复数运算规则
复数的乘法法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
复数的除法法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
复数除法定义：
满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di 的商
运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.
除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b 解这个方程组，得
x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2) 于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i ②利用(c+di)(c－di)=c^2+d^2.于是将的分母有理化得：原式= c^2-cdi+cdi-d^2×i^2 =c^2+d^2 ∴(a+bi)÷(c+di)= (ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法复数的除法法则
复 数 的 运 算 法 则
网易云课堂_C++程序设计入门(下)_第9单元：白公曾咏牡丹芳，一种鲜妍独“异常”_第9单元 - 作业3：OJ编程 - 使用异常进行复数运算的错误处理... 第9单元?-?作业3：OJ编程?-?使用异常进行复数运算的错误处理 查看帮助 温馨提示： 1.本次作业属于Online Judge题目，提交后由系统即时判分。 2.学生可以在作业截止时间之前不限次数提交答案，系统将取其中的最高分作为最终成绩。 在复数的运算中，练习异常处理 依照学术诚信条款，我保证此作业是本人独立完成的。 通过C++内建的异常类，处理复数除法中除数为0 的问题（5分）题目内容请参见【第9单元 - 作业3说明：【OJ - 使用异常进行错误处理】】 时间限制：500ms内存限制：32000kb #include iostream #include exception #include stdexcept #include limits #include cmath
using namespace std; class MyComplex--2. 创建一个类 MyComplex，用来表示复数。 MyComplex(); MyComplex(double a, double b); friend ostream operator (ostream os, const MyComplex z);--4. 重载流插入运算符，使之可以将复数输出为如下的格式(实部如果是非负数，则不输出符号位；输出时要包含半角左右小括号)：friend istream operator (istream is, MyComplex z);--3. 重载流提取运算符，使之可以读入以下格式的输入(两个数值之间使用空白分隔)，将第一个数值存为复数的实部，将第二个数值存为复数的虚部： MyComplex operator+(const MyComplex secondMyComplex);--加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i； MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--减法法则：(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i； MyComplex operator*(const MyComplex secondMyComplex);--乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i； MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--除法法则：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)-(c2+d2)]+[(bc-ad)-(c2+d2)]i. private: double a_;
复数的基本运算C语言
typedefstructfushu//抽象数据类型定义 { floatreal;//数据对象 floatimage; }fushu; fushuComplexNumberInput(floata,floatb)//构造二元组{ fushuc; c.real=a;//实部 c.image=b;//虚部 return(c); } fushuComplexNumberAdd(fushuc1,fushuc2)//求和运算{ fushusum; sum.real=c1.real+c2.real;
sum.image=c1.image+c2.image; return(sum); } fushuComplexNumberSub(fushuc1,fushuc2)//求差运算{ fushusub; sub.real=c1.real-c2.real; sub.image=c1.image-c2.image; return(sub); } fushuComplexNumberMul(fushuc1,fushuc2)//求积运算{ fushuMul; Mul.real=c1.real*c2.real-c1.image*c2.image; Mul.image=c1.real*c2.image+c1.image*c2.real; return(Mul);
} fushuComplexNumberDiv(fushuc1,fushuc2)//求商运算{ fushudiv; floatd1,d2,d3,d4; d1=c1.real*c2.real+c1.image*c2.image; d2=c2.real*c2.real+c2.image*c2.image; d3=c1.image*c2.real-c1.real*c2.image; d4=c2.real*c2.real+c2.image*c2.image; if(d2!=0&&d4!=0) { div.real=d1/d2; div.image=d3/d4; return(div); } else
人教版高中数学复数的运算法则
加减法编辑 加法法则 复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。 复数的加法满足交换律和结合律， 即对任意复数z1,z2,z3,有：z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 减法法则 复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。 2乘除法编辑 乘法法则 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。 除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数. 除法运算规则： ①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi 分母有理化 ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b 解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2) 于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i②利用共轭复数将分母实数化得（见右图）： 点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化
高二数学 3.2.2复数的基本运算
课后练习题 1.复数2＋i 1－2i 的共轭复数是( ) A ．－35i B.35 i C ．－i D ．i 解析：选C.2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ） ＝2－2＋5i 5 ＝i ， ∴2＋i 1－2i 的共轭复数是－i. 2.已知a ∈R ，若(1－a i)(3＋2i)为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－32 B.32 C ．－23 D.23 解析：选A.∵(1－a i)(3＋2i)＝(3＋2a )＋(2－3a )i 为纯虚数， ∴? ????3＋2a ＝0，2－3a ≠0，解得a ＝－32. 3.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：∵z ＝i(2－z )， ∴z ＝2i －i z ， ∴(1＋i)z ＝2i ， ∴z ＝2i 1＋i ＝1＋i. 答案：1＋i 4.若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2 为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝（a ＋2i ）（3＋4i ）25＝3a －8＋（4a ＋6）i 25 ＝3a －825＋4a ＋625 i. 因为z 1z 2 为纯虚数，所以3a －8＝0且4a ＋6≠0， 所以a ＝83 . 答案：83 [A 级 基础达标] 1.已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝( ) A.55＋255i B.55－255 i C.15＋25i D.15－25 i 解析：选D.1z ＝11＋2i ＝1－2i （1＋2i ）（1－2i ）＝1－2i 5
＝15－25 i. 2.若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3等于( ) A ．±2 2 B ．－2 2 C ．－22i D ．±22i 解析：选D.∵z 2＋2＝0，∴z ＝±2i ， ∴z 3＝±22i. 3.复数z ＝2－i 2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选D.z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ） ＝3－4i 5＝35－45 i ， 所以z 在第四象限． 4.若复数(1＋a i)(2－i)的实部与虚部相等，则实数a ＝__________． 解析：∵(1＋a i)(2－i)＝(2＋a )＋(2a －1)i 的实部与虚部相等，∴2＋a ＝2a －1.∴a ＝3. 答案：3 5.已知z 1＝（1＋2i ）4（3－i ）3，z 2＝z 12－i ，则|z 2|＝________． 解析：|z 2|＝??????（1＋2i ）4（3－i ）3（2－i ）＝|（1＋2i ）4||（3－i ）3|·|2－i| ＝（5）4（10）3×5＝122＝24 . 答案： 24 6.已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b ＝(a ＋2z )2. 解：因为z ＝1＋i ， 所以az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. 因为a ，b 都是实数， 所以由az ＋2bz －＝(a ＋2z )2，得? ????a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）. 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0，解得a 1＝－2，a 2＝－4.对应求得b 1＝－1，b 2＝2. 所以所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2. [B 级 能力提升] 7.已知 ＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i 解析：选B.由题意知 ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. 8.已知z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2 ，则z 1z 2＝( ) A ．－4＋3i B ．3＋4i C ．3－4i D ．4－3i 解析：选D.∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2 ， ∴z 1z 2＝（－2－3i ）（2＋i ）23－2i ＝－i （3－2i ）（2＋i ）2 3－2i z z z 2z 2z 1z i +
复数的四则运算教学设计
《复数的四则运算》教学设计 吕叔湘中学 黄国才 【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 3、了解复数中共轭复数的概念 【教学重点】：会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 【教学难点】：理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 【教学过程】： 一、 问题情景： 问题1： 由初中学习我们可以知道： （2+3x ）+(1-4x)=3-x 猜想： （2+3i ）+(1-4i)= ？ 二、 建构数学 1、复数减法的运算法则 问题 2：用字母表示数，你可以表示复数的运算法则和运算律吗？ (1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,（a,b,c,d ∈R ）那么： z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 显然，两个复数的和仍是一个复数，复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有： z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 2、复数减法的运算法则 定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi （x,y ∈R ），叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作：x+yi ＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义，有c+x=a ， d+y=b 由此，x=a －c ， y=b －d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a －c) + (b －d)i 显然，两个复数的差仍然是一个复数 由此可见： 两个复数相加(减)就是把实部与实部，
高考全国卷Ⅰ文科数学复数及其运算汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 复数及其运算 一、选择题 【2017，3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2(1)i i + B ．2(1)i i - C ．2(1)i + D ．(1)i i + 【2016，2】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 【2015，3】已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=( ) A ．-2-i B ．-2+i C ．2-i D ．2+i 【2014，3】3．设1 1z i i =++，则|z |=( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．2 【2013，2】212i 1i +(-)＝( )． A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．1 1i 2- 【2012，2】复数32i z i -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 【2011，2】复数5i 12i =-（ ）. A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 解 析 一、选择题 【2017，3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2(1)i i + B ．2(1)i i - C ．2(1)i + D ．(1)i i + 解：22(1)121210i i i i +=++=+-=，故选C 【2016，2】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）
A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 解析：选A ． 由题意()()()()12i i 221i a a a ++=-++，故221a a -=+，解得3a =-． 【2015，3】已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=( ) A ．-2-i B ．-2+i C ．2-i D ．2+i 解：选C ． z=11112i z i i i += +=-+=-． 【2014，3】3．设11z i i =++，则|z |=( ) A ．2 1 B ．2 2 C ．2 3 D ．2 解：选B ．111,1222i i z i i z i -=+=+=+∴==+B ． 【2013，2】2 12i 1i +(-)＝( ) A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2 - 解析：选B ．212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2 -. 【2012，2】复数32i z i -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 【解析】选D ．因为(3)(2)551(2)(2)5i i i z i i i -+--+= ==-++-，所以1z i =--． 【2011，2】复数5i 12i =-（ ）. A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【解析】选C ．()()()()5i 12i 5i 12i 5i 2i 12i 12i 12i 5++===-+--+.
复 数 的 运 算 法 则
复数基础——复数的基本运算_2 回顾复数 复数的基本运算 回顾复数 将下列数字写成复数形式： ?简单复习一下，复数是包含实数部分和虚数部分的数。 如果有a+bi，a是实数，b是实数，这是复数。a是实部，bi是虚数部分（注：虚部不包括i）。 为什么bi是虚部？因为bi带有特殊系数i，这个虚数单位，这个特殊的数i，在这里乘以了b。我相信大家都会觉得怪诞，不过根据定义：?在此之前，不存在对某个数取平方后得到-1，现在取i的平方，得到-1，关于虚数（单位）的特别的知识点是它的平方是负数。复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程，这些方程在只允许实数解的情况下无解。复数在很多方面都有用，特别是在工程领域，还有其他领域，比如物理等等。现在，我们不会花很多心思讨论复数定义，在大家处理更多数字后，特别是接触到某些工程应用后，希望大家明白虚数的价值。 回到问题中来，把上面的数字写成复数形式。 ?怎么把它写成复数呢？把它写成实部和虚部的组合。可以写成： -21 = -21+0i ?0i等于0，所以它仍等于-21，实际上这里没有虚部，-21本身就是复数形式，很简单。同样的：
7i是虚数形式的，所以这里没有实部，实部是0，虚部是7i，所以等于0 + 7i。 复数的基本运算 很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况，比如根号下-1或者-9：由于如何实数的平方不是0就是正数，所以以上两个数这些没有定义，为了定义这些数，人们引入i的概念，i是虚数单位，i的定义是：这就是解决了根号下负数的问题，这样一来，根号下-9是多少呢？它等于i乘以根号9，即3i， 为什么，想想3i平方是多少？ 这是指数性质。所以，这样的定义就拓展到了，所有负数开根号的情况： 3i是所谓的虚数，它其实也不比其他数“虚”，某种意义上，负数真的存在吗？只不过是将负号放在前面表示抽象含义，负号只是表示它和大小的关系。任何数乘以虚数单位i都是虚数。解二次方程时，你会发现结果有时会实数和虚数并存（有实数部分和虚数部分），举个例子：这不能化简了，因为实数和虚数不能相加，大家可以把这当作不同维度，一个数有实部5，还有虚部2i，这叫做复数。复数可以在平面中表示：虚数也就是虚轴，在纵轴2i，上图表示为2个单位。 实数也就是实轴，在实轴5，上图表示为5个单位。 所以这个图形表示为：5+2i。在以后讲复数应用时，我还会举更多例子，现在只需要知道定义即可。看看有什么运算，两复数相加怎么做：a是实部，bi是虚部，另一个复数是：
复数的基本知识
补充复数的基本知识： 1、虚数单位 由于在实数集R 内负数不能开平方，所以在实数集内方程012=+x 无解。引入虚数，虚数单位符号为j ，并规定 （1） 它的平方等于-1，即12-=j ； （2）j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。 性质：j j =1；12-=j ；j j -=3；14=j 一般地，对于任意整数n ，有： 14=j n ；j j n =+14；124-=+j n ；j j n -=+34 2、复数集 定义：形如),(R b a bj a ∈+的数称为复数。 通常用大写拉丁字母Z 表示一个复数，即),(R b a bj a Z ∈+= 其中 a 称为复数Z 的实部，a Z =)Re(； b 称为复数Z 的虚部，b Z =)Im(； 举例：j 32+，j 51-+，j 3的实部、虚部？ ??? ???????≠=≠???=+)0a ()0a ()0b ()0b (非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数bj a 3、复数的相等及共轭复数 定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即 d b c,a dj c ==?+=+bj a 定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为
共轭复数。 复数bj a Z +=的共轭复数记作bj a Z -= 例：3j 2j,1++的共轭复数 注：b a bj a bj a 22))((+=-+ 4、复数的几何表示（复平面） 任何一个复数bj a +都可以由一对有序实数)b ,a (唯一确定；反之，任何一对有序实数)b ,a (都能唯一确定一个复数bj a +；因此，复数bj a Z +=与平面直角坐标系中的点)b ,a (Z 是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为a ，纵坐标为b 的点)b ,a (Z 表示复数bj a Z +=。 用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。 复数bj a Z +=与复平面上的点)b ,a (Z 是一一对应关系。即 复数bj a Z +=?点)b ,a (Z 矢量（或向量）：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图所示：
复数的三角形式的运算(一) 教案示例
复数的三角形式的运算(一)·教案示例 目的要求 1．掌握复数三角形式的乘法运算法则． 2．理解复数三角形式的乘法运算的几何意义，并能简单地应用． 内容分析 1．在代数形式下，两个复数的乘积(a ＋bi)(c ＋di)按照多项式展开，从而得出乘法运算法则．在三角形式下，两个复数的乘积r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)仍可按代数形式(r1cos θ1＋ir1sin θ1)(r2cos θ2＋ir2sin θ2)来计算．但这样运算较繁杂，而且没有体现出三角形式下模与辐角的特征和作用，因此很有必要研究两个复数的乘积的结果(也是一个复数)的模与原来两个复数的模、辐角与原来两个复数的辐角之间的关系． 2．三角形式下两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的乘法公式及法则： r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 即，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和． 上述法则中，注意“积的辐角等于这两个复数的辐角的和”指的是积的辐角的集合等于原来两个复数的辐角集合中各自任取一个，求和角，所有和角组成的集合．而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主 值的和．如－＝π，－＝π，－－＝＝π≠π＋π．arg(i)arg(1)arg[(i)(1)]argi 32232 arg(z1·z2)与argz1、argz2的关系是 arg(z1·z2)＝argz1＋argz2＋2k π(k 取某一整数) 其中整数k 使argz1＋argz2＋2k π∈[0，2π)． 3．根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下： 在复平面内作出z1、z2对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角θ2(若θ2＜0，则 按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量 就表示积z1z2． 也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩．旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小． 4．将两个复数相乘的结果推广到有限个复数相乘，即为 r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rn(cos θn ＋isin θn) ＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)](n ≥2)． 可以用数学归纳法说明： 1°当n ＝2时，乘法公式成立．
复数的基本运算C语言
复数的基本运算C语言标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
#i n c l u d e #include
复数的运算(一)
课题：4．2复数的运算（一） 教学目的：掌握复数的加法运算及意义 教学重点：复数加法运算． 教学难点：复数加法运算的运算率 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21 i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复 a bi a b R 数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示* 3. 复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即(,) =+∈，把复 z a bi a b R 数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当 a bi a b R 且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都 是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： ∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实 轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序
复数的运算法则
复数的运算法则（加减乘除) 加法法则 复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。 复数的加法满足交换律和结合律， 即对任意复数z1,z2,z3,有：z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 减法法则 复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。 乘除法 乘法法则 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。 除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di
的商 运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数. 除法运算规则： ①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b 解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2) 于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i 分母有理化 ②利用共轭复数将分母有理化得（见右图）： 点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。
复数的基本概念与基本运算
复数的基本概念与基本运算 一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三
角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数 z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i
复数运算的基本法则
复数运算的基本法则 1．复数的相等： ,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈） 2．复数z a bi =+的模（或绝对值）： ||z =||a bi + 3．复数的四则运算法则： ⑴()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; ⑵()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; ⑶()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; ⑷2222()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++. 4．复数的乘法的运算律： 对于任何123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ?=?. 结合律:123123()()z z z z z z ??=??. 分配律:1231213()z z z z z z z ?+=?+? . 5．复平面上的两点间的距离公式： 12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）. 6．向量的垂直： 非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则 12OZ OZ ⊥ ?12z z ?的实部为零?21 z z 为纯虚数?2221212||||||z z z z +=+ ?2221212||||||z z z z -=+?1212||||z z z z +=-?0ac bd +=?12z iz λ= (λ为非零实数). 7．实系数一元二次方程的解： 实系数一元二次方程2 0ax bx c ++=， ①若2 40b ac ?=->, 则1,2x =
复数 教案(绝对经典)
复 数 复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小． 【复习指导】 1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义． 2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础。 基础梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模 向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，实际上就是指复平面上的点Z 到原点O 的距离；|z 1－z 2|的几何意义是复平面上的点Z 1、Z 2两点间的距离． (2)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )?Z (a ，b )?OZ → . 3．复数的四则运算 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2 ＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．
复数的乘法及其几何意义
[文件] sxgdja0012.doc [科目] 数学 [年级] 高中 [章节] [关键词] 复数/乘法/几何意义 [标题] 复数的乘法及其几何意义 [内容] 北京市五中 肖钰 教学目标 1.掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程． 2.掌握复数乘法的几何意义． 3.让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法． 4.培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力． 教学重点与难点 重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算． 难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握． 教学过程设计 师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完 成以下两道题的演算． （利用投影仪出示） 1.（1－2i ）（2+i ）（4+3i ）； 2.化复数－ ?? ? ??+3cos 3sin 21ππi 为代数形式和三解形式． （5分钟后） 师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的三角形式概念及复数代数形式与三角形式的互化．答案是：?? ? ??+-- 67sin 67cos 21; 4143ππi i ．如果有的同学演算 错了，应想一想怎样错的?错的原因是什么?怎样纠正? 请同学们再考虑下面一个问题： 如果把复数z 1，z 2分别写成 z 1＝r 1（cos θ1+sin θ1）， z 2＝r 2（cos θ2+isin θ2）． z1·z2这乘法运算怎样进行呢? 想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意义． （教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程） 学生板演： z1·z2＝（cos θ1+isin θ1）·r 2（cos θ2+isin θ2） ＝（r 1cos θ1+ir1sin θ1）·（r2cos θ2+ir2sin θ2） ＝（r 1r 2cos θ1cos θ2－r 1r 2sin θ1sin θ2）+i （r 1r 2sin θ1cos θ2+r 1r 2cos θ1sin θ2） ＝r 1r 2［（cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2）+i （sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］ ＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］． 师：很好，你是怎样想出来的?为什么这样想?
复数运算的演示程序.
复数运算的演示程序 【实验题目】 实验1.抽象数据类型? 【问题描述】 用C或C++语言设计并实现一个可进行复数运算的演示程序。 【基本要求】 1.由输入的实部和虚部生成一个复数 2.两个复数求和 3.两个复数求差 4.两个复数求积 【实现提示】 定义复数为由两个相互之间存在次序关系的实数构成的抽象数据类型，则可以利用实数的操作来实现复数的操作。 (下面的内容由学生填写，格式统一为，字体：楷体，行距：固定行距18,字号：小四) 一、【实验构思(Conceive )】(10%) (本部分应包括：描述实验实现的基本思路，包括所用到的离散数学、工程数学、程序设计、算法等相关知识) 复数由实部和虚部构成，可以通过一个含有两个元素的结构体来实现复数的表示，并且通过接受用户的输入，可以实现复数的生成。对于复数的四则运算，可以编写四个函数，通过函数的调用来实现相应的运算。 加减法：(a + bi )±(c + di) = (a ± c ) + (b ± d) i 乘法：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc ) i a bi _ (a bi)(c _di) (ac bd)(bc -ad)i 除、：c di _ c2 d2「c2 d2 二、【实验设计(Design)】(15%) (本部分应包括：抽象数据类型的功能规格说明、主程序模块、各子程序模块的伪码说明，主程序模块与各子程序模块间的调用关系)
功能：能够显示和构造复数，并且能进行复数的加减乘除运算。主程序模块：void main() { float a,b,c,d; fushu f1,f2,plu,min,mul; printf(" 请按实部虚部的顺序依次输入两个复数："); scanf("%f%f%f%f",&a,&b,&c,&d); getfushu (f1,a,b); /* 调用getfushu 函数，构造复数f1*/ getfushu (f2,c,d); /* 调用getfushu 函数，构造复数f2*/ printf("\n 您输入的第一个复数是:"); printfushu (f1); printf("\n 您输入的第二个复数是:"); printfushu (f2); plusfushu (plu,f1,f2); /* 调用plusfushu 函数，使复数f1，f2 相加*/ printf("\n 相加结果为:"); printfushu (plu); minusfushu (min,f1,f2); /* 调用minuscomplex 函数，使复数f1，f2 相减*/ printf("\n 相减结果为:"); printfushu (min); multifushu (mul,f1,f2); /* 调用multifushu 函数，使f1，f2 相乘*/ printf("\n 相乘结果为:"); printfushu (mul); printf("\n"); } 子程序模块：void getfushu (fushu& f,float a,float b); /* 构造复数*/ void plusfushu (fushu& plu, fushu f1, fushu f2); /* 实现复数的相加*/ void minusfushu (fushu& min, fushu f1, fushu f2); /* 实现复数的相减*/ void multifushu (fushu& mul, fushu f1, fushu f2); /* 实现复数的相乘*/ void printfushu (fushu f); /* 显示复数*/ 、【实现描述( Implement )】(25%) 本部分应包括：抽象数据类型具体实现的函数原型说明、法、 关键操作实现的伪码算 函数设计、函数间的调用关系，关键的程序流程图等，给出关键算 法的时间复杂度分析。) void getfushu (fushu& f,float a,float b); 通过接受两个数据来构造一个复数f，其中a为复数的实部，b为复数的虚部。 void plusfushu (fushu& plu, fushu f1, fushu f2); 接收两个复数，并对其进行加法运算，将运算结果保存在plu 里。 void minusfushu (fushu& min, fushu f1, fushu f2); 对复数f1，f2 进行减法运算，并将运算结果保存在min 里。 void multifushu (fushu& mul, fushu f1, fushu f2); 对复数f1，f2 进行乘法运算，并将运算结果保存在mul 里。void printfushu (fushu