第二章 复习小结2

P
A
O
B
C
2.过⊿ABC所在平面外一点P,作 PO⊥α,垂足为O, 连接PA,PB,PC. (3) 若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是⊿ABC的__垂_心.
P
A
B
O
C
2.过⊿ABC所在平面外一点P,作 PO⊥α,垂足为O, 连接PA,PB,PC.
((41))若P到AB, BC, AC距离相等, 则P在面ABC内的射影为ABC的 _内__心__.
面内，P、Q 分别是对角线 AE、BD上的点，且 AP=DQ，
求证：PQ //平面CBE.
E
证明：如图作 PM//AB，QN//AB，
则 PM// QN .
F
M B
∴
PM AB
EP ， EA
QN DC
BQ BD
.
P
由题意
AP
DQ，EA
BD，
EP
A
BQ .
∴ PM QN ， 又 AB DC， PM QN . AB DC
∴ 正方体的对角线是球的直径，
2R a2 a2 a2 3a, R 3 a.
2
A
V球
4 R3
3
4(
3
3 a)3 2
3 a3 .
2
S球 4 R2 4 (
3 a)2 3 a2 .
2
例2 正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连CE，
求CE和平面BCD所成角的正弦值.
解: 过A作 AO⊥面BCD于O，
综上： PM//EB， MQ//BC，
∴ 平面PMQ//平面CBE.
∴ PQ//平面CBE.
4. 如图所示,已知 AE⊥平面EBC,EO⊥平面ABC于O， 求证：AO⊥BC.
A
证明： ∵ AE⊥平面EBC，
∴ AE⊥BC .
O E
∵ EO⊥平面ABC， ∴ EO⊥BC . C 又 AE∩EO=E ，
∴ AC⊥VB.
2.过⊿ABC所在平面外一点P,作 PO⊥α,垂足为O, 连接PA,PB,PC. (1) 若PA=PB=PC,则点O是⊿ABC的____外__心.
P
A
B
O
C
2.过⊿ABC所在平面外一点P,作 PO⊥α,垂足为O, 连接PA,PB,PC. (2) 若PA=PB=PC，∠C=90°,则点O是__A_B_边__的__中__点______.
F，求证：
AB BC
DE EF
.
（教材63页B组3题）
l
m
α
β
γ
证明：连接D，C与平则面平β面交A于C点DG与，平面α，β分别相交
于AD，BG，平面DCF与β，γ分别相交于GE，CF。
l
m
α//β
I 面ACD AD I 面ACD BG
β//γ
I 面CDF CF I 面CDF GE
AD//BG
.
最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的 角.
例5：求证三个两两垂直的平面的交线两两垂直 .
已知： ， ， ，
且 a， b， c， c
求证：a b，b c，c a .
a
证明：在 内任取一点 P， 作 m a，n b，
∴ BC⊥平面AOE .
B
∴ BC⊥AO .
4. 如图所示,已知 AE⊥平面EBC,EO⊥平面ABC于O， 求证：AO⊥BC.
A
证明2：∵ EO⊥平面ABC，
∴ OA是EA在平面ABC上的射影 .
O
又 AE⊥平面EBC，
E
C ∴ BC ⊥ AE.
∴ BC⊥AO .
B
（三垂线定理的逆定理）
练习5. 如图在正方体中ABCD-A1B1C1D1，G , P , Q , J, I, R 分别为正方形相应棱的中点．求证:这六点共面.
∴ PMNQ为平行四边形. PQ// MN .
C N Q D
又 PQ / 平面CBE，MN 平面CBE ，
∴ PQ//平面CBE.
3. 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平
面内，P、Q 分别是对角线 AE、BD上的点，且 AP=DQ，
求证：PQ //平面CBE.
E
证法2：连结 AQ 交BC于M，
∴ PM和PN所成的角即为 AB和CD所成的角.
在△PMN中，由余弦定理得
B
N. M
P.
D
C
cos NPM PN 2 PM 2 MN 2 1， NPM 120.
2PN PM
2
∴ AB和CD所成的角为 60.
求异面直线所成的角的常用方法——平移法 基本策略： 利用平移将求空间异面直线所成角转化为平面求角问题 完成课本P48的练习1,2
P.
A
.
B
O
C
3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定 平行吗？
答：不一定平行.
例4.已知平面α的斜线l的斜足为O，射影为直线a （如图），直线b是α内过O的直线.若直线l与平面α 所成角为θ1，a,b所成角为θ2，l ,b所成角为θ，求证：
cos cos1 cos2
证明：过斜线l上一点P向α引垂线PQ,垂足为Q，
. b
m
nP
， ，
m ，n ，（面面垂直的性质定理）
又 c， m c，n c，
c . 又 a， b，
b c，c a . 同理可证 a b .
2. 已知平面α//平面β//平面γ，且两条直线l,m分
别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，
A
则由题意知O是△BCD的中心，
E
连DO交BC于F，则F为BC中点. B
D
过E作 EG⊥DO于G， 则EG⊥面BCD, 连CG，ECG 为所求角F .
O
G
C
设正四面体ABCD棱长为1，则
CE
3 2
,
DF
3 2
,
OD
3 3
,
AO
AD2 OD2
6 3
,
EG
6 6
,
sinECG
EG EC
2 3
连结 EM，∵ AD//BC， F
AQ QM
DQ QB
B P
C
M
Q
由题意: AP DQ，AE DB， A
D
∴
DQ AP ， QB PE
AQ QM
AP PE
∴ PQ//EM， 又 PQ / 平面CBE，EM 平面CBE ， ∴ PQ//平面CBE.
3. 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平
O1
C1 连A1M，在A1O1M中
B1
A1M 22 12 5,
11 O1M 2 BD1 2
22 12 22 3 , 2
D A
M B
1 C A1O1 2
22 12
5, 2
由余弦定理得 cos A1O1M
5, 5
A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 .
5
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
D1
C1 （2）作NQ//AM,取AB中点P，连
A1
M
B1
PB1，则NQ// PB1//AM,∠QNC为异 面直线AM与CN所成的角(或补角)
N D
∵ BQ=1, BN=2,
C QN 5 ，QC 17 ，NC 2 5 ，
在△QNC中，由余弦定理得
A
P
QB
cos QNC NQ 2 NC 2 QC 2 2 为所求.
AB DG α
BC GC
G•
β
EG//CF
DE DG EF GC
γ
AB DG DE BC GC EF
AB DE BC EF
两直线被三平行平面所截，截得的对应线段成比例.
练习1. 如图，平行四边形ABCD所在平面外一点P，E、F分别在
PA、BD上，PEEA
BF FD
，求证：EF//平面PBC.
面内，P、Q 分别是对角线 AE、BD上的点，且 AP=DQ，
求证：PQ //平面CBE.
E
证法3：如图作 PM//EB，连结 MQ ,
则
AP AE
AM ， AB
F
由题意: AP DQ，AE DB，
∴
DQ DB
AM ， ∴ AB
MQ//AD，
B P
M A
C Q
D
又 AD//BC， ∴ MQ//BC，
方法归纳： 补形法 如正方体、长方体等，其目的在于易于发
现两条异面直线的关系。
3.球面上有四个点P、A、B、C，且PA、PB、
PC两两垂直，PA=PB=PC=a，求这个球的体积 和表面积.
解：∵PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=a，
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可构造正方体.
C B
P
又 P、A、B、C四个点在球面上，
解：由题意知: GP // A1B // D1C // IJ 即 GP // IJ ∴ G、P、J、I 共面 . 又 PI // BC1// QJ 即 PI // QJ G ∴ Q 、 P 、 I 、J 共面 .
I J
与 重合. (公理2)
Q.
同理 R.
故这六点G , P , Q , J, I, R 共面.
过Q在平面α作QM⊥b于M， 连结PM.
Q PQ , b , b PQ. 又b QM , 且PQ I QM Q，
b 面PQM . 又PM 面PQM ,b PM. l
在Rt△POQ中，cos1
OQ OP
,
P
在Rt△QOM中，cos2
OM OQ
,
在Rt△POM中，cos OM ,
OP
AA1、CC1 的中点，求证：平面BDF // 平面B1D1E .
D1
A1
.E D
C1
. B1 F
.
G
C
证明：取BB1 的中点G，连 EG、C1G 则 EG // A1B1 又 D1C1 // A1B1 EG //D1C1
∴ 四边形EGC1D1是平行四边形
∴ D1E//C1G
A
B
又 BG //C1F
练习6.正方体中，试画出过其中三条棱的中点
P,Q,R的平面截得正方体的截面形状．
解：
H
I
J
G F
E
可以证明截面形状为正六边形.
7.空间四边形ABCD中,若M、N分别为对角线BD、AC的中
点，AB=CD=2，MN= 3 ，求AB和CD所成角的大小.
解: 如图取BC的中点P，连结MP、NP， A
则由题意 PM//CD， PN//BA，
2NQ NC
5
2 .长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm， 求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
解： 如图，连B1D1与A1C1 交于O1，
取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B， 于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）
D1 A1
证明：连结AF并延长交BC于G，连PG，在平行四边形ABCD中，
P
∵ △BFG ∽△DFA ，
E
GF BF . FA FD
A
D
F B
G
C
PE EA
BF ， FD
GF FA
PE EA
.
EF // PG .
PG 平面PBC ，EF / 平面PBC EF // 平面PBC .
练习2. 已知正方体ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是
为所求.
例3. 解： 如图，在射线AC
β
C
A
B
D
l
α
或 135°.
课堂练习：教材67页练习
1.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,
求证：VB⊥AC.
V
证明：取AC的中点M, 连接VM,BM,
则由题意：VM⊥AC, BM⊥AC,
又 VM∩BM=M，
A
M.
C
∴ AC⊥平面VMB.
B
又 VB 平面VMB,
BC1的长方体B1F，
连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 D1
C1
F1
所成的角(或补角)，
A1
B1
E1
在A1C1E中，
D
C
A1C1 5, A1E 2 5, C1E 3 A
F
B
E
由余弦定理得 cos A1C1E
5 5
A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 5
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
第二章 复习小结 （二）
【知识回顾】
例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4. (1) 求直线BA1和C1D， BA1和AD1所成的角的大小
(2) 若M，N分别为棱A1B1和B1B的中点，
求直线AM与CN所成的角的余弦值.
解：(1)BA1和C1D所成的角 900 ,BA1和AD1所成的角 600
OM OQ
,
在Rt△POM中，cos OM ,
OP
O
a
Q Mb
cos 1
cos2
OQ OP
OM OQ
OM OP
cos .
P
三面角余弦公式:
cos cos1 cos2
由于 0 cos 2 1 ,
1
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Q
O 2
M
cos cos1 cos2 cos1
Q
cos
在 (0 ， ) 为减函数，
2
1
O
a
Q
Mb
证明：过斜线l上一点P向α引垂线PQ,垂足为Q，
过Q在平面α作QM⊥b于M， 连结PM.
Q PQ , b , b PQ. 又b QM , 且PQ I QM Q，
b 面PQM . 又PM 面PQM ,b PM. l
在Rt△POQ中，cos1
OQ OP
,
P
在Rt△QOM中，cos2
∴ 四边形BGC1F是平行四边形 ∴ BF//C1G ∴ BF//ED1
又 BD // B1D1 ，且BF I BD B ,BF 面B1D1E, BD 面B1D1E,
ED1 面B1D1E, B1D1 面B1D1E ,
平面BDF // 平面B1D1E .
3. 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平