线性代数矩阵定义和基本运算

• 解 设原点O到P的距离|OP|=r, 由射线OX(即x
轴正方向) 到OP所成的角
则
|OP'|=|OP|=r, x=rcosθ, y=rsinθ.
• x'=rcos(θ+α)
•
=rcosθcosα-rsinθsinα
•
=xcosα-ysinα
• y'=rsin(θ+α)
•
=rcosθsinα+rsinθcosα
⎧
ax 11 1
+a x 12 2
+
⎪⎪ ⎨
ax 21 1
+
ax 22 2
+
⎪
⎪⎩a
m1
x 1
+
ax m2 2
+
+a x =b
1n n
1
+a x =b
2n n
2
+a x =b
mn n
m
系数排成一个矩形数表
⎜⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜⎜⎝ am1 am2
a1n ⎟⎞
这就是 矩阵
a2n ⎟
出
B1 0 0 0
港C
0
0
0
1
D
1010
例2：一个煤矿、一个发电厂和一条铁路互相之间的消 耗可以用下面的数表表示：
煤矿
电厂
铁路
煤（煤矿）
0
0.6
0.5
电（电厂）
0.3
0.1
0.1
运费（铁路）
0.2
0.1
0
以上两个数表具有共同形式，把数抽出按照原来顺 序得到一个新的数学对象.
• 例3 线性方程组的系数表示
5. 三角阵
上三角阵 下三角阵
⎛a11
a12
⎜ ⎜
a22
⎜⎝
⎜⎛
a 11
⎜ a21
பைடு நூலகம்
a 22
⎜
⎜⎜⎝ an1
a n2
a1n ⎞
a2n
⎟ ⎟
ann ⎟⎠
⎟⎞
⎟
⎟
a nn
⎟⎟⎠
6. 梯形阵 设 A = (aij )m×n
若当i >j时(i<j)时,恒有 aij = 0
且各行中第一个（最后一个)非零元素前(后) 面零元素的个数随行数增大而增多(减少), 称为上(下)梯形矩阵. 简称为上(下)梯形阵.
⎜ ⎜
a 21
a 22
⎜⎜⎝ am1
a m2
a 1n
⎟⎞
a 2n
⎟
⎟
amn ⎟⎟⎠
简记为
A
=
(a ij
) m×n
脚标
列矩阵
(a a a )
11
12
1n
行矩阵
⎜⎛a11 ⎟⎞ ⎜a21⎟ ⎜⎟ ⎜⎜⎝am1 ⎟⎟⎠
⎜⎛ a11 a12
当m=n时，即矩阵 的行数与列数相同
An×n
=
⎜ ⎜
a 21
a 22
梯形阵是最常用的矩阵!
矩阵的运算
一、线性运算
1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数, 且对应元素相等.即
( ) ( ) = B = b A = a ij m × n
ij m×n
形式相同
( ) ( ) 例1 设
x+ y x− y
2z + w z−w
=
1 3
2 4
对应元素相等
a =b
它们统称为梯形阵
⎛ 1 0 0 0 0⎞
⎜ ⎜
−9
6
0
0
0
⎟ ⎟
⎜ 1 2 3 0 0⎟
⎜ ⎝
5
2
3
3
0
⎟ ⎠
⎜⎛1 2 3 4 5⎟⎞ ⎜0 0 7 8 0⎟ ⎜⎝0 0 0 0 0⎟⎠
上阶梯阵
下阶梯矩阵
⎜⎛ 0 0 0 0⎟⎞ ⎜1 0 0 0⎟ ⎜⎝ 2 2 0 0⎟⎠
⎜⎛ 5 7 0 12 3⎟⎞
第一章：矩阵
1. 矩阵的概念 2. 矩阵的运算 3. 方阵的行列式及其性质 4. 初等变换与矩阵的秩 5. 初等矩阵与逆矩阵 6. 分块矩阵
第一章
1
矩阵的概念－－实际问题的表示
• 例1：四个城市A, B, C, D之间的航线如图
所示： A
B
C
D
通常可以用一个数表来表示上述航线情况：
进
港
A
B
C
D
A0 1 1 1
2.对角阵
Λ
=
⎛ ⎜ ⎜⎝
a11
记： Λ = diag{a11, a22 ,
, ann}
0⎞ 0 ⎟⎟⎠
⎞ ⎟ ann ⎟⎠
3.数量阵
⎛k A = ⎜⎜⎝
记： A = diag{k , k ,
⎞ k ⎟⎟⎠ , k}
4.单位阵
⎛1
⎞
En = ⎜⎜⎝
1⎟⎟⎠
记： En = diag{1,1, ,1}
⎟ 由m×n个数按一定的
amn
⎟⎟⎠
次序排成的m行n列的 矩形数表称为m×n矩 阵,简称矩阵.
横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的 列，m为行数，n为列数
a ij 为矩阵第i行j列的元素.
元素为实数的称为实矩 阵,我们只讨论实矩阵.
矩阵的表示：大写字母A、B、C等。例如
⎜⎛
a 11
a 12
A
=
−A= −a ij m×n
显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
A+O=O+A=A A+(-A)=(-A)+A=O
3.数乘运算
⎜⎛
ka 11
ka 12
kA =
⎜ ka21 ⎜
ka 22
⎜⎜⎝ kam1 kam2
ka 1n
⎟⎞
ka 2n
⎟
⎟
kamn ⎟⎟⎠
称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA
k = 1 A k = −1 − A 1A = A oA=O
k(lA) = (kl) A,(k + l) A = kA + lA,
k( A + B) = kA + kB
结论：矩阵与数的线性结构相似
矩阵的乘法
{y 1 y2
=a x +a x
11 1
12 2
=a x +a x
21
A
1
=
⎜⎜⎝⎛
•
=xsinα+ycosα
•即
2. 二次曲线
• 例2 一般方程为
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
• 按 x，y，1 顺序可以写成矩阵形式
⎛a b d⎞
⎜⎜⎝
b d
c e
e f
⎟⎟⎠
几种特殊形式的矩阵
1.零阵
⎛0 Om×n = ⎜⎜⎝ 0
注： O1×2 ≠ O 2×3
⎜0 1 2 2 1⎟
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
00 00
8 0
9 1
⎟ ⎟⎟⎠
⎜⎛ 1 0 0 0 0⎟⎞
⎜5 0 6 0 0⎟
⎜ ⎜⎜⎝
2 0
3 0
4 0
0 0
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
⎜⎛ 4 4 3 2 1⎟⎞ ⎜1 2 3 0 0⎟ ⎜⎝ 1 0 0 0 0⎟⎠
它们是梯形阵吗? 不是!
请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义.
时,称矩阵为方阵。
⎜⎜⎝ an1
a n2
主对角线
a1n ⎟⎞
a 2n
⎟
⎟
a nn
⎟⎟⎠
矩阵的应用—方便表示
1. 坐标变换－－线性函数 例 1 在平面上建立直角坐标系. (1)将平面上每个点P绕原点 向逆时针方向旋转角α到点P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P'的 坐标(x',y')之间的函数关系式.
ij
ij
求：x, y, z, w
2.加、减 法 设矩阵
( ) ( ) A =
a ij
与 B= b
m×n
ij m×n
定义
A + B = (aij + b )ij m×n A − B = (aij − b )ij m×n
( ) ( ) 负矩阵
A=
a ij m × n
的负矩阵为
−a ij m×n
( ) 记作 -A,即