远 端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以
4iφA EI
A φA l
3iφA EI
A φA l
2iφA 传递系数。
B
CAB=2iA/ 4iA=1/2
0
CAB=0/ 3iA=0
B
iφA EI
A φA l
-iφA
CAB=-iA/ iA=-1
(a)
M15 4 i15φ1 S15 1
(2)由结点1的平衡条件:
M
M1 0
即: M M12 M13 M14 M15 0
M12
M13
1
M14
M (S12 S13 S14 S15 )1
M15
得:
1
M S12 S13 S14 S15
C
SCB
4
1 4
1
SCD
3
1 6
1 2
CB
1 1 1
2
0.667
CD 0.333
练习题: 试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。
80kN
A i=2 B
30kN/m
160kN
D
i=1
C
i=1
3m 3m
10m
3m
5m
分配系数
固端弯矩
0.0
（3）将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后， 按分配系数、传递系数进行分配、传递。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩 相加，即得各杆的最后弯矩。
3、例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。
40kN
20kN/m
A
C B
2m 2m
4m
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 −20
20 −40
0
分配和传递 5.71 11.43 8.57
AB
S AB
S AB S AC
S AD
42 4 2 4 2 3 1.5
0.39
AC
S AB
S AC S AC
S AD
42 4 2 4 2 3 1.5
0.39
AB
S AB
S AD S AC
S AD
3 1.5 4 2 4 2 3 1.5
0.0
B点一次分、传 45.0 C点一次分、传
B点二次分、传 7.9 C点二次分、传 B点三次分、传 0.6 C点第三次分配
最后弯矩
53.5
A
53.5
0.4 0.6 0.0 -225.0
+90.0 +135.0 -39.4
+15.8 +23.6 -3.0
+1.2 +1.8
+107.0 -107.0
107
4EI C
4m
2EI
2EI
E
5m
F
5m
1m
结点 杆端
μ MF
分 配 与 传 递
A
E
B
C
F
AB EB BE BA BC CB CF FC
0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0
－A10.3↓↓7↓↓↓－↓↓↓0162↓0.2.↓k75↓N4↓↓/m↓↓B－2↓37↓.12384.0.2.2295.9683－－6.22450.3.81993C.9242－000.5.286.3220(0-2kN0) 0
0
0.42 0.84 0.53 0.27
4m
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
1.4E2
0.03 F 00.2.09 6 0.03 0.02
－05.m01 －0.01 －5m0.01 1m
M 0 －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.56 0.29
-1.5 -0.7
M -43.6 43.6
A
92.6 -92.6 92.6
90
B
41.3 -41.3
0
41.3 200
CM图（kN·m）D
iAB
1 6
iBC
2 8
1 4
iCD
1 6
B
S
BA
4
1 6
2 3
S
BC
4
1 4
1
2
BA
3 1 2
3
0.4
BC 0.6
无剪力分配法：适于特殊的有侧移刚架。
回顾位移法
求系数和自出项
解位移未知量 计算各杆的杆端弯矩
位移法：附加刚臂承担的约束力矩RIP＝一60(负号表示绕结点 反时针转), 通过转动B点实际位移φ1消去附加刚臂的存有，从 而还原到原结构。
另一种办法消去附加刚臀的存在: 在B点叠加—个反向约束力矩 -RIP＝60 即：固定加放松还原到原结构。 新的问题：反向力矩（-RIP＝60）应该如何分配到BA和BC端 (近端)呢?又应该如何传递到远端（AB,CB)?这就是力矩分配法 要研究的内容。
MfBA B MfBC
MfCB
MfBA
MB MfBC
MB
M
f BA
M
f BC
(c) A MABc
M'
C MBAμ B MBCfμ MCBc
M MB
2、解题步骤
（1）在刚结点上加上刚臂（想象），使原结构 成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。
（2）计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不 平衡弯矩。
例4 用力矩分配法计算图9−8（a）所示的刚架，并绘M图。
80kN
30kN/m
A
D
EI B
EI
C EI
EI
EI
6m
91.84
75.92
62.33
52.04
26.72
120
135
A
B 15.92
B
C C 35.63
D
E
3m
3m
6m
F 6m
BA BE BC
A 固端弯矩
分配系数 −60
7.73 分配、传递弯矩
M (b) S
(3) 代(b)入(a) , 得:
M
12
S12 S
M
μ12 M
M12 4 i12φ1 S12 1
M
13
M
14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
(a)
M13
S13 S
20kN m
M
f BA
Pl 8
40 4 8
20kN m
M
f BC
ql 2 8
40 kN m,
MCfB 0
例2. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法（EI=常数）。
A
B
C
50kN D
1m
5m
A B
1m 50kN·m C
50kN D
1m
5m
5/6 1/6
MF
25
分传 -20.8 -4.2
计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。 有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中
力偶(顺时针为正)
力矩分配法一般计算过程：
1）确定实施力矩分配的结点个数。 2）确定分配系数和传递系数。 3）计算各杆固端弯矩。 4）进行弯矩的分配和传递，直到传递弯矩小到可以忽略为止。 5）将固端弯矩与每次分配、传递的结果相加求得最后的杆端弯矩。
0.23
1/3 1/3 1/3
B
60
−90
−16.36 15.45 15.45 15.45
−1.40 0.47 0.47 0.47
最后弯矩 −52.04
75.92 15.92 −91.84
E
7.73
0.23
7.96
E 7.96 17.76 F CB CF CD
4/11 4/11 3/11
C 90 −32.73 −32.73 −24.55
§11-1 力矩分配法的基本概念 一、杆件的转动刚度S：
表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于仅使杆端发生单 位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=i
1
SAB=3i
1
SAB=0
SAB与杆件的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、 杆长）及远端支承有关
二、传递系数（Cij）
杆件远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数。
135
B
0.5 0.5 +225.0 -135.0 +67.5
-78.8 -78.7 +11.8
-5.9 -5.9 +0.9 -0.5 -0.4
+220.0 -220.0 220
C
0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 135
D
M图(kN.m)
例2.用力矩分配法计算图示连续梁。
20kN/m
100kN
0.5 0.5 +250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2
+237.4 -237.4 237.4
375
300
C
+112.5 -23.7 -1.2
+87.6 87.6
D
M图(kn.m)
例题3: 试用弯矩分配法计算图示刚架，绘弯矩图。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第11章 弯矩分配法和剪力分配法 知识点
力矩分配法基本思想
力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架
教学基本要求
掌握力矩分配法的基本概念、计算原理、适用条件； 学会单结点的力矩分配与传递并最终会计算杆端 弯距且正确绘制弯矩图。 计算有多个结点的连续梁和刚架
7.73 −2.81 −2.81 −2.11 0.23 −0.09 −0.09 −0.06 62.33 −35.63 −26.72
D 0 0 0
F −16.36 −1.40
−17.76
例5.
用力矩分配法计算，作M图。
10kN/m A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4EI B
20 20kN20kN
三、分配系数（μij）
杆ij 的转动刚度与汇交于i 结点的所有杆件转动刚度之 和的比值。
ij
Sij S
(i)
(1)杆端力:
3
1 M
1
4
2
1 1 1
5
M12 4 i12φ1 S12 1
M
13
M
14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
重点
力矩分配法的基本概念；分配系数的计算； 单结点的力矩分配与传递计算。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
难点
单结点的力矩分配计算原理。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
线性代数方程组的解法
直接法 渐近法 近似法
力矩分配法
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：渐近法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
B点一次分、传 0.0 C点一次分、传
B点二次分、传 0.0 C点二次分、传
B点三次分、传 0.0 C点第三次分配
最后弯矩
0.0
A
0.6 0.4 +90.0 -250.0 +96.0 +64.0
-23.7 +14.2 +9.5
-1.2 +0.7 +0.5
+200.9 -200.9
200.9 120
B
1m 50
M
-20.8 +20.8
A
B 20.8
1m
5m
+50 50
C 1m
50kN D M图（kN·m）
11.2 用力矩分配法计算连续梁和 无结点线位移刚架
一、基本概念
1、力矩分配法是一种渐近法。
2、每次只放松一个结点。 3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
二、计算步骤
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 2、计算每个杆端的固端弯矩。
3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。
4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。
三、例题1:试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。
300kN
30kN/m
A
B
C
D
EI=2
EI=3
EI=4
6m
3m
3m
6m
分配系数
固端弯矩
0
最后弯矩 −14.29 31.43 −31.43 0
31.43
14.29 A
40
40
C
B
M图（kN.m)
BA
S BA S BA S BC
4i 4i 3i
4 7
BC
Байду номын сангаас
S BC S BA S BC
3i 3 4i 3i 7
M
f AB
Pl 8
40 4 8
120kN B i=2 A
20kN/m i=1.5 D
i=2
4m
C
2m 3m
4m
结点 杆端
B
A
D
C
BA
AB AC
AD DA CA
分配系数
0.39 0.39 0.22
固端弯矩 -86.4 +57.6 0.0 -40.0 0.0 0.0
分配传递 -3.43 -6.86 -6.86 -3.83
-3.43
最后弯矩 -89.83 +50.7 -6.86 -43.88 0.0 -3.43
A
MF -60
EI=1 6m
B EI=2 4m
0.4 0.6 60 -100
C EI=1 D
4m
6m
0.667 0.333 100
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
-33.4 29.4 44
-7.3 2.9 4.4
-0.7 0.3 0.4
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2
0.22
M
f BA
pab2 l2
120 2 32 52
86.4kn.m
M
f AB
pa2b l2
120
22 52
3
57.6kn.m
M
f AD
ql 2 8
20 42 8
40kn.m
89.83
50.74 43.88
144
B
A
40 D
6.86
M图(kN.m) 3.43 C
M
μ13 M
M
14
S14 S
M
μ14 M
M15 4 i15φ1 S15 1
M
15
S15 S
M
μ15 M
四、用力矩分配法计算具有一个结点角位移的结构
1、解题思路
P1
(a) A MAB
MBA B MBC
P2 C
MCB
(b) A MfAB
MB P1
P2 C
C ij
M ji M ij
在结点上的外力矩按各杆分配 系数分配给各杆近端截面，各杆远 端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以
4iφA EI
A φA l
3iφA EI
A φA l
2iφA 传递系数。
B
CAB=2iA/ 4iA=1/2
0
CAB=0/ 3iA=0
B
iφA EI
A φA l
-iφA
CAB=-iA/ iA=-1
(a)
M15 4 i15φ1 S15 1
(2)由结点1的平衡条件:
M
M1 0
即: M M12 M13 M14 M15 0
M12
M13
1
M14
M (S12 S13 S14 S15 )1
M15
得:
1
M S12 S13 S14 S15
C
SCB
4
1 4
1
SCD
3
1 6
1 2
CB
1 1 1
2
0.667
CD 0.333
练习题: 试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。
80kN
A i=2 B
30kN/m
160kN
D
i=1
C
i=1
3m 3m
10m
3m
5m
分配系数
固端弯矩
0.0
（3）将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后， 按分配系数、传递系数进行分配、传递。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩 相加，即得各杆的最后弯矩。
3、例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。
40kN
20kN/m
A
C B
2m 2m
4m
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 −20
20 −40
0
分配和传递 5.71 11.43 8.57
AB
S AB
S AB S AC
S AD
42 4 2 4 2 3 1.5
0.39
AC
S AB
S AC S AC
S AD
42 4 2 4 2 3 1.5
0.39
AB
S AB
S AD S AC
S AD
3 1.5 4 2 4 2 3 1.5
0.0
B点一次分、传 45.0 C点一次分、传
B点二次分、传 7.9 C点二次分、传 B点三次分、传 0.6 C点第三次分配
最后弯矩
53.5
A
53.5
0.4 0.6 0.0 -225.0
+90.0 +135.0 -39.4
+15.8 +23.6 -3.0
+1.2 +1.8
+107.0 -107.0
107
4EI C
4m
2EI
2EI
E
5m
F
5m
1m
结点 杆端
μ MF
分 配 与 传 递
A
E
B
C
F
AB EB BE BA BC CB CF FC
0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0
－A10.3↓↓7↓↓↓－↓↓↓0162↓0.2.↓k75↓N4↓↓/m↓↓B－2↓37↓.12384.0.2.2295.9683－－6.22450.3.81993C.9242－000.5.286.3220(0-2kN0) 0
0
0.42 0.84 0.53 0.27
4m
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
1.4E2
0.03 F 00.2.09 6 0.03 0.02
－05.m01 －0.01 －5m0.01 1m
M 0 －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.56 0.29
-1.5 -0.7
M -43.6 43.6
A
92.6 -92.6 92.6
90
B
41.3 -41.3
0
41.3 200
CM图（kN·m）D
iAB
1 6
iBC
2 8
1 4
iCD
1 6
B
S
BA
4
1 6
2 3
S
BC
4
1 4
1
2
BA
3 1 2
3
0.4
BC 0.6
无剪力分配法：适于特殊的有侧移刚架。
回顾位移法
求系数和自出项
解位移未知量 计算各杆的杆端弯矩
位移法：附加刚臂承担的约束力矩RIP＝一60(负号表示绕结点 反时针转), 通过转动B点实际位移φ1消去附加刚臂的存有，从 而还原到原结构。
另一种办法消去附加刚臀的存在: 在B点叠加—个反向约束力矩 -RIP＝60 即：固定加放松还原到原结构。 新的问题：反向力矩（-RIP＝60）应该如何分配到BA和BC端 (近端)呢?又应该如何传递到远端（AB,CB)?这就是力矩分配法 要研究的内容。
MfBA B MfBC
MfCB
MfBA
MB MfBC
MB
M
f BA
M
f BC
(c) A MABc
M'
C MBAμ B MBCfμ MCBc
M MB
2、解题步骤
（1）在刚结点上加上刚臂（想象），使原结构 成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。
（2）计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不 平衡弯矩。
例4 用力矩分配法计算图9−8（a）所示的刚架，并绘M图。
80kN
30kN/m
A
D
EI B
EI
C EI
EI
EI
6m
91.84
75.92
62.33
52.04
26.72
120
135
A
B 15.92
B
C C 35.63
D
E
3m
3m
6m
F 6m
BA BE BC
A 固端弯矩
分配系数 −60
7.73 分配、传递弯矩
M (b) S
(3) 代(b)入(a) , 得:
M
12
S12 S
M
μ12 M
M12 4 i12φ1 S12 1
M
13
M
14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
(a)
M13
S13 S
20kN m
M
f BA
Pl 8
40 4 8
20kN m
M
f BC
ql 2 8
40 kN m,
MCfB 0
例2. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法（EI=常数）。
A
B
C
50kN D
1m
5m
A B
1m 50kN·m C
50kN D
1m
5m
5/6 1/6
MF
25
分传 -20.8 -4.2
计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。 有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中
力偶(顺时针为正)
力矩分配法一般计算过程：
1）确定实施力矩分配的结点个数。 2）确定分配系数和传递系数。 3）计算各杆固端弯矩。 4）进行弯矩的分配和传递，直到传递弯矩小到可以忽略为止。 5）将固端弯矩与每次分配、传递的结果相加求得最后的杆端弯矩。
0.23
1/3 1/3 1/3
B
60
−90
−16.36 15.45 15.45 15.45
−1.40 0.47 0.47 0.47
最后弯矩 −52.04
75.92 15.92 −91.84
E
7.73
0.23
7.96
E 7.96 17.76 F CB CF CD
4/11 4/11 3/11
C 90 −32.73 −32.73 −24.55
§11-1 力矩分配法的基本概念 一、杆件的转动刚度S：
表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于仅使杆端发生单 位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=i
1
SAB=3i
1
SAB=0
SAB与杆件的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、 杆长）及远端支承有关
二、传递系数（Cij）
杆件远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数。
135
B
0.5 0.5 +225.0 -135.0 +67.5
-78.8 -78.7 +11.8
-5.9 -5.9 +0.9 -0.5 -0.4
+220.0 -220.0 220
C
0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 135
D
M图(kN.m)
例2.用力矩分配法计算图示连续梁。
20kN/m
100kN
0.5 0.5 +250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2
+237.4 -237.4 237.4
375
300
C
+112.5 -23.7 -1.2
+87.6 87.6
D
M图(kn.m)
例题3: 试用弯矩分配法计算图示刚架，绘弯矩图。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第11章 弯矩分配法和剪力分配法 知识点
力矩分配法基本思想
力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架
教学基本要求
掌握力矩分配法的基本概念、计算原理、适用条件； 学会单结点的力矩分配与传递并最终会计算杆端 弯距且正确绘制弯矩图。 计算有多个结点的连续梁和刚架
7.73 −2.81 −2.81 −2.11 0.23 −0.09 −0.09 −0.06 62.33 −35.63 −26.72
D 0 0 0
F −16.36 −1.40
−17.76
例5.
用力矩分配法计算，作M图。
10kN/m A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4EI B
20 20kN20kN