(完整版)1.1复数的表示及其运算
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参考答案
否. 唯有 z 0的情况特殊, 它的模为零而辐角不确定.
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 1） 两复数的和差: z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ). 2） 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
实部（Real）
记做：Re(z)=x
虚部(Imaginary) 记做：Im(z)=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
即 设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 则 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 .
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 即
复数不能比较大小!!!
4、复数的几何表示
(1) 复数的点表示及复平面
复数 z x iy 与有序实数对 (x, y) 成一一 对应，若把 有序实数对 (x, y)作为平面上的坐标，建立直角坐标系oxy,
则可将复数与复平面上的点一一 对应起来, 建立数点等同
第一节 复数及其表示 第二节 复变函数
一、复数的概念及其表示 二、复数的运算 三、复球面及无穷大 小结与思考
一、复数的概念及其表示
——“复合”而成的数 1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解.
为了解方程的需要 ,引入一个新数 i, 称为虚数单位.
对虚数单位的规定: (1) i2 1; 即 i 1;
复数为什么不能比较大小？
参考答案
观察复数 i 和 0, 由复数的定义可知 i 0, (1) 若 i 0, 则 i i 0 i, 即 1 0, 矛盾; (2) 若 i 0, 则 i i 0 i, 同样有 1 0, 矛盾. 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
思考题2
是否任意复数都有辐角?
Байду номын сангаас
3）两复数的商: z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
说明：复数的四则运算规律与实数的四则运算规律 保持一致
2. 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为z. 即：若 z x iy, 则 z x iy.
(3) z sin i cos ;
5
5
解 (1) r z 12 4 4,
z 在第三象限,
arctan
2 12
π
arctan
3
3
5,
6
z
4
cos
5 6
i
sin
5 6
5 i
4e 6 .
(2) z 12 2i
r z 12 4 4,
z 在第二象限,
arctan
的观念，这称为复数的点表示法.
y
横轴即x轴上的点对应复数的实部，
虚轴
所以也称x轴为实轴；
y
纵轴即y轴上的点对应复数的虚部，
z x iy
(x, y)
所以也称y轴为虚轴；
oxx
由实轴和虚轴确定的平面称为复平面.
实轴
（2）复数的向量表示
复数z x iy也可用复平面上的向量OP 表示 向量具有两个重要的属性：长度、方向. （ⅰ）复数的模 该向量的长度称为 z 的模或绝对值, y
z 0 辐角的主值
arg z
arctan y , x
π , 2
arctan y π , x
π,
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0, y 0.
(其中 arctan y )
2
x2
（ⅲ） 复数模的三角不等式
z1 z2 z1 z2 z1 z2
(2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算.
(3)虚数单位的特性:
i1 i; i2 1; i3 i i2 i; i4 i 2 i 2 1; ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
nZ.
i:虚数单位 2. 复数的代数形式的定义:
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数.
记为 z r x2 y2 .
显然成立： x z, y z,
z x y,
y r
o
Pz x iy
x
x
（ⅱ）复数的辐角(argument)
在 z 0的情况下,以正实轴为始边, 以表示z 的
向量OP 为终边的角 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
y
说明 任何一个复数z 0有 y
等号成立的充要条件是 z1, z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z2 z1 z2
z1 z2
z1
o
x
5、 复数的三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos
y
r
sin
复数可以表示成
z x iy
r(cos i sin )
6、 复数的指数表示法
利用Euler公式
欧拉资料
ei cos i sin ,
2 12
+π
arctan（-
3)
3
5,
6
z
4
cos
5 6
i
sin
5 6
5i
4e6 .
(3) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin
5
cos
2
5
cos
3
10
,
cos
5
sin
2
5
sin
3
10
,
z cos 3 i sin 3
10
10
3 i
e10 .
思考题1
则复数z r(cos i sin )可以表示为：
z rei
小结
本课学习了复数的有关概念、性质、四种表 示形式及相关的运算. 重点掌握复数的四种表示 形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形 式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; (2) z 12+2i;
Pz x iy
无穷多个辐角.
o
x
x
如果1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ (k为任意整数). 特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z.
否. 唯有 z 0的情况特殊, 它的模为零而辐角不确定.
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 1） 两复数的和差: z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ). 2） 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
实部（Real）
记做：Re(z)=x
虚部(Imaginary) 记做：Im(z)=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
即 设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 则 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 .
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 即
复数不能比较大小!!!
4、复数的几何表示
(1) 复数的点表示及复平面
复数 z x iy 与有序实数对 (x, y) 成一一 对应，若把 有序实数对 (x, y)作为平面上的坐标，建立直角坐标系oxy,
则可将复数与复平面上的点一一 对应起来, 建立数点等同
第一节 复数及其表示 第二节 复变函数
一、复数的概念及其表示 二、复数的运算 三、复球面及无穷大 小结与思考
一、复数的概念及其表示
——“复合”而成的数 1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解.
为了解方程的需要 ,引入一个新数 i, 称为虚数单位.
对虚数单位的规定: (1) i2 1; 即 i 1;
复数为什么不能比较大小？
参考答案
观察复数 i 和 0, 由复数的定义可知 i 0, (1) 若 i 0, 则 i i 0 i, 即 1 0, 矛盾; (2) 若 i 0, 则 i i 0 i, 同样有 1 0, 矛盾. 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
思考题2
是否任意复数都有辐角?
Байду номын сангаас
3）两复数的商: z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
说明：复数的四则运算规律与实数的四则运算规律 保持一致
2. 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为z. 即：若 z x iy, 则 z x iy.
(3) z sin i cos ;
5
5
解 (1) r z 12 4 4,
z 在第三象限,
arctan
2 12
π
arctan
3
3
5,
6
z
4
cos
5 6
i
sin
5 6
5 i
4e 6 .
(2) z 12 2i
r z 12 4 4,
z 在第二象限,
arctan
的观念，这称为复数的点表示法.
y
横轴即x轴上的点对应复数的实部，
虚轴
所以也称x轴为实轴；
y
纵轴即y轴上的点对应复数的虚部，
z x iy
(x, y)
所以也称y轴为虚轴；
oxx
由实轴和虚轴确定的平面称为复平面.
实轴
（2）复数的向量表示
复数z x iy也可用复平面上的向量OP 表示 向量具有两个重要的属性：长度、方向. （ⅰ）复数的模 该向量的长度称为 z 的模或绝对值, y
z 0 辐角的主值
arg z
arctan y , x
π , 2
arctan y π , x
π,
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0, y 0.
(其中 arctan y )
2
x2
（ⅲ） 复数模的三角不等式
z1 z2 z1 z2 z1 z2
(2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算.
(3)虚数单位的特性:
i1 i; i2 1; i3 i i2 i; i4 i 2 i 2 1; ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
nZ.
i:虚数单位 2. 复数的代数形式的定义:
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数.
记为 z r x2 y2 .
显然成立： x z, y z,
z x y,
y r
o
Pz x iy
x
x
（ⅱ）复数的辐角(argument)
在 z 0的情况下,以正实轴为始边, 以表示z 的
向量OP 为终边的角 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
y
说明 任何一个复数z 0有 y
等号成立的充要条件是 z1, z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z2 z1 z2
z1 z2
z1
o
x
5、 复数的三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos
y
r
sin
复数可以表示成
z x iy
r(cos i sin )
6、 复数的指数表示法
利用Euler公式
欧拉资料
ei cos i sin ,
2 12
+π
arctan（-
3)
3
5,
6
z
4
cos
5 6
i
sin
5 6
5i
4e6 .
(3) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin
5
cos
2
5
cos
3
10
,
cos
5
sin
2
5
sin
3
10
,
z cos 3 i sin 3
10
10
3 i
e10 .
思考题1
则复数z r(cos i sin )可以表示为：
z rei
小结
本课学习了复数的有关概念、性质、四种表 示形式及相关的运算. 重点掌握复数的四种表示 形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形 式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; (2) z 12+2i;
Pz x iy
无穷多个辐角.
o
x
x
如果1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ (k为任意整数). 特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z.