第二章 小结与复习
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这三个数，又可构成等比数列，且这三个数 的和为 6 ，求这三个数.
解：由已知可设这三个数为：a d ，a，a d ，则
a d a a d 6 即 a 2，
这三个数为：2 d ，2，2 d . (1) 若 2 为等比中项，则 22 (2 d )(2 d )，
解得 d 0， 此时三个数为：2，2，2 .
an 2 (n 1) 4 4n 2, bn 2 (n 1) 6 6n 4.
令 an 4n 2 190, 则 n 48.
令 bn 6n 4 200, 则 n 34.
设 由
an bm , 则 n 3m 1
2
4n 48,
2 得
6m 4, m 97
3
即 n 3m 1 . (n ，m 2
2
2
2
2
3 n2 205 n 3502
2
2
综上①②得
Tn
3
3 n2 2 n2
205 2
205 n
n
3502
(n 34) (n 35)
2
2
例3. 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn ,
a3 6 , S3 12 ,
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：S11
1 S2
1个月后 2个月后 3个月后
…… 23个月后 24个月后
10000 元贷款的本金与它的利息之和
10000(1 0.4575%) 元 10000 (1 0.4575 %)2 元 10000 (1 0.4575 %)3 元
10000 (1 0.4575 %)23 元 10000 (1 0.4575 %)24 元
第二章 小结与复习
知识结构：
主要概念
数列的通项公式 数列的递推公式
与函数的联系
数列
数列的前n 项和 概念
等差数列 性质
常用数列
应用 概念
综合应用
等比数列 性质
应用
10.（教材P46习题2.3A组第6题）
解：设等差数列2，6，10，…，190为{an}，公差为d1， 等差数列2，8，14，…，200为{bn}，公差为d2，则
1个月后还 x元 2个月后还 x元 3个月后还 x元
…… 23个月后还 x元 24个月后还 x元
各月所付款额与它的利息之和
x (1 0.4575 %)23 元 x (1 0.4575 %)22 元 x (1 0.4575 %)21 元
x (1 0.4575 %) 元 x元
解：设每月还款额 x 元，则根据到期偿还贷款的含义：
例例53.. 三个数成等比数列，它们的积为64，
它们的和为14，求这个数列.
解：设这三个数分别为 a ，a ，aq，则
a q
a
aq
64
q
(1)
a
a
aq
14
(2)
q
由(1) 得 a 4，代入 (2) 得 2q2 5q 2 0，
解得：q 1 或 2 . 2
故所求数列为：8，4，2 或 2，4，8 .
, m {1，3，5， ，31},
N
*
)
故两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成的数列为：
b1 , b3 , b5 , , b31 , 它是等差数列且公差为 d 2 6 12.
S b1 b3 b5 b31
16 2 1615 12 2
1472.
例例61 已知等差数列{an } 前 n 项和为 Sn ， a3 12 ，S12 0 ，S13 0 .
这三个数为：2 d ，2，2 d . (2) 若 2 d 为等比中项，则 (2 d )2 2(2 d )，
解得 d 6 或 d 0， 此时三个数为：2， 4，8 或 2，2，2 . (3) 若 2 d 为等比中项，则 (2 d )2 2(2 d )，
解得 d 6 或 d 0， 此时三个数为：8， 4，2 或 2，2，2 . 综上所述所求三个数为： 4，2，8 或 2，2，2 .
求：(1)公差d 的取值范围；
(2)指出S1，S2，… S12中哪一个值最大,并说明理由.
解:(1)
S12
12a1
12(12 2
1)
d
0
S13
13a1
13(13 2
1)
d
0
2a1 11d 0 a1 6d 0
a3 a1 2d 12 a1 12 2d .
将 a1
12 2d 代入不等式组，得
4Sn an2 2an 1,
4Sn1
a2 n1
2an1
1,
4an
2an
2an1
an2
a2 n1
an2
2an
a2 n1
2an1
(n 2)
an 0 an an1 0
an an1 2 (n 2) 又 a1 1
an 2n 1 从而Sn n2 .
例8 数列{an }中，an 0,2 Sn an 1,
an 3n 104 . 由 an 0 , 得 n 34.7.
即当n≤34时， an 0 ; 当n≥35时， an 0 .
①当n≤34时， Tn | a1 | | a2 | L | an |
a1
a2
L
an
Sn
3 2
n2
205 2
n
.
②当n≥35时，Tn | a1 | | a2 | L | a34 | | a35 | L | an |
L
1 Sn
1.
（1）解：由题意得
a3 S3
a1 2d
3a1
3 2
6 2d
解得 12 ,
a1 2 d 2 .
∴ 数列{an}的通项公式 an 2 (n 1) 2 2n .
例3. 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn ,
a3 6 , S3 12 ,
（1）求数列{an}的通项公式；
Sn Sn1 1
后三个数为 3 ，3q ，6q 3 .
又 3 3q 6q 3 9q 27，得 q 3 .
故所求的四个数为 1 ，3 ，9 ，15 .
变例式12. 有四个数, 前三个数成等比数列，其积为 27 ， 后三个数成等差数列，其和为 27 ，求此四个数.
法2：设这四个数为 (a d)2 ，a d ，a，a d ，
即各月所付款额连同到贷款付清时所产生的利息之和， 应等于贷款本金及贷款付清时的利息之和，即
x 1.004575x 1.00457522 x 1.00457523 x
10000 1.004575 24 ，
即 x 11.00457524 10000 1.004575 24 ， 11.004575
x
说 明：
当已知三数成等比数列且积一定时，
可设三数为：a ，a ，aq . q
当已知四数成等比数列且积一定时，
可设四数为： a q3
，a q
，aq ，aq 3
.
变例式12. 有四个数,前三个数成等比数列，其积为27， 后三个数成等差数列，其和为 27 ，求此四个数. 解：设这四个数为 a ，a ，aq，2aq a， q 则 a a aq a3 27，得 a 3 . q
.
解：(1) 由已知，当n≥2时，
Sn2
an ( Sn
1 2
)，且
an
Sn
Sn1 ，
S
2 n
(Sn
Sn1 )( Sn
1 2
)，即
2 Sn1 Sn
Sn1
S
，
n
由题意 Sn1 Sn 0，
1 1 2， Sn Sn1
{ 1 } 是首项为1，公差为2 的等差数列. Sn
1 1 (n 1)2 2n 1 , Sn
1 n1
1
n
1
1
1.
（裂项求和法）
例例43.. 若一个三角形的三内角成等差数列，且其中 一个角为 32，则其它两角度数为 ___________
解： 设三内角为 x d ，x，x d ，则
x d x x d 180， 解得：x 60
其它两个角度数为 60，88 .
说 明：
当已知三数成等差数列且和一定时， 可设三数为：a d ，a，a d . 当已知四数成等差数列且和一定时， 可设四数为：a 3d ，a d ，a d ，a 3d .
100001.00457524 (11.004575) 1 1.00457524
440.91，
答：每月应还 440.91 元 .
例7 已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前项和Sn满足
S
2 n
an ( Sn
1 2
)
.
（1）求Sn
的表达式；（2） 设bn
Sn 2n 1
,求
{bn }的前n项和Tn
（2）求证：S11
1 S2
L
1 Sn
1.
（2）解：Q an 2n ,
Sn
n(a1 an ) 2
n(2 2n) n(n 1). 2
1 1 1 L 1 1 1 1 L 1
S1 S2 S3
Sn 1 2 2 3 3 4
n (n 1)
1 1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
L
1 n
1
1 2n
1)
Tn b1 b2 b3 bn
1 2
(1
1 3
1 3
1 5
1 5
1 7
来自百度文库
1 2n
1
1 2n
1
)
1 2
(1
1 2n
1)
.
例8 数列{an }中，an 0,2 Sn an 1,
(1)求Sn
,
an
;
(2)求
证
：1 S1
1 S2
1 Sn
2.
解法一： 2 Sn an 1,
a
则 a d a a d 27， a 9 .
前三个数为 (9 d )2 ，9 d ，9 . 9
又 (9 d )2 (9 d ) 9 27，即 (9 d )3 27， 9
9 d 3， d 6 .
故所求的四个数为 1 ，3 ，9 ，15 .
变式例241. 三个实数构成等差数列，如果适当排列
Sn
1 2n 1
.
例7 已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前项和Sn满足
S
2 n
an ( Sn
1 2
)
.
（1）求Sn
的表达式；（2） 设bn
Sn 2n
1
,求
{bn }的前n项和Tn
.
解：(2)
由(1)知，Sn
1， 2n 1
bn
Sn 2n
1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(
1 2n
2.设每月还 x 元 . 各月所付款额到贷款全部付清时 也会产生利息（同样按月以复利计算）. 各月所付款 额与它的利息之和是多少呢？
3. 到期偿还贷款意味着什么？你能根据 1，2 中的 结果计算每月所付的款额吗？
同学们扮演两种角色，设计如下：首先，充当银行 工作人员计算 10000 元贷款两年后增值多少？其次充当 贷款人的参谋计算每一期付款（设为 x 元）的增值情况. 把有关数据填入课本上的表格.
0 0
aa76
a7 0
即 a6 0 且 a7 0 .
故在 S1 ，S2 ， ，S12 中 S6 最大.
例2.
已知数列{an}的前n项和
Sn
3 2
n2
205 2
n
,
求数列{|an|}的前n项和Tn .
解： Q
an
S1 Sn
Sn1
(n 1) (n 2)
101 3n
104
(n 1) (n 2)
24 7d 0 3 d 0
故
24 7
d
3.
(2)
由
24 7
d 3
知 {an } 是递减数列，
因此在递减数列中，欲Sn 最大，只需
an 0 且 an1 0，
由
S12
S13
12(a1 2
13(a1 2
a12 ) a13 )
0 0
得
aa11
a12 a13
0 0
即
aa76
a7 a7
(1)求Sn
,
an
;
(2)求
证
：1 S1
1 S2
1 Sn
2.
解法二： 2 Sn an 1, 且an Sn Sn1(n 1)
2 Sn Sn Sn1 1 Sn 2 Sn 1 Sn1
( Sn 1)2 ( Sn1 )2 (n 2)
a1 1, an 0 当n 2时，Sn 1
问：能否把10000 (1 0.4575%)24 元除以24 即得每月的付款呢？
我们知道每月所付款也会产生利息 . 即1个月后还的 x 元，相当于把这笔款在银行存 23 个月，2个月后还的 x 元，相当于把这笔款在银行存 22 个月，…… 依次类推， 最后一笔付款 x 元由于全部付清，这一期付款没有利息.
a1 a2 L a34 a35 a36 L an
2(a1 a2 L a34 ) (a1 a2 L an )
Tn 2(a1 a2 L a34 ) (a1 a2 L an )
2S34 Sn
2( 3 342 205 34) 3 n2 205 n
例6.某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上 贷款月均等额还本付息 . 如果贷款 10000 元，两年还清， 月利率为 0.4575%,那么每月应还多少钱呢？
1. 按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利 息 . 在上述问题中，到贷款两年（即24个月）付清时， 10000 元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？
解：由已知可设这三个数为：a d ，a，a d ，则
a d a a d 6 即 a 2，
这三个数为：2 d ，2，2 d . (1) 若 2 为等比中项，则 22 (2 d )(2 d )，
解得 d 0， 此时三个数为：2，2，2 .
an 2 (n 1) 4 4n 2, bn 2 (n 1) 6 6n 4.
令 an 4n 2 190, 则 n 48.
令 bn 6n 4 200, 则 n 34.
设 由
an bm , 则 n 3m 1
2
4n 48,
2 得
6m 4, m 97
3
即 n 3m 1 . (n ，m 2
2
2
2
2
3 n2 205 n 3502
2
2
综上①②得
Tn
3
3 n2 2 n2
205 2
205 n
n
3502
(n 34) (n 35)
2
2
例3. 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn ,
a3 6 , S3 12 ,
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：S11
1 S2
1个月后 2个月后 3个月后
…… 23个月后 24个月后
10000 元贷款的本金与它的利息之和
10000(1 0.4575%) 元 10000 (1 0.4575 %)2 元 10000 (1 0.4575 %)3 元
10000 (1 0.4575 %)23 元 10000 (1 0.4575 %)24 元
第二章 小结与复习
知识结构：
主要概念
数列的通项公式 数列的递推公式
与函数的联系
数列
数列的前n 项和 概念
等差数列 性质
常用数列
应用 概念
综合应用
等比数列 性质
应用
10.（教材P46习题2.3A组第6题）
解：设等差数列2，6，10，…，190为{an}，公差为d1， 等差数列2，8，14，…，200为{bn}，公差为d2，则
1个月后还 x元 2个月后还 x元 3个月后还 x元
…… 23个月后还 x元 24个月后还 x元
各月所付款额与它的利息之和
x (1 0.4575 %)23 元 x (1 0.4575 %)22 元 x (1 0.4575 %)21 元
x (1 0.4575 %) 元 x元
解：设每月还款额 x 元，则根据到期偿还贷款的含义：
例例53.. 三个数成等比数列，它们的积为64，
它们的和为14，求这个数列.
解：设这三个数分别为 a ，a ，aq，则
a q
a
aq
64
q
(1)
a
a
aq
14
(2)
q
由(1) 得 a 4，代入 (2) 得 2q2 5q 2 0，
解得：q 1 或 2 . 2
故所求数列为：8，4，2 或 2，4，8 .
, m {1，3，5， ，31},
N
*
)
故两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成的数列为：
b1 , b3 , b5 , , b31 , 它是等差数列且公差为 d 2 6 12.
S b1 b3 b5 b31
16 2 1615 12 2
1472.
例例61 已知等差数列{an } 前 n 项和为 Sn ， a3 12 ，S12 0 ，S13 0 .
这三个数为：2 d ，2，2 d . (2) 若 2 d 为等比中项，则 (2 d )2 2(2 d )，
解得 d 6 或 d 0， 此时三个数为：2， 4，8 或 2，2，2 . (3) 若 2 d 为等比中项，则 (2 d )2 2(2 d )，
解得 d 6 或 d 0， 此时三个数为：8， 4，2 或 2，2，2 . 综上所述所求三个数为： 4，2，8 或 2，2，2 .
求：(1)公差d 的取值范围；
(2)指出S1，S2，… S12中哪一个值最大,并说明理由.
解:(1)
S12
12a1
12(12 2
1)
d
0
S13
13a1
13(13 2
1)
d
0
2a1 11d 0 a1 6d 0
a3 a1 2d 12 a1 12 2d .
将 a1
12 2d 代入不等式组，得
4Sn an2 2an 1,
4Sn1
a2 n1
2an1
1,
4an
2an
2an1
an2
a2 n1
an2
2an
a2 n1
2an1
(n 2)
an 0 an an1 0
an an1 2 (n 2) 又 a1 1
an 2n 1 从而Sn n2 .
例8 数列{an }中，an 0,2 Sn an 1,
an 3n 104 . 由 an 0 , 得 n 34.7.
即当n≤34时， an 0 ; 当n≥35时， an 0 .
①当n≤34时， Tn | a1 | | a2 | L | an |
a1
a2
L
an
Sn
3 2
n2
205 2
n
.
②当n≥35时，Tn | a1 | | a2 | L | a34 | | a35 | L | an |
L
1 Sn
1.
（1）解：由题意得
a3 S3
a1 2d
3a1
3 2
6 2d
解得 12 ,
a1 2 d 2 .
∴ 数列{an}的通项公式 an 2 (n 1) 2 2n .
例3. 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn ,
a3 6 , S3 12 ,
（1）求数列{an}的通项公式；
Sn Sn1 1
后三个数为 3 ，3q ，6q 3 .
又 3 3q 6q 3 9q 27，得 q 3 .
故所求的四个数为 1 ，3 ，9 ，15 .
变例式12. 有四个数, 前三个数成等比数列，其积为 27 ， 后三个数成等差数列，其和为 27 ，求此四个数.
法2：设这四个数为 (a d)2 ，a d ，a，a d ，
即各月所付款额连同到贷款付清时所产生的利息之和， 应等于贷款本金及贷款付清时的利息之和，即
x 1.004575x 1.00457522 x 1.00457523 x
10000 1.004575 24 ，
即 x 11.00457524 10000 1.004575 24 ， 11.004575
x
说 明：
当已知三数成等比数列且积一定时，
可设三数为：a ，a ，aq . q
当已知四数成等比数列且积一定时，
可设四数为： a q3
，a q
，aq ，aq 3
.
变例式12. 有四个数,前三个数成等比数列，其积为27， 后三个数成等差数列，其和为 27 ，求此四个数. 解：设这四个数为 a ，a ，aq，2aq a， q 则 a a aq a3 27，得 a 3 . q
.
解：(1) 由已知，当n≥2时，
Sn2
an ( Sn
1 2
)，且
an
Sn
Sn1 ，
S
2 n
(Sn
Sn1 )( Sn
1 2
)，即
2 Sn1 Sn
Sn1
S
，
n
由题意 Sn1 Sn 0，
1 1 2， Sn Sn1
{ 1 } 是首项为1，公差为2 的等差数列. Sn
1 1 (n 1)2 2n 1 , Sn
1 n1
1
n
1
1
1.
（裂项求和法）
例例43.. 若一个三角形的三内角成等差数列，且其中 一个角为 32，则其它两角度数为 ___________
解： 设三内角为 x d ，x，x d ，则
x d x x d 180， 解得：x 60
其它两个角度数为 60，88 .
说 明：
当已知三数成等差数列且和一定时， 可设三数为：a d ，a，a d . 当已知四数成等差数列且和一定时， 可设四数为：a 3d ，a d ，a d ，a 3d .
100001.00457524 (11.004575) 1 1.00457524
440.91，
答：每月应还 440.91 元 .
例7 已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前项和Sn满足
S
2 n
an ( Sn
1 2
)
.
（1）求Sn
的表达式；（2） 设bn
Sn 2n 1
,求
{bn }的前n项和Tn
（2）求证：S11
1 S2
L
1 Sn
1.
（2）解：Q an 2n ,
Sn
n(a1 an ) 2
n(2 2n) n(n 1). 2
1 1 1 L 1 1 1 1 L 1
S1 S2 S3
Sn 1 2 2 3 3 4
n (n 1)
1 1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
L
1 n
1
1 2n
1)
Tn b1 b2 b3 bn
1 2
(1
1 3
1 3
1 5
1 5
1 7
来自百度文库
1 2n
1
1 2n
1
)
1 2
(1
1 2n
1)
.
例8 数列{an }中，an 0,2 Sn an 1,
(1)求Sn
,
an
;
(2)求
证
：1 S1
1 S2
1 Sn
2.
解法一： 2 Sn an 1,
a
则 a d a a d 27， a 9 .
前三个数为 (9 d )2 ，9 d ，9 . 9
又 (9 d )2 (9 d ) 9 27，即 (9 d )3 27， 9
9 d 3， d 6 .
故所求的四个数为 1 ，3 ，9 ，15 .
变式例241. 三个实数构成等差数列，如果适当排列
Sn
1 2n 1
.
例7 已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前项和Sn满足
S
2 n
an ( Sn
1 2
)
.
（1）求Sn
的表达式；（2） 设bn
Sn 2n
1
,求
{bn }的前n项和Tn
.
解：(2)
由(1)知，Sn
1， 2n 1
bn
Sn 2n
1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(
1 2n
2.设每月还 x 元 . 各月所付款额到贷款全部付清时 也会产生利息（同样按月以复利计算）. 各月所付款 额与它的利息之和是多少呢？
3. 到期偿还贷款意味着什么？你能根据 1，2 中的 结果计算每月所付的款额吗？
同学们扮演两种角色，设计如下：首先，充当银行 工作人员计算 10000 元贷款两年后增值多少？其次充当 贷款人的参谋计算每一期付款（设为 x 元）的增值情况. 把有关数据填入课本上的表格.
0 0
aa76
a7 0
即 a6 0 且 a7 0 .
故在 S1 ，S2 ， ，S12 中 S6 最大.
例2.
已知数列{an}的前n项和
Sn
3 2
n2
205 2
n
,
求数列{|an|}的前n项和Tn .
解： Q
an
S1 Sn
Sn1
(n 1) (n 2)
101 3n
104
(n 1) (n 2)
24 7d 0 3 d 0
故
24 7
d
3.
(2)
由
24 7
d 3
知 {an } 是递减数列，
因此在递减数列中，欲Sn 最大，只需
an 0 且 an1 0，
由
S12
S13
12(a1 2
13(a1 2
a12 ) a13 )
0 0
得
aa11
a12 a13
0 0
即
aa76
a7 a7
(1)求Sn
,
an
;
(2)求
证
：1 S1
1 S2
1 Sn
2.
解法二： 2 Sn an 1, 且an Sn Sn1(n 1)
2 Sn Sn Sn1 1 Sn 2 Sn 1 Sn1
( Sn 1)2 ( Sn1 )2 (n 2)
a1 1, an 0 当n 2时，Sn 1
问：能否把10000 (1 0.4575%)24 元除以24 即得每月的付款呢？
我们知道每月所付款也会产生利息 . 即1个月后还的 x 元，相当于把这笔款在银行存 23 个月，2个月后还的 x 元，相当于把这笔款在银行存 22 个月，…… 依次类推， 最后一笔付款 x 元由于全部付清，这一期付款没有利息.
a1 a2 L a34 a35 a36 L an
2(a1 a2 L a34 ) (a1 a2 L an )
Tn 2(a1 a2 L a34 ) (a1 a2 L an )
2S34 Sn
2( 3 342 205 34) 3 n2 205 n
例6.某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上 贷款月均等额还本付息 . 如果贷款 10000 元，两年还清， 月利率为 0.4575%,那么每月应还多少钱呢？
1. 按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利 息 . 在上述问题中，到贷款两年（即24个月）付清时， 10000 元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？